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1、第七節(jié)拋物線1拋物線的標準方程掌握拋物線的定義，幾何圖形、標準方程2拋物線的幾何性質(zhì)掌握拋物線的簡單性質(zhì)知識點一拋物線定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)(2)動點到定點F距離與到定直線l的距離相等(3)定點不在定直線上易誤提醒拋物線的定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與直線垂直的直線自測練習1若拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A.B.C. D0解析：M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y，設M(x，y)，則y1，y.答案：B知識點二拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y22px(p0)y2

2、2px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y0x0焦點FFFF離心率,e1準線方程x,x,yy范圍x0，yRx0，yR,y0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0易誤提醒拋物線標準方程中參數(shù)p易忽視只有p0，才能證明其幾何意義是焦點F到準線l的距離，否則無幾何意義必記結論拋物線焦點弦的幾個常用結論：設AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p(為弦AB

3、的傾斜角)(3).(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切自測練習2以x軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點P(1，m)到焦點的距離為3，則其方程是()Ay4x2 By8x2Cy24x Dy28x解析：本題考查拋物線的標準方程設拋物線的方程為y22px，則由拋物線的定義知13，即p4，所以拋物線方程為y28x，故選D.答案：D3(2016成都質(zhì)檢)已知過拋物線y24x的焦點F的直線l與拋物線相交于A，B兩點，若線段AB的中點M的橫坐標為3，則線段AB的長度為()A6 B8C10 D12解析：依題意，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2236，|AB|AF|BF|(x11)(x21)x

4、1x228，故選B.答案：B4若拋物線y22px的焦點與雙曲線1的右焦點重合，則p的值為_解析：雙曲線1的右焦點F(3,0)是拋物線y22px的焦點，所以3，p6.答案：6考點一拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)|1拋物線y4ax2(a0)的焦點坐標是()A(0，a) B(a,0)C. D.解析：拋物線方程化標準方程為x2y，焦點在y軸上，焦點為.答案：C2(2016宜賓診斷)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(4，2)的拋物線的標準方程是()Ay2x Bx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y解析：若焦點在x軸上，設拋物線方程為y2ax，將點P(4，2)的坐標代入，得a1，所以拋物線的標準方

5、程為y2x；若焦點在y軸上，設方程為x2by，將點P(4，2)的坐標代入，得b8，所以拋物線的標準方程為x28y.故所求拋物線的標準方程是y2x或x28y.答案：D3過拋物線y24x的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|10，則AB的中點到y(tǒng)軸的距離等于()A1 B2C3 D4解析：AB的中點到拋物線準線的距離為5，所以AB的中點到y(tǒng)軸的距離為514.答案：D求拋物線方程的三個注意點(1)當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種(2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系(3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問

6、題考點二拋物線的定義及應用|拋物線的定義是高考命題熱點，與定義相關的最值問題常涉及距離最短，距離和最小等，歸納常見的探究角度有：1到焦點與動點的距離之和最小問題2到準線與動點的距離之和最小問題3到兩定直線距離之和最小問題4到焦點與定點距離之和最小問題探究一到焦點與動點的距離之和最小問題1(2016邢臺模擬)已知M是拋物線x24y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C：(x1)2(y5)21上，則|MA|MF|的最小值是_解析：拋物線x24y的焦點為F(0,1)，準線為y1，由拋物線的定義得|MF|等于M到準線的距離d，所以|MA|MF|的最小值等于圓心C到準線的距離減去圓的半徑，即5115.答案：5探

7、究二到準線與動點的距離之和最小問題2已知圓C：x2y26x8y210，拋物線y28x的準線為l，設拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則d|PC|的最小值為()A.B7C6 D9解析：由題意得圓的方程為(x3)2(y4)24，圓心C的坐標為(3，4)由拋物線定義知，當d|PC|最小時為圓心與拋物線焦點間的距離，即d|PC|.答案：A探究三到兩定直線距離之和最小問題3已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和l2的距離之和的最小值為()A. B.C3 D2解析：直線l2：x1是拋物線y24x的準線，拋物線y24x的焦點為F(1,0)，則點P到直線l2：x1

