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1、線線線性性性代代代數(shù)數(shù)數(shù)總總總結(jié)結(jié)結(jié) 第第第一一一章章章行行行列列列式式式 一一一.行行行列列列式式式的的的定定定義義義 定定定義義義把n2個(gè)數(shù)aij(i = 1,n;j = 1,n)排成n行n列,按照下 式 D = a11 a12 . a1n a21 a22 . a2n . . . . an1 an2 . ann = (1) i1i2ina1i1a2i2anin 計(jì)算得到的一個(gè)數(shù),稱為n階行列式,簡(jiǎn)記為D = det(aij)或D =|aij|,其 中 表示對(duì)所有n元排列求和. 注注注：1此和式共有n!項(xiàng)； 2每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的n個(gè)元素的乘積； 3每一項(xiàng)的正負(fù)由列下標(biāo)排列的奇偶性決

2、定。 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)： 1.如何寫(xiě)出上述和式中的所有項(xiàng)：即n元排列的所有可能組合； 2.如何判斷每一項(xiàng)的符號(hào)：計(jì)算一個(gè)排列的逆序數(shù)判斷一個(gè)排列的奇 偶性判斷行列式中任一項(xiàng)的正負(fù)。 二二二.行行行列列列式式式的的的性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì) 性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì)1.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即D = DT. 性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì)2.互換行列式兩行，行列式變號(hào)，記作rirj. 推論1.若行列式的任意兩行相同,則行列式為0; 推論2.若行列式的任意兩行成比例,則行列式為0. 性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì)3.行列式某一行所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用k乘此行列式， 記作rik. 1 性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì)4.若行列式中某一行是兩組數(shù)的和,則這個(gè)行列式等于兩

3、個(gè)行列式 之和,其中這兩個(gè)行列式分別以這兩數(shù)為該行,而其余各行與原行列對(duì)應(yīng)各 行相同.即 a11 a12 . a1n . . . . ai1 + bi1 ai2 + bi2 . ain + bin . . . . an1 an2 . ann = a11 . a1n . . ai1 . ain . . an1 . ann + a11 . a1n . . bi1 . bin . . an1 . ann 性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì)5.把行列式的第j行元素的k倍加到第i行的對(duì)應(yīng)元素上,行列式 的值不變.即 a11 a12 . a1n . . . . ai1 ai2 . ain . . . . aj1 aj2 . a

4、jn . . . . an1 an2 . ann = a11 a12 . a1n . . . . ai1 + kaj1 ai2 + kaj2 . ain + kajn . . . . aj1 aj2 . ajn . . . . an1 an2 . ann 記作ri + krj. 注注注:上述所有性質(zhì)對(duì)列同樣成立.相應(yīng)的運(yùn)算符號(hào)可記為ci cj;cik;ci + kci. 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)：應(yīng)用行列式的性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。 三三三.行行行列列列式式式的的的計(jì)計(jì)計(jì)算算算 （一）用定義計(jì)算行列式. （二）用性質(zhì)計(jì)算行列式. 1.直接利用行列式的性質(zhì)可計(jì)算行列式的值為0. 2 注注注:這種問(wèn)題常?？梢岳?/p>

5、用行列式的下列性質(zhì): (i)若行列式中有一行(列)的元素全為0,則行列式為0. (ii)若行列式中有兩行(列)相同,則行列式為0. (iii)若行列式中有兩行(列)成比例,則行列式為0. 2.利用性質(zhì)消零化三角形. 以主對(duì)角線為軸的上/下三角形行列式： a11 a12 . a1;n1 a1n 0 a22 . a2;n1 a2n . . . . 0 0 0 ann = a11 0 . 0 0 a21 a22 . 0 0 . . . . an1 an2 an;n11 ann = a11a22ann 以副對(duì)角線為軸的上/下三角形行列式： a11 a12 . a1;n1 a1n a21 a22 . a

