過關(guān)綜合測(cè)評(píng) 第二章測(cè)評(píng)(一) (時(shí)間:120分鐘　滿分:150分) 一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2021廣東湛江模擬)已知直線l的傾斜角α滿足方程sinα1+cosα=2,則直線l的斜率為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-43 B.43 C.34 D.-34 答案A 解析因?yàn)閟inα1+cosα=2, 所以2sinα2cosα21+2cos2α2-1=tanα2=2. 所以tanα=2tanα21-tan2α2=-43,即直線l的斜率為-43. 2.若直線l1:3x-4y-1=0與l2:3x-ay+2=0(a∈R)平行,則l1與l2間的距離是(　　) A.15 B.25 C.35 D.45 答案C 解析兩條直線l1:3x-4y-1=0與l2:3x-ay+2=0平行,則-3a+12=0,解得a=4. 所以直線l2:3x-4y+2=0, 所以兩直線間的距離d=35. 3.(2020北京大興高二期中)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案D 解析設(shè)圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=m(m>0),且圓過原點(diǎn),即(0-1)2+(0-1)2=m(m>0),得m=2,所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.故選D. 4.經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心C,且與直線x+y=0垂直的直線方程是(　　) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 答案C 解析圓x2+2x+y2=0的圓心C為(-1,0),而直線與x+y=0垂直,所以待求直線的斜率為1. 設(shè)待求直線的方程為y=x+b,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得b=1,則直線的方程為x-y+1=0.故選C. 5.(2020福建莆田一中檢測(cè))平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是(　　) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+5=0或2x+y-5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+5=0或2x-y-5=0 答案A 解析設(shè)所求直線方程為2x+y+b=0,則|b|5=5,解得b=±5,所以所求直線方程為2x+y+5=0或2x+y-5=0.故選A. 6.若圓心在直線3x-y=0上且與x軸相切的圓,被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為27,則圓心到直線y=x的距離為(　　) A.4 B.22 C.2 D.2 答案C 解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,3a),則r=|3a|, 圓心到直線x-y=0的距離d=|a-3a|2=2|a|, 則有(2|a|)2+(7)2=|3a|2,解得|a|=1, 所以圓心到直線y=x的距離為2. 7.(2021四川廣元模擬)已知過點(diǎn)(0,2)的直線l與圓心為C的圓(x-2)2+(y-1)2=10相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)△ABC面積最大時(shí),直線l的方程為(　　) A.2x-y+2=0 B.2x-y+2=0或2x+y-2=0 C.x=0 D.x=0或2x+y-2=0 答案A 解析當(dāng)△ABC的面積最大時(shí),CA⊥CB. ∵圓C:(x-2)2+(y-1)2=10的半徑為10, ∴圓心C到AB的距離d=5. 當(dāng)直線斜率不存在時(shí),不合題意; 故直線斜率存在,設(shè)直線方程為y=kx+2, 即kx-y+2=0. C(2,1)到直線kx-y+2=0的距離d=|2k-1+2|k2+1=5, 解得k=2. ∴當(dāng)△ABC的面積最大時(shí),直線l的方程為2x-y+2=0. 8.(2021廣西桂林一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-4x=0,若直線y=2x+1上存在一點(diǎn)P,使過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(　　) A.±35 B.±153 C.±155 D.±53 答案C 解析由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4. 則圓心C(2,0),半徑r=2. ∵過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直,∴P,C及兩切點(diǎn)構(gòu)成正方形,得|PC|=22. ∵P在直線y=2x+1上,∴設(shè)P(a,2a+1), 得(a-2)2+(2a+1)2=8,解得a=±155. 二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分. 9.已知直線l1:3x+y-3=0,直線l2:6x+my+1=0,則下列表述正確的有(　　) A.直線l2的斜率為-6m B.若直線l1垂直于直線l2,則實(shí)數(shù)m=-18 C.直線l1傾斜角的正切值為3 D.若直線l1平行于直線l2,則實(shí)數(shù)m=2 答案BD 解析當(dāng)m=0時(shí),直線l2的斜率不存在,故A錯(cuò)誤; 直線l1垂直于直線l2,則有3×6+1×m=0, 解得m=-18,故B正確; 直線l1的斜率為-3,故傾斜角的正切值為-3,故C錯(cuò)誤; 當(dāng)直線l1平行于直線l2,則3m-6=0,1×1+3m≠0, 解得m=2,故D正確. 10.(2021福建漳州檢測(cè))已知等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)為C(3,3),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),則點(diǎn)B的坐標(biāo)可以為(　　) A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2) 答案AC 解析設(shè)B(x,y), ∵等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)為C(3,3),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4), ∴y-3x-3×4-30-3=-1,(x-3)2+(y-3)2=(0-3)2+(4-3)2, 解得x=2,y=0或x=4,y=6, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(4,6). 11.(2020江蘇如皋中學(xué)高二期中)下列說法正確的是(　　) A.若兩條直線互相平行,則它們的斜率相等 B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面內(nèi)的任何直線 C.圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為(1,-2),半徑為5 D.若直線(2t-3)x+2y+t=0不經(jīng)過第二象限,則t的取值范圍是0,32 答案BD 解析對(duì)于A,若兩條直線均平行于y軸,則兩條直線斜率都不存在,故A錯(cuò)誤. 對(duì)于B,若直線不平行于坐標(biāo)軸,則原方程可化為y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,為直線兩點(diǎn)式方程;當(dāng)直線平行于x軸,則原方程可化為y=y1;當(dāng)直線平行于y軸,則原方程可化為x=x1. 