8、的距離等于PF，過點F作直線l1：4x3y60的垂線，和拋物線的交點就是點P，所以點P到直線l1：4x3y60的距離和到直線l2：x1的距離之和的最小值就是點F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離，所以最小值為2，故選D.答案：D探究四到焦點與定點距離之和最小問題4(2016贛州模擬)若點A的坐標為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y22x的焦點，點M在拋物線上移動時，使|MF|MA|取得最小值的M的坐標為()A(0,0) B.C(1，) D(2,2)解析：本題考查拋物線的定義，過M點作左準線的垂線(圖略)，垂足是N，則|MF|MA|MN|MA|，當A，M，N三點共線時，|MF|MA|取得最小值，此時

9、M(2,2)答案：D求解與拋物線有關的最值問題的兩大轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決 考點三直線與拋物線的位置關系|(2016保定模擬)已知：過拋物線x24y的焦點F的直線交拋物線于A，B兩個不同的點，過點A，B分別作拋物線的切線，且二者相交于點C.(1)求證：0；(2)求ABC的面積的最小值解(1)證明：設lAB：ykx1，代入x24y得x24kx40，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，則xAxB4k，

10、xAxB4.yx2，yx，lAC：yxxA(xxA)，lBC：yxxB(xxB)，xC2k，yC1.若k0，則kCF，kABkCF1，0.若k0，顯然0(或(2k,2)，(xBxA，k(xBxA)，2k(xBxA)2k(xBxA)0.(2)由(1)知，點C到AB的距離d|CF|2.|AB|AF|FB|yAyB2k(xAxB)44k24，S|AB|d4(k21)，當k0時，ABC的面積取最小值，為4.解決直線與拋物線位置關系問題的常用方法(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物

11、線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解 (2015高考四川卷)設直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，與圓(x5)2y2r2(r0)相切于點M，且M為線段AB的中點若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()A(1,3)B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：當直線l的斜率不存在時，這樣的直線l恰有2條，即x5r，所以0r2，又y4x0，即r2412，所以0r4，又0r2，所以2rb0)的一個焦點，C

12、1與C2的公共弦的長為2.過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且與同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直線l的斜率解題思路(1)由拋物線的焦點坐標可求c，又由兩曲線的公共弦長為2得出a，b的關系式，從而求得橢圓方程；(2)利用方程的思想，得出各交點坐標之間的關系，構造關于斜率k的方程規(guī)范解答(1)由C1：x24y知其焦點F的坐標為(0,1)，因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2b21，(2分)又C1與C2的公共弦的長為2，C1與C2都關于y軸對稱，由C1的方程為x24y，(4分)由此易知C1與C2的公共點的坐標為，所以1，(5分)聯(lián)立得a29，b28，

13、故C2的方程為1.(6分)(2)如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因為與同向，且|AC|BD|，所以，從而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.(8分)設直線l的斜率為k，則l的方程為ykx1.(9分)由得x24kx40，而x1，x2是這個方程的兩根，所以x1x24k，x1x24，由得(98k2)x216kx640，而x3，x4是這個方程的兩根，所以x3x4，x3x4，(10分)將代入，得16(k21)，即16(k21)，(12分)所以(98k2)2169，解得k，即直線l的斜率為.(13分)模板

14、形成跟蹤練習(2016唐山模擬)已知拋物線y22px(p0)，過點C(2,0)的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標原點為O，12.(1)求拋物線的方程；(2)當以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程解：(1)設直線l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0.(*)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y22pm，y1y24p，則x1x24.因為12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)將(*)化為y24my80.則y1y24m，y1y28.設AB的中點為M(xM，yM)，則|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|

15、y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m.所以直線l的方程為xy20或xy20.A組考點能力演練1若拋物線yax2的焦點坐標是(0,1)，則a()A1B.C2 D.解析：因為拋物線的標準方程為x2y，所以其焦點坐標為，則有1，a，故選D.答案：D2(2016襄陽調(diào)研)拋物線y22px的焦點為F，M為拋物線上一點，若OFM的外接圓與拋物線的準線相切(O為坐標原點)，且外接圓的面積為9，則p()A2 B4C6 D8解析：OFM的外接圓與拋物線的準線相切，OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑外接圓的面積為9，圓的半徑為3.又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|，