6、2;n1 0 . . . . an1 0 0 0 = 0 0 . 0 a1n 0 0 . a2;n1 a2n . . . . an1 an2 an;n1 ann = (1)n(n 1)2 a1na2;n1an1 幾種特殊形式的行列式: (a)各行(列)元素之和均相等的行列式. 方法：把各列(行)都加到第1列(行),并提出第1列(行)的公因子, 則第1列(行)各元素全化成了1,然后再進(jìn)一步進(jìn)行化零運(yùn)算. (b)箭形行列式. 方法：若主對(duì)角線上元素全不為零，則將每一列的ai1aii倍加至第一列， 則行列式化為三角形行列式；若主對(duì)角線上某元素為零，如aii = 0，則將 行列式按第i行展開(kāi)即可. 3

7、 (c)分塊對(duì)角行列式和分塊上(下)三角行列式. 基本結(jié)論： D1 D2 . Dm = D1D2Dm; D1 A B D2 C 0 D3 = D1D2D3. (D1,D2,Dm是任意階行列式). （三）行列式按行（列）展開(kāi)法則. akiAkj = Dij = D,當(dāng)i = j時(shí)； 0,當(dāng)i= j時(shí). 注注注:利用這一法則,使高階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計(jì)算,因此 也稱其為降階法.這是計(jì)算高階行列式的一個(gè)基本方法. 4 第第第二二二章章章矩矩矩陣陣陣及及及其其其運(yùn)運(yùn)運(yùn)算算算 一一一.矩矩矩陣陣陣的的的概概概念念念 定定定義義義由mn個(gè)數(shù)排成m行n列矩行的表 a11 a12 a1n a21

8、a22 a2n an1 an2 ann 稱為一個(gè)mn矩陣，記作A.其中aij稱為第i行第j列元素。 幾種特殊形式的矩陣: (a)零矩陣：所有元素均為零。 (b)對(duì)角矩陣：對(duì)角線上元素不全為零，對(duì)角線以外元素全部為零，記 作A = diag(a11,a22,ann)。 單位矩陣：En = diag(1,1,1) 純量矩陣：A = diag(c,c,c) (c)上/下三角矩陣 (d)行/列矩陣：只有一行或只有一列的矩陣。 二二二.矩矩矩陣陣陣的的的運(yùn)運(yùn)運(yùn)算算算 （一）矩陣的加法：C = AB = (aijbij)mn. N運(yùn)算規(guī)律:設(shè)A,B,C是同型矩陣，則 (i) A + B = B + A ;

9、（加法交換律） (ii) (A + B) + C = A + (B + C) ;（加法結(jié)合律） (iii) A + O = O + A = A ,其中O與A同型;（零矩陣的作用） (iv) A + (A) = 0. (負(fù)矩陣的作用) （二）矩陣的數(shù)乘：A = (aij)mn. N運(yùn)算規(guī)律: (v) 1A = A, 0A = 0; 5 (vi) ()A = (A); (關(guān)于數(shù)乘因子滿足結(jié)合律） (vii) ( + )A = A + A; (關(guān)于數(shù)乘因子滿足分配律） (viii) (A + B) = A + B. (關(guān)于矩陣滿足分配律） （三）矩陣的乘法：設(shè)A = (aij)ms,B = (bij

10、)sn，則C = AB = (cij)mn，其中cij = ai1b1j + ai2b2j + aisbsj。 注注注：1只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)時(shí),兩矩陣才能相乘且乘 積矩陣的行數(shù)=左矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的列數(shù)=右矩陣的列數(shù). 2特殊地，行矩陣與的列矩陣的乘積是一個(gè)數(shù),即: ( ai1 ai2 ais ) b1j b2j . bsj = ai1b1j + ai2b2j + aisbsj. 3一般情況下, AB= BA： (i) AB與BA其中之一沒(méi)有意義; (ii) AB與BA都有意義，但不同型； (iii) AB與BA同型，但不相等。 4消去律不成立。 N運(yùn)算規(guī)律: (i) EmA

