《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.7.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網(wǎng)（11頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、27拋物線及其方程2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程必備知識·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.什么叫做拋物線？2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些？1.拋物線的定義設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，其中定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線定義中為什么要求直線l不經(jīng)過點(diǎn)F?提示：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線，而不是拋物線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于拋物線焦點(diǎn)位置不同，方程也就不同，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式：y22px(p>0)，y22px(p>0)，x22py(p>0)，x22py(p

2、>0).現(xiàn)將這四種拋物線對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程xxyyp的幾何意義焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離二次函數(shù)的圖象也是拋物線，與本節(jié)所學(xué)拋物線相同嗎？提示：不完全相同當(dāng)拋物線的開口向上或向下時(shí)可以看作是二次函數(shù)的圖象，當(dāng)開口向左或向右時(shí)不能看作二次函數(shù)的圖象1辨析記憶(對的打“”，錯(cuò)的打“×”).(1)拋物線的方程都是二次函數(shù)()(2)準(zhǔn)線方程為y4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216y.()(3)拋物線的開口方向由一次項(xiàng)確定()提示：(1)&#

3、215;.當(dāng)拋物線是開口向上或向下時(shí)，該曲線也是二次函數(shù)的圖象；當(dāng)拋物線是開口向右或向左時(shí)，該曲線不是二次函數(shù)的圖象(2).由題意可設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y4，所以p8，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y.(3).一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定焦點(diǎn)是在正半軸或負(fù)半軸上，故該說法正確2已知拋物線x24y上的一點(diǎn)M到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A0 B C1 D2【解析】選C.根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，準(zhǔn)線方程為y1，根據(jù)拋物線定義，得yM12，解得yM1.3已知定點(diǎn)A，F(xiàn)為拋物線y26x的焦點(diǎn)，P為拋物

4、線上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為()A5 B4.5 C3.5 D不能確定【解析】選C.如圖所示，過點(diǎn)P作PM準(zhǔn)線l，垂足為M，則當(dāng)且僅當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|PA|取得最小值23.5.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與y軸垂直，且經(jīng)過點(diǎn)(，1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay22x By22x Cx22y Dx22y2(多選題)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則C的方程可能為()Ay2x By22x Cy24x D. y216x3求焦點(diǎn)在直線x2y40上的拋

5、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】1.選D.因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與y軸垂直，且經(jīng)過點(diǎn)(，1)，所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py，p0，把點(diǎn)(，1)代入，得22p，解得p1，所以拋物線方程為x22y.2選CD.易知拋物線的焦點(diǎn)為F.由拋物線的定義，得M.設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2).因?yàn)閳A過點(diǎn)N(0，2)，所以NFNM，即×1.設(shè)t，則式可化為t24t80，解得t2，即p210p160，解得p2或p8.3當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，已知方程x2y40，令x0，得y2，所以所求拋物線的焦點(diǎn)為(0，2)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，由2，得2p8，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y；當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上

6、時(shí)，已知x2y40，令y0，得x4，所以拋物線的焦點(diǎn)為(4，0)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，由4，得2p16，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.綜上，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y或y216x.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出方程，進(jìn)行化簡，根據(jù)定義求出p，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程(2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時(shí)應(yīng)首先確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)半軸上，進(jìn)而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值【補(bǔ)償訓(xùn)練】根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x29y2144的左頂點(diǎn)；(2)拋物線的

7、焦點(diǎn)F在x軸上，直線y3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|5.【解析】(1)雙曲線方程可化為1，左頂點(diǎn)為(3，0)，由題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)且3，所以p6，所以拋物線的方程為y212x.(2)設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程為y22px(p0)，A(m，3)，由拋物線定義，得5|AF|.又(3)22pm，所以p±1或p±9，故所求拋物線方程為y2±2x或y2±18x.類型二拋物線的定義及其應(yīng)用(邏輯推理)【典例】1.(多選題)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為()A4 B2 C4 D2

8、2動(dòng)圓的圓心在拋物線y28x上，且動(dòng)圓恒與直線x20相切，則動(dòng)圓必過定點(diǎn)()A(4，0) B(2，0)C(0，2) D(0，2)3已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)(1，0)，且與直線x1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡是_【解析】1.選AC.由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p>0)，由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故24，所以p4，所以x28y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x28y，得m±4.2選B.因?yàn)閳A心到直線x20的距離等于到拋物線焦點(diǎn)的距離，所以定點(diǎn)為(2，0).3設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與其到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡是拋物線答案：拋物線拋物

9、線的判斷方法(1)定義判斷：可以看動(dòng)點(diǎn)是否符合拋物線的定義，即到定點(diǎn)的距離等于到定直線(直線不過定點(diǎn))的距離(2)方程判斷：求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，看方程是否符合拋物線的方程1(2020·全國卷)已知A為拋物線C：y22px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p()A2 B3 C6 D9【解析】選C.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知|AF|xA12，即129，解得p6.2若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程【解析】由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l：x的距離相等由拋

10、物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，其方程應(yīng)為y22px(p>0)的形式，而，所以p1，2p2，故點(diǎn)M的軌跡方程為y22x(x0).類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5 m時(shí)，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時(shí)，小船開始不能通航？【思路導(dǎo)引】以橋的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拱高所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系后，利用已知條件求出拋物線方程，然后求解【解析】以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)拋

11、物線方程為x22py(p>0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時(shí)，小船開始不能通航求拋物線實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(3)通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)求出需要求出的量(5)還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水

12、和食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐已知鏡口圓的直徑為12米，鏡深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作點(diǎn)，求每根鐵筋的長度為多少米【解析】如圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于鏡口直徑由已知，得A點(diǎn)坐標(biāo)是(2，6)，設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則362p×2，p9.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y218x，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F.因?yàn)槭⑺褪澄锏娜萜髟诮裹c(diǎn)處，所以A，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離即為每根鐵筋長|AF|6.5，故每根鐵筋的長度是6.5米【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示，花壇水池中央有一噴泉，水管OP1

13、m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面2 m，P距拋物線的對稱軸1 m，則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)多長？(精確到1 m)【解析】如圖所示，以拋物線狀噴泉的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，以過原點(diǎn)且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0).依題意有P(1，1)在此拋物線上，代入得p，故拋物線方程為x2y.又點(diǎn)B在拋物線上，將B(x，2)代入拋物線方程得x，即|AB|，則|OB|OA|AB|1，因此水池的直徑為2(1)m，約為5 m，即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計(jì)為5 m備選類型拋物線的最值問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知拋物線y24x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)

14、，對于定點(diǎn)A(4，2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)【思路導(dǎo)引】利用拋物線的定義，把|PF|轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離【解析】如圖，作PNl于N(l為準(zhǔn)線)，作ABl于B，則|PA|PF|PA|PN|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取等號所以(|PA|PF|)min|AB|415.此時(shí)yP2，代入拋物線得xP1，所以P(1，2).在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A B3 C D【解析】選A.由