16、3，p4.答案：B3(2016新余模擬)從拋物線y24x上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|5，設拋物線的焦點為F，則PMF的面積為()A5 B10C20 D.解析：根據(jù)題意得點P的坐標為(4，4)，所以SPMF|yp|PM|4510，故選B.答案：B4(2016九江一模)已知拋物線的方程為y22px(p0)，過拋物線上一點M(p，p)和拋物線的焦點F作直線l交拋物線于另一點N，則|NF|FM|()A1 B1C12 D13解析：由題意得，直線l：y2，聯(lián)立方程組得N，|NF|p，|MF|pp，|NF|FM|12，故選C.答案：C5(2015銅川一模)已知拋物線y22x的弦AB的中點

17、的橫坐標為，則|AB|的最大值為()A1 B2C3 D4解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x23，利用拋物線的定義可知，|AF|BF|x1x214，由圖可知|AF|BF|AB|AB|4，當直線AB過焦點F時，|AB|取得最大值4.答案：D6拋物線y2x的焦點到準線的距離為_解析：由拋物線y2x，得2p1，p，拋物線y2x的焦點到準線的距離為p.答案：7頂點在原點，經(jīng)過圓C：x2y22x2y0的圓心且準線與x軸垂直的拋物線方程為_解析：圓的圓心坐標為(1，)設拋物線方程為y2ax，將圓心坐標代入得a2，所以所求拋物線的方程為y22x.答案：y22x8動圓過點(1,0)，且與直線x

18、1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_解析：設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.答案：y24x9.已知直線l：yxm，mR.(1)若以點M(2，1)為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在x軸上，求該圓的方程；(2)若直線l關于x軸對稱的直線l與拋物線C：x2y相切，求直線l的方程和拋物線C的方程解：(1)依題意得點P的坐標為(m,0)以點M(2，1)為圓心的圓與直線l相切于點P，MPl.kMPkl11，解得m1.點P的坐標為(1,0)設所求圓的半徑為r，則r2|PM|2112，所求圓的方程為(x2)2(

19、y1)22.(2)將直線l的方程yxm中的y換成y，可得直線l的方程為yxm.由得mx2xm0(m0)，14m2，直線l與拋物線C：x2y相切，0，解得m.當m時，直線l的方程為yx，拋物線C的方程為x22y；當m時，直線l的方程為yx，拋物線C的方程為x22y.10(2016大連雙基)已知過點(2,0)的直線l1交拋物線C：y22px(p0)于A，B兩點，直線l2：x2交x軸于點Q.(1)設直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，求k1k2的值；(2)點P為拋物線C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB交直線l2于M，N兩點，2，求拋物線C的方程解：(1)設直線l1的方程為：xmy2，點A(x

20、1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立方程得y22pmy4p0，y1y22pm，y1y24p.k1k20.(2)設點P(x0，y0)，直線PA：yy1(xx1)，當x2時，yM，同理yN.因為2，所以4yNyM2，2.2，2，p，拋物線C的方程為y2x.B組高考題型專練1(2015高考全國卷)已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|()A3 B6C9 D12解析：因為拋物線C：y28x的焦點坐標為(2,0)，準線l的方程為x2，設橢圓E的方程為1(ab0)，所以橢圓E的半焦距c2，又橢圓E的離心率為，所以a4，b2，橢

21、圓E的方程為1，聯(lián)立，解得A(2,3)，B(2，3)，或A(2，3)，B(2,3)，所以|AB|6，選B.答案：B2(2015高考陜西卷)已知拋物線y22px(p0)的準線經(jīng)過點(1,1)，則該拋物線焦點坐標為()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)解析：因為拋物線的準線方程為x1，1，焦點坐標為(1,0)，選B.答案：B3.(2015高考浙江卷)如圖，設拋物線y24x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A.B.C.D.解析：由題可知拋物線的準線方程為x1.如圖所示，過A作AA2y軸于點A

22、2，過B作BB2y軸于點B2，則.答案：A4(2015高考全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點(1)當k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPMOPN？說明理由解：(1)由題設可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點，證明如下：設P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，a)符合題意