11、mn = AmnEn = Amn; (單位矩陣的作用) (ii) OA = AO = O; (零矩陣作用） (iii) (AB)C = A(BC); (乘法結(jié)合律) (iv) (AB) = (A)B = A(B); (數(shù)因子的位置任意) (v)(A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC. (分配率) （四）矩陣的冪與多項(xiàng)式：設(shè)AMn，則 Ak+1 = AkA, k = 1,2, f(A) = anAn + an1An1 + a1A + a0I. 6 N運(yùn)算規(guī)律: (i) AkAl = Ak+l; (ii) (Ak)l = Akl. 注注注：由于矩陣乘法不滿足交

12、換律,所以下列等式未必成立: (AB)k = AkBk, (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (其中A,B為n階方陣，k為正整數(shù))。 （五）矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)A = (aij)mn，則AT = (aji)nm. N運(yùn)算規(guī)律: (i) (AT)T = A; (ii) (A + B)T = AT + BT; (iii) (A)T = AT; (iv) (AB)T = BTAT, (A1A2Am)T = ATmATm1AT2 AT1 . 對(duì)稱/反對(duì)稱矩陣：設(shè)A Mn。若AT = A，則稱A為對(duì)稱矩陣; 若AT =A,則稱A為反對(duì)稱矩陣. 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)：利用對(duì)稱/反對(duì)稱矩陣的定義證明給定某個(gè)

13、形式的矩陣是對(duì)稱或 反對(duì)稱的。 （六）矩陣的行列式：由n階矩陣A = (aij)nn的元素所構(gòu)成的行列 式(各元素的位置不變)，稱為方陣A的行列式，記為|A|或detA。 N運(yùn)算規(guī)律: (i)|AT|=|A|; (ii)|A|= n|A|; (iii)|AB|=|BA|=|A|B|. 伴隨矩陣：行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的矩陣 A = A11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 7 稱為A的伴隨矩陣. N性質(zhì): AA = A =|A|E. 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)：利用這一性質(zhì)證明矩陣、伴隨矩陣與逆矩陣之間的關(guān)系。 （七）矩陣的初等變換 定定定義義義矩陣的初

14、等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。其中初 等行變換分別包含以下三種： (i)對(duì)稱變換：互換矩陣第i行與第j行的位置，記作rirj； (ii)數(shù)乘變換：用一個(gè)非零常數(shù)k乘矩陣的第i行，記作rik； (iii)倍加變換：將矩陣的第j行元素的k倍加到第i行上，記作ri + krj。 把上述三種行變換換為列即三種初等列變換。 定定定義義義單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，可分別記 作E(i,j), E(i(k), E(ij(k)。 注注注：1單位矩陣E經(jīng)初等行變換和初等列變換的對(duì)稱變換和數(shù)乘變 換所得的初等舉證形式完全一樣，即均是E(i,j), E(i(k)。但對(duì)于倍加變 換，

15、則不完全相同。具體地，初等矩陣E(ij(k)表示矩陣的第j行元素的k倍 加到第i行上，或矩陣的第i列元素的k倍加到第j列。 2初等矩陣都可逆且其逆矩陣也都是可逆矩陣，其逆陣為：E(i,j)1 = E(i,j); E(i(k)1 = E(i(1k); E(ij(k)1 = E(ij(k) 定定定義義義若矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換化為矩陣B,則稱A與B等價(jià)。 N初初初等等等變變變換換換的的的性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì) （1）任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換一定可以化為行階梯形矩陣和行最 簡(jiǎn)形矩陣，進(jìn)一步通過(guò)初等列變換還可化為標(biāo)準(zhǔn)型。 （2）設(shè)A是一個(gè)mn矩陣,對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左 邊乘以相應(yīng)的m階矩陣；對(duì)A

16、施行一次列初等變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以 相應(yīng)的n階初等矩陣。 8 （3）設(shè)A是一個(gè)mn的矩陣，則存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩 陣Q，使PAQ = Er 0 0 0 ，即等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)形。 （4）可逆矩陣A可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。 （5）若A是一個(gè)可逆的n階矩陣，則A等價(jià)于單位矩陣En。 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)：矩陣的初等變換可用于求解矩陣的秩、求解線性方程組，是矩 陣兩大運(yùn)算之一。 三三三.矩矩矩陣陣陣的的的秩秩秩 定定定義義義設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的階子式D，且所有r + 1階子式(如 果存在的話)全等于0，則稱D為A的最高階非零子式，并稱其階數(shù)r為矩 陣A的秩，記作R(A) = r。 注注

