《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊.docx（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第二章平面解析幾何2.7拋物線及其方程2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(多選)對(duì)拋物線x2=4y,下列描述不正確的是()A.開口向上,焦點(diǎn)為(0,1)B.開口向上,焦點(diǎn)為0,116C.開口向右,焦點(diǎn)為(1,0)D.開口向右,焦點(diǎn)為116,0答案BCD解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,2p=4,p=2,解得p2=1,因此拋物線的焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線為y=-1,可得該拋物線的開口向上.2.拋物線y=2x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A.2B.1C.14D.12答案C解析拋物線y=2x2化為x2=12y,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為14.3.平面上動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(3,0)的距離等于M到直

2、線l:x=-3的距離,則動(dòng)點(diǎn)M滿足的方程是()A.y2=6xB.y2=12xC.x2=6yD.x2=12y答案B解析由條件可知,點(diǎn)M到點(diǎn)F(3,0)的距離與到直線x=-3的距離相等,所以點(diǎn)M的軌跡是以F(3,0)為焦點(diǎn),x=-3為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=12x.4.已知雙曲線8x2-8y2=-1有一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線C:x2=2py(p0)的準(zhǔn)線上,則p的值為()A.2B.1C.12D.14答案B解析雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是y218-x218=1,a2=b2=18,c2=a2+b2=14,所以c=12,焦點(diǎn)為0,12,所以p2=12,p=1.5.已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上

3、一點(diǎn),|AF|=54x0,則x0等于()A.4B.2C.1D.8答案C解析如圖,F14,0,過A作AA準(zhǔn)線l,|AF|=|AA|,54x0=x0+p2=x0+14,x0=1.6.如圖所示,一隧道內(nèi)設(shè)有雙行線公路,其截面由一個(gè)長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成.為保證安全,要求行駛車輛頂部(假設(shè)車頂為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.6 m,已知行車道總寬度|AB|=7 m,則車輛通過隧道的限制高度為()A.3.90 mB.3.95 mC.4.00 mD.4.05 m答案B解析設(shè)拋物線的方程為x2=ay,可知點(diǎn)(5,-5)在該拋物線上,則-5a=52,解得a=-5,所以,拋物線的方程

4、為x2=-5y,將x=3.5代入拋物線方程得-5y=3.52,解得y=-2.45,因此,車輛通過隧道的限制高度為7-2.45-0.6=3.95(m).7.若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.答案9解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1.由M到焦點(diǎn)的距離為10,可知M到準(zhǔn)線x=-1的距離也為10,故M的橫坐標(biāo)滿足xM+1=10,解得xM=9,所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.8.一拋物線形拱橋,當(dāng)橋頂離水面2米時(shí),水面寬4米,若水面下降2米,則水面寬為米.答案42解析以拱橋的拱頂為原點(diǎn),以過拱頂且平行于水面的直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線

5、方程為x2=-2py(p0).由當(dāng)橋頂離水面2米時(shí),水面寬4米可得圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-2),所以4=-2p(-2),解得p=1.所以拋物線的方程為x2=-2y.當(dāng)水面下降2米,即當(dāng)y=-4時(shí),可得x2=-2(-4)=8,解得x=22,因此水面寬為42米.9.根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點(diǎn);(2)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)A,|AF|=5.解(1)雙曲線方程可化為x29-y216=1,左頂點(diǎn)為(-3,0),由題意設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0)且-p2=-3,p=6,拋物線的方程為y2=-12x.(2

6、)設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程為y2=2nx(n0),A(m,-3),由拋物線定義得5=|AF|=m+n2.又(-3)2=2nm,n=1或n=9,故所求拋物線方程為y2=2x或y2=18x.10.已知點(diǎn)P是拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7),求|PA|+|PQ|的最小值.解拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,如圖,設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影是點(diǎn)M,根據(jù)拋物線的定義知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1|AF|-1=82+(7-1)2-1=10-1=9,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F三點(diǎn)共

7、線時(shí),等號(hào)成立.故|PA|+|PQ|的最小值為9.關(guān)鍵能力提升練11.AB是拋物線y2=2x的一條焦點(diǎn)弦,|AB|=4,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A.2B.12C.32D.52答案C解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,x1+x22=32.12.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F.P,Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn),若PQF是邊長為2的正三角形,則p的值為()A.3-1B.31C.23D.2+3答案C解析根據(jù)題意可得Fp2,0,設(shè)Py122p,y1,Qy222p,y2(y1y2),由題意可得|PF|=|QF|,以及|PF|=x

