《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.7.2.1 拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.7.2.1 拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網(wǎng)（9頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、27.2拋物線的幾何性質(zhì)第1課時(shí)拋物線的幾何性質(zhì)必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.拋物線的幾何性質(zhì)主要有哪些？2.焦半徑的性質(zhì)有哪些？拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)FFFF準(zhǔn)線方程xxyy頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)離心率e1(1)拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比有哪些不同？提示：拋物線的離心率等于1，只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對稱軸、一條準(zhǔn)線；它沒有中心，也沒有漸近線(2)過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段長度是

2、多少？提示：這條線段是拋物線的通徑，長度為2p，借助于通徑可以畫出較準(zhǔn)確的拋物線1辨析記憶(對的打“”，錯(cuò)的打“×”).(1)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p.()(2)拋物線的范圍是xR，yR.()(3)拋物線是軸對稱圖形()提示：(1).拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p.(2)×.拋物線的方程不同，其范圍就不一樣，如y22px(p>0)的范圍是x0，yR，故此說法錯(cuò)誤(3).拋物線y2±2px(p>0)的對稱軸為x軸，拋物線x2±2py(p>0)的對稱軸為y軸，故此說法正確2拋物線yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A B(4，0)C D(0，4)【解析

3、】選D.因?yàn)閽佄锞€yx2，所以x216y，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4).3已知過拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長度為2，則實(shí)數(shù)a的值為()A4 B2 C1 D0【解析】選B.由題意可得焦點(diǎn)F，將x代入拋物線方程可得y2，解得y±，所以a2.4已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y22x上，則這個(gè)正三角形的邊長是_【解析】由題意得，正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，邊長為a，則有tan ，解得y02，再由正弦定理sin ，解得a4.答案：4關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.頂點(diǎn)在原

4、點(diǎn)，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是()Ax216y Bx28yCx2±8y Dx2±16y2以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y3已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為_【解析】1.選D.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個(gè)：x22py，x22py(p0)，由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，知p8，故所求拋物線

5、的方程為x216y或x216y.2選C.設(shè)拋物線方程為y22px或y22px(p>0)，依題意將x或x代入y22px或y22px，得|y|p，所以2|y|2p8，p4.所以拋物線方程為y28x或y28x.3因?yàn)殡p曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2，所以2，所以ba，所以雙曲線的漸近線方程為x±y0.所以拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，所以p8，所以所求的拋物線方程為x216y.答案：x216y用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟提醒：求拋物線的方程時(shí)要注意拋物線的焦點(diǎn)位置，不同的焦點(diǎn)設(shè)出不同的方程【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線1(a>

6、0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】由已知得2，所以4，解得，即漸近線方程為y±x.而拋物線準(zhǔn)線方程為x，于是A，B，從而AOB的面積為·p·，可得p2.因?yàn)閽佄锞€開口向右，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.類型二焦點(diǎn)弦問題(邏輯推理)【典例】已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離四步內(nèi)容理解題意條件：已知拋物線

7、方程及過拋物線焦點(diǎn)的直線結(jié)論：求弦長及線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離思路探求(1)寫出直線方程，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立求得坐標(biāo)，利用弦長公式求得弦長(2)利用拋物線定義結(jié)合焦點(diǎn)弦的長度求得中點(diǎn)橫坐標(biāo)書寫表達(dá)(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以其斜率ktan 60°，又F，所以直線l的方程為y.聯(lián)立消去y得4x220x90，解得x1，x2，故|AB|×2×48.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義，知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x239，所以x1x26，于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x，所以M到準(zhǔn)線的距離等于

8、3.易錯(cuò)關(guān)注點(diǎn)：聯(lián)立方程組，消元時(shí)一定要確保正確性；會應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長或解決中點(diǎn)弦問題，避免求解交點(diǎn)的煩瑣運(yùn)算題后反思提示：已知過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p，|AF|x1.(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切1拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)若拋物線y22px(p0)，則|PF|x0；若拋物線y22px(p0)，則|PF|x0；若拋物線x22py(p0)，則

9、|PF|y0；若拋物線x22py(p0)，則|PF|y0.2.過焦點(diǎn)的弦長的求解方法設(shè)過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p，然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2即可過拋物線y24x的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|.【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得拋物線的焦點(diǎn)是F(1，0)，p2，所以直線AB的方程是yx1，聯(lián)立消去y得x26x10，所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.類型三拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知拋

10、物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作直線AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)【思路導(dǎo)引】(1)利用拋物線的定義求出p；(2)求出直線FA和MN的方程，聯(lián)立解方程組【解析】(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，于是45，所以p2.所以拋物線方程為y24x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2).又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA，因?yàn)镸NFA，所以kMN.又FA的方程為y(x1)，MN的方程為y2x，聯(lián)立，解得x，y，

11、所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為.利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題(4)焦點(diǎn)：解決焦點(diǎn)弦問題已知A，B是拋物線y22px(p0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|OB|，且ABO的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F，求直線AB的方程【解析】拋物線的焦點(diǎn)F，因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，|OA|OB|，所以ABO為等腰三角形，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，設(shè)A(x0，y0)，則B(x0，y0)，因?yàn)锳BO的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，所以BFOA.則kBF·kOA1，即·1.又因?yàn)閥2px0，所以

12、x0p，所以直線AB的方程為x.備選類型拋物線中的最值問題(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【典例】求拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80的最小值【思路導(dǎo)引】方法一：(代數(shù)法)設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值；方法二：(幾何法)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩條平行線間的距離求解【解析】方法一：設(shè)A(t，t2)為拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線4x3y80的距離d×3(t)2×.所以當(dāng)t時(shí)，d有最小值.方法二：如圖，設(shè)與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0，由消去y得3x24xm0，所以1612m0，所以m.所以最小距離為.與拋物線相關(guān)的最值的求法(1)若曲線和直線相離，在曲線上求一

13、點(diǎn)到直線的距離最小問題，可找到與已知直線平行的直線，使其與曲線相切，則切點(diǎn)為所要求的點(diǎn)(2)以上問題一般轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或“點(diǎn)到直線的垂線段最短”來解決課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1. 若拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p()A2 B3 C4 D8【解析】選D.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為(±，0)，拋物線的焦點(diǎn)為，由已知可得，解得p8.2若拋物線x28y上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍，則y0()A B C1 D2【解析】選D.因?yàn)镻(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離dy02，則y022y0，解得y02.3若拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1，則p的取值范圍是()Ap1 Bp1 Cp2 Dp2【解析】選D.設(shè)P點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，則P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線：x的距離，顯然當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值，所以1，即p2.4設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_【解析】由拋物線y22px(p&g