17、注：矩陣的秩唯一，但最高階非零子式并不唯一。 N矩矩矩陣陣陣秩秩秩的的的性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì) （1）R(A + B)R(A) + R(B). （2）R(AB)minR(A),R(B). （3）設(shè)AMmn,B Mns，則R(AB) R(A) + R(B)n。特殊 地，若AB = 0，則R(A) + R(B) 6 n。 （4）maxR(A),R(B)6 R(A,B) 6 R(A) + R(B). （5）R( A 0 0 B ) = R(A) + R(B). （6）初等變換不改變矩陣的秩。 （7）設(shè)A,BMmn，則R(A) = R(B)AsB. 矩陣秩的求法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣,則行階梯形

18、矩陣中非零行的個(gè)數(shù)即該矩陣的秩。 四四四.逆逆逆矩矩矩陣陣陣 定定定義義義設(shè)AMn。如果存在B Mn，使AB = BA = E，則稱矩陣A是 可逆的(或滿秩的，非奇異的)，并稱B是A的一個(gè)逆矩陣。否則稱A是不可 9 逆的(或降秩的，奇異的)。 注注注：1若A可逆,則A的逆唯一。 2 若AB = E(或BA = E)，則B = A1(或A = B1)。 3 AB可逆的充分必要條件是A,B均可逆。 4 若A可逆,可定義A0 = E,Ak = (A1)k。 N運(yùn)算規(guī)律: (i) (A1)1 = A; (ii) (A)1 = 1 A1; (iii) (AB)1 = B1A1,(A1A2An)1 = A

19、1n A12 A11 ; (iv)|A1|= 1|A| =|A|1; (v) (A1)T = (AT)1。 逆矩陣的求法： 1.待定系數(shù)法 2.用公式A1 = 1|A|A計(jì)算 3.用定義 4.用性質(zhì) 5.利用分塊對(duì)角陣的逆矩陣公式：若Ai均可逆,則A = diag(A1,A2,As) 可逆且A1 = diag(A11 ,A12 ,A1s )。 6.利用分塊三角陣的逆矩陣公式：若Aii (i = 1,2,s)均可逆， 則A可逆且其逆仍是三角矩陣。特殊地，對(duì)于二階分塊三角矩陣 A11 0 A21 A22 1 = A 1 11 0 A122 A21A111 A122 7.利用初等變換：(A . E)

20、 = (E . A1). 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)：關(guān)于逆矩陣的計(jì)算和證明。 五五五.分分分塊塊塊矩矩矩陣陣陣及及及其其其運(yùn)運(yùn)運(yùn)算算算 （一）分塊矩陣的線性運(yùn)算 10 （二）分塊矩陣的乘法 （三）分塊對(duì)角矩陣的運(yùn)算：設(shè)A = diag(A1,A2,As),B = (B1,B2,Bs) 是分塊對(duì)角矩陣,其中Ai,Bi (i = 1,2,s)均是同階矩陣,則 A + B = diag(A1 + B1,A2 + B2,A3 + B3) A = diag(A1,A2,As) AB = diag(A1B1,A2B2,AsBs) AT = diag(AT1 ,AT2 ,ATs ) |A| = |A1|A2|As| （

21、四）分塊三角矩陣的運(yùn)算 11 第第第三三三章章章向向向量量量組組組的的的線線線性性性相相相關(guān)關(guān)關(guān)性性性 一一一.線線線性性性相相相關(guān)關(guān)關(guān)性性性的的的概概概念念念 （一）線性表示 定定定義義義給定向量組A : a1,a2,am，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1,k2,km， 稱向量k1a1 + k2a2 + kmam為向量組a1,a2,am的線性組合， 并稱k1,k2,km為該線性組合的系數(shù)；若對(duì)向量b，存在一組數(shù) 1,2,m，使b = 1a1+2a2+mam，則稱b能由a1,a2,am 線性表示。 下述命題等價(jià): (i) b能由a1,a2,am線性表示； (ii)方程組x1a1 + x2a2 + xmam