8、P+p2=y122p+p2,|QF|=xQ+p2=y222p+p2,y122p+p2=y222p+p2,則y12=y22,又y1y2,y1=-y2.|PQ|=2=2|y1|,|y1|=1,|PF|=12p+p2=2,解得p=23.13.(多選)方程(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5表示的曲線不可能為()A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.圓答案BCD解析設(shè)P(x,y),由方程(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5得,點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,2)的距離等于點(diǎn)P到直線3x-4y-6=0的距離,又點(diǎn)F不在直線3x-4y-6=0上,由拋物線的定義得,曲線為拋物線.14.以下四個(gè)命題:平面內(nèi)

9、與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線;拋物線y=ax2的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是|a|4;直線l與拋物線y2=2px(p0)交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p;正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px(p0)上,則此正三角形的邊長為43p.其中正確命題的序號(hào)是.答案解析當(dāng)定點(diǎn)F正好在定直線l上時(shí),平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線,故錯(cuò);當(dāng)a0時(shí),整理拋物線方程得x2=1ay,p=12a.所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,14a,拋物線y=ax2的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是14|a|,故錯(cuò);當(dāng)直線l不是過拋物線焦點(diǎn)的直線時(shí)

10、,直線l與拋物線y2=2px(p0)交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p不成立,故錯(cuò);設(shè)正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為m22p,m,m22p,-m,由tan30=33=mm22p,解得m=23p,故這個(gè)正三角形的邊長為2m=43p,故正確.15.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與到定直線x=-1的距離相等.(1)求曲線C的方程;(2)若曲線C上有兩個(gè)定點(diǎn)A,B分別在其對(duì)稱軸的上、下兩側(cè),且|FA|=2,|FB|=5,求原點(diǎn)O到直線AB的距離.解(1)曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等,曲線C的軌跡是以F(1,0)為

11、焦點(diǎn)的拋物線,且p2=1,曲線C的方程為y2=4x.(2)由拋物線的定義結(jié)合|FA|=2可得,A到準(zhǔn)線x=-1的距離為2,即A的橫坐標(biāo)為1,代入拋物線方程可得y=2,即A(1,2),同理可得B(4,-4),故直線AB的斜率k=2-(-4)1-4=-2,故AB的方程為y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,原點(diǎn)O到直線AB的距離為|-4|22+12=455.學(xué)科素養(yǎng)拔高練16.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點(diǎn)M在AB上,且|AM|=13|AB|,點(diǎn)P在平面ABCD上,且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離與P到點(diǎn)M的距離相等,在平面直角坐標(biāo)系xAy中,動(dòng)點(diǎn)

12、P的軌跡方程是,此曲線的焦點(diǎn)為.答案x2=2y+80,-72解析作PNAD,NHA1D1,N,H為垂足,圖略,則PN面A1D1DA,由線面垂直的判定可得出PHA1D1.以AD,AB,AA1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y,0),由題意可得M(0,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,x2+(y-1)2=y2+9,整理,得x2=2y+8,即x2=2(y+4),該曲線的焦點(diǎn)可以看作是由x2=2y的焦點(diǎn)向下平移4個(gè)單位長度得到的,即0,-72.17.已知M到點(diǎn)F(1,0)和直線x=-1的距離相等,記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)F作相互垂直的兩條直線l

13、1,l2,曲線C與l1交于點(diǎn)P1,P2,與l2交于點(diǎn)Q1,Q2,試證明:1|P1P2|+1|Q1Q2|=14.(1)解點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)和直線x=-1的距離相等,由拋物線的定義可知,點(diǎn)M的軌跡是拋物線,設(shè)方程為y2=2px(p0),p2=1,p=2.軌跡C的方程為y2=4x.(2)證明由題意知,l1,l2的斜率均存在且不為0.設(shè)l1的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程,整理可得k2x-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)P1,P2的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,則x1+x2=2k2+4k2,|P1P2|=x1+x2+p=4k2+4k2,以-1k代入,可得|Q1Q2|=4+4k2,1|P1P2|+1|Q1Q2|=14.- 5 -