22、 = b有解； (iii) R(A) = R(B),其中A = (a1,a2,am),B = (a1,a2,am,b)。 注注注線性表示非齊次線性方程組且線性表示的系數(shù)非齊次 線性方程組的解。 （二）線性相關(guān)/線性無(wú)關(guān) 定定定義義義給定向量組A : a1,a2,am，若存在不全為零的數(shù)k1,k2,km, 使k1a1 + k2a2 + kmam = 0，則稱向量組a1,a2,am是線性相關(guān) 的，否則稱為線性無(wú)關(guān)。 下述命題等價(jià): (i)向量組a1,a2,am線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）； (ii)齊次線性方程組Ax = 0有非零解（只有零解），其中A = (a1,a2,am),x = (x1,xm)T；

23、 (iii) R(A) s，則向量組A線性相關(guān)。 (2)若向量組A : a1,a2,am能由向量組B : b1,b2,bs線性表示 且A組線性無(wú)關(guān),則ms。 (3)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組有相同個(gè)數(shù)的向量。 (4)若矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換化為矩陣B，則A的列向量組與B對(duì)應(yīng)的列 向量組有相同的線性關(guān)系。 （二）向量組的秩 定定定義義義設(shè)有向量組A。如果A中能選出r個(gè)向量a1,a2,ar滿足： (i)向量組A0 : a1,a2,ar線性無(wú)關(guān)； (ii)向量組A中任意r + 1個(gè)向量都線性相關(guān)( A組中每一個(gè)向量均可 由A0組線性表示)。 則稱向量組A0是向量組A的一個(gè)最大極大線性無(wú)關(guān)向量組(簡(jiǎn)稱最大無(wú)

24、關(guān) 組)，并稱r為向量組的秩。 注注注：1一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的最大無(wú)關(guān)組就是這個(gè)向量組本身。 2向量組的最大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。 3一個(gè)向量組中任兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)是唯一的。 N性質(zhì)： (1)兩個(gè)等價(jià)的向量組的秩相等。 (2)若向量組B可由向量組A線性表示,則向量組B的秩不大于向量組A的 秩。 (3)矩陣A的秩=行向量組的秩=列向量組的秩。 (4)設(shè)Cmn = AmsBsn，則R(C)R(A), R(C)R(B)。 四四四.向向向量量量空空空間間間 定定定義義義設(shè)V是數(shù)域F上的n維向量構(gòu)成的非空集合且滿足: (i)若a,bV，則a + bV； 14 (ii)若aV,F，則aV . 稱

25、集合V為數(shù)域F上的向量空間.若數(shù)域F為實(shí)(復(fù))數(shù)域,則稱V為實(shí)(復(fù))向 量空間. 定定定義義義設(shè)V為向量空間,如果存在r個(gè)向量a1,a2,ar V滿足: (i) a1,a2,ar線性無(wú)關(guān)； (ii) V中任一向量都可由a1,a2,ar線性表示. 則稱向量組a1,a2,ar為向量空間V的一組基，稱r為向量空間V的維 數(shù)，記作dimV = r. N若向量組a1,a2,ar是向量空間V的一個(gè)基，則V可表示為 V =x = 1a1 + 2a2 + rar|1,r R . 15 第第第四四四章章章線線線性性性方方方程程程組組組 一一一.齊齊齊次次次線線線性性性方方方程程程組組組Ax = 0 N解解解的的

26、的判判判別別別 設(shè)AMm;n,xRn,則 (1)若m n,則Ax = 0有非零解; (2)若m = n,則 (i) Ax = 0有非零解|A|= 0R(A) nA不可逆A的列向 量組線性相關(guān); (ii) Ax = 0只有零解|A|= 0R(A) = nA可逆A的列向量 組線性無(wú)關(guān)。 (3)一般地, (i) Ax = 0有非零解R(A) nA的列向量組線性相關(guān); (ii) Ax = 0只有零解R(A) = nA的列向量組線性無(wú)關(guān). N解解解的的的性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì) (1)若x = 1,x = 2都是Ax = 0的解，則x = 1 + 2也是Ax = 0的解; (2)若x = 是Ax = 0的解，k為實(shí)

27、數(shù)，則x = k也是Ax = 0的解. 注注注：齊次線性方程組的解空間是一個(gè)向量空間。 定定定義義義齊次線性方程組Ax = 0解空間的基稱為該方程組的基礎(chǔ)解系. N求求求解解解步步步驟驟驟 設(shè)A Mm n; R(A) = r n,則齊線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系含有nr個(gè)向量 1; 2; ; r. 系數(shù)矩陣A初等行變換行最簡(jiǎn)形矩陣 R(A) = n時(shí);方程組只有零解； R(A) n時(shí);方程組的通解為x = k1 1 + k2 2 + + kn r n r. 二二二.非非非齊齊齊次次次線線線性性性方方方程程程組組組Ax = b N解解解的的的判判判別別別 設(shè)AMm;n,xRn 16 (1)對(duì)

28、(A . b)作初等變換化作階梯形 c11 c1r c1r+1 c1n d1 . . . . . . c rr cr;r+1 crn dr dr+1 0 . 0 (i) dr+1= 0無(wú)解； (ii) dr+1 = 0,r = n有唯一解； (iii) dr+1 = 0,r n有無(wú)窮多解. (2)非齊次線性方程組Ax = b有解 b可由A的列向量a1,a2,an線性表示 a1,a2,an與a1,a2,an,b是等價(jià)向量組 向量組a1,a2,an與a1,a2,an,b的秩相等 R(A) = R(B). N解解解的的的性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì) (1)若x = 1,x = 2都是Ax = b的解,則x = 12

29、是對(duì)應(yīng)的齊次線性方 程組Ax = 0的解. (2)若x = 是Ax = b的解,x = 是Ax = 0的解,則x = + 是Ax = b的 解. (3)若x = 是Ax = b的解,則Ax = b的任一解都可表示成 = + ,其 中是Ax = 0的解. N求求求解解解步步步驟驟驟 17 增廣矩陣B初等行變換行階梯形矩陣 判斷方程組是否有解若有解 行最簡(jiǎn)形矩陣 R(A) = R(B) = n時(shí);可直接求出其唯一解； R(A) = R(B) = r 0， 則稱f(x) = xTAx為正定二次型；若對(duì)任何x = 0，都有f(x) 0，則 稱f(x) = xTAx為半正定二次型；若對(duì)任何x = 0，都

30、有f(x) 0，則對(duì)任意隨機(jī)事件A，稱P(A|B) = P(AB) P(B)為已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。 乘乘乘法法法公公公式式式 P(B) 0P(AB) = P(A|B)P(B); P(A) 0P(AB) = P(A)P(B|A). 24 推廣： P(A1A2) 0 P(A1A2A3) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1); P(A1A2An) 0 P(A1A2An) = P(A1)P(A2|A1)P(An|An1A1). 全全全概概概率率率公公公式式式 設(shè)事件A1,A2,An兩兩互斥且滿足A1 + A+ An = U, P(Ai) 0 (i = 1,2,n

31、)，則對(duì)任一事件B，有 P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(An)P(B|An) = n i=1 P(Ai)P(B|Ai). Bayes公公公式式式 設(shè)事件A1,A2,An兩兩互斥且滿足A1 + A+ An = U, P(Ai) 0 (i = 1,2,n)，則對(duì)任一事件B，有 P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)n i=1 P(Ai)P(B|Ai) . 注注注：稱P(A1),P(A2),P(An)為驗(yàn)前概率，P(A1|B),P(A2|B),P(An|B)為 驗(yàn)后概率。 Bernoulli概概概型型型與與與二二二項(xiàng)項(xiàng)項(xiàng)概概概率率率公公公式式式 若

32、試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A與 A，并設(shè)P(A) = p, P( A) = q = 1 p。把E獨(dú)立地重復(fù)n次構(gòu)成的新的試驗(yàn)稱為n重Bernoulli試驗(yàn)。 記Pkn(A)為n重Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率，則 Pkn(A) = Cknpkqnk, 稱之為二項(xiàng)概率公式。 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)：熟練掌握如何運(yùn)用上述四個(gè)公式計(jì)算事件的概率。 定定定義義義設(shè)A, B為任意兩個(gè)事件。若P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件A與 事件B相互獨(dú)立。 25 注注注：1必然事件U、不可能事件與任一事件均是相互獨(dú)立的； 2相互獨(dú)立;:互斥。 26 第第第二二二部部部分分分隨隨隨機(jī)機(jī)機(jī)變變變量量量 定

33、定定義義義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量。對(duì)于實(shí)軸上任意一個(gè)集合S，S為一個(gè) 隨機(jī)事件。稱PS為隨機(jī)變量的分布；特殊地，若取S = (,x)， 則稱 F(x) = P x 為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 N分布函數(shù)的性質(zhì) （1）0F(x)1. （2）若x1 x2，則F(x1)F(x2). （3）limn F(x) = 0, limn+ F(x) = 1. （4）limxx00 F(x) = F(x0). （一）一維離散型隨機(jī)變量 定定定義義義定義在樣本空間U上，取值于實(shí)數(shù)域R，且只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值 的隨機(jī)變量稱為一維離散型隨機(jī)變量。設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它所有 可能取值為a1,a2,，事件P = ai= pi

34、(i = 1,2,),則可用下述表 格表達(dá)的取值規(guī)律： a1 a2 ai 概率p1 p2 pi 稱這個(gè)表格為離散型隨機(jī)變量的分布密度。又若 = g()，則稱為的函 數(shù)且仍為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布密度為 g(a1) g(a2) g(ai) 概率p1 p2 pi 27 若級(jí)數(shù)i aipi絕對(duì)收斂，則稱E = i aipi為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期 望，并稱D = E(E)2 = (E)2E2為離散型隨機(jī)變量的方差。 N離散型隨機(jī)變量分布密度的性質(zhì) (1) 0pi1; (2) ni=1 pi = 1. N常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布密度及其數(shù)字特征 (1)均勻分布： 分布密度： a1 a2 an 概率

35、1n 1n 1n 數(shù)學(xué)期望：E = a1+a2+ann 方差：D = (a1+a2+ann )2a21+a22+a2nn (2)二項(xiàng)分布B(n,p)： 分布密度： 0 1 i n 概率qn C1npqn1 Cinpiqni pn 數(shù)學(xué)期望：E = np 方差：D = npq (3)幾何分布： 分布密度： 1 2 i 概率p pq pqi1 28 數(shù)學(xué)期望：E = 1p 方差：D = 1pp2 (4) Poisson分布P()： 分布密度： 0 1 2 i 概率e e 22 e ii e 數(shù)學(xué)期望：E = 方差：D = （二）一維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 定定定義義義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)

36、是其分布函數(shù)。若存在函數(shù)(x)，使對(duì) 任意x，有 F(x) = x (x)dx, 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱(x)為的分布密度。又若 = g()，則 稱為的函數(shù)且仍為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 F (y) = P y= Pg() y. 若積分+ x(x)dx絕對(duì)收斂，則稱E = + x(x)dx為連續(xù)型隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望，并稱D = E(E)2 = (E)2E2為連續(xù)型隨機(jī)變量的 方差。 N連續(xù)型隨機(jī)變量分布密度的性質(zhì) (1) (x)0. (2) + (x)dx = 1. (3)在(x)的連續(xù)點(diǎn)處必有F(x) = (x). 29 要要要點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)：利用分布函數(shù)或分布密度可計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在實(shí)數(shù)軸上 任一區(qū)間上的概率，即 Pab= F(b)F(a) = b a (x)dx. 特殊地，連續(xù)型隨機(jī)變量在一點(diǎn)處取值的概率值為零，即P = a= 0. N常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度及其數(shù)字特征