綜上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面內(nèi)的任何直線,故B正確. 對(duì)于C,圓的方程可整理為(x+1)2+(y-2)2=5,則圓心為(-1,2),故C錯(cuò)誤. 對(duì)于D,若直線不經(jīng)過第二象限, 則-2t-32≥0,-t2≤0,解得0≤t≤32,故D正確. 12.(2020山東棗莊檢測(cè))已知P,Q分別為圓M:(x-6)2+(y-3)2=4與圓N:(x+4)2+(y-2)2=1上的動(dòng)點(diǎn),A為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|AP|+|AQ|的值可能是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案CD 解析圓N:(x+4)2+(y-2)2=1關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為圓N':(x+4)2+(y+2)2=1,則|AP|+|AQ|的最小值為|MN'|-1-2=102+52-3=55-3≈8.2,最大值為|MN'|+1+2=55+3≈14.2.故選CD. 三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分. 13.(2021天津河西一模)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　　　.? 答案x2+(y+2)2=5 解析如圖, 由圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直,得m+12=-12,解得m=-2. ∴圓心為(0,-2),則半徑r=(-2-0)2+(-1+2)2=5. ∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+2)2=5. 14.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線也稱為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),若其歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　　　　.? 答案(-4,0) 解析設(shè)C(m,n),由重心坐標(biāo)公式可得,△ABC的重心為2+m3,4+n3, 代入歐拉線方程可得,2+m3-4+n3+2=0,整理可得m-n+4=0.① 又AB的中點(diǎn)為(1,2),直線AB的斜率為4-00-2=-2, 所以AB的中垂線方程為y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,聯(lián)立方程x-2y+3=0,x-y+2=0,解得x=-1,y=1, 所以△ABC的外心為(-1,1). 則有(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理可得m2+n2+2m-2n=8.② 由①②可得,m=-4,n=0或m=0,n=4, 當(dāng)m=0,n=4時(shí),點(diǎn)B,C重合,舍去, 故頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0). 15.已知直線x-3y+8=0和圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=6,則r的值為　　　　　.? 答案5 解析因?yàn)閳A心(0,0)到直線x-3y+8=0的距離d=81+3=4, 由|AB|=2r2-d2可得6=2r2-42,解得r=5. 16.已知m∈R,動(dòng)直線l1:x+my-2=0過定點(diǎn)A,動(dòng)直線l2:mx-y-2m+3=0過定點(diǎn)B,若l1與l2交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A,B),則|PA|+|PB|的最大值為　　　　　.? 答案32 解析l1:x+my-2=0可變形為(x-2)+my=0,令y=0,則x=2, 故動(dòng)直線l1:x+my-2=0過定點(diǎn)A(2,0). l2:mx-y-2m+3=0可變形為m(x-2)-(y-3)=0,令x=2,則y=3, 故動(dòng)直線l2:mx-y-2m+3=0過定點(diǎn)B(2,3). 又1·m+m·(-1)=0,所以直線l1與直線l2垂直, 則有PA⊥PB,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=9, 所以|PA|+|PB|22≤|PA|2+|PB|22=92, 即|PA|+|PB|≤32,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí),等號(hào)成立.所以|PA|+|PB|的最大值為32. 四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(10分)已知直線l經(jīng)過兩條直線l1:3x+4y-2=0與l2:2x+y+2=0的交點(diǎn)P. (1)求垂直于直線l3:x-2y-1=0的直線l的方程; (2)求與坐標(biāo)軸相交于兩點(diǎn),且以P為中點(diǎn)的直線方程. 解(1)由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,得x=-2,y=2,故P(-2,2). ∵l垂直于l3:x-2y-1=0,∴l(xiāng)的斜率為-2, ∴l(xiāng)的方程為y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0. (2)設(shè)過點(diǎn)P(-2,2)的直線l與x軸交于點(diǎn)A(a,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,b), 由題意可知,P為A,B中點(diǎn), 則有a+02=-2,b+02=2,解得a=-4,b=4, 則A(-4,0),B(0,4), 故l的斜率為k=4-00-(-4)=1, 則所求直線的方程為y-2=x+2,即x-y+4=0. 18. (12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,邊AB所在直線方程為2x-y-2=0,點(diǎn)C(2,0),BC=1,B為第一象限內(nèi)的點(diǎn). (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo); (2)求AB邊上的高CE所在直線的方程; (3)求直線AB與直線CD之間的距離. 解(1)設(shè)B(a,2a-2),∵C(2,0),BC=1, ∴(a-2)2+(2a-2)2=1,解得a=1或a=75. ∵B為第一象限點(diǎn),∴2a-2>0,即a>1. ∴a=75,則B75,45. (2)∵邊AB所在直線方程為2x-y-2=0, ∴kCE=-1kAB=-12. 又CE經(jīng)過點(diǎn)C(2,0), ∴AB邊上的高CE所在直線的方程為 y=-12(x-2),即x+2y-2=0. (3)∵AB∥CD,∴kCD=kAB=2. ∵點(diǎn)C(2,0), ∴直線CD的方程為y=2(x-2), 即2x-y-4=0. 又AB所在直線方程為2x-y-2=0,則直線AB與直線CD之間的距離d=|-4-(-2)|5=255. 19.(12分) (2020陜西咸陽(yáng)期末)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形OABC的長(zhǎng)為3,寬為2,邊OA,OC分別在x軸、y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求OB所在直線的方程. (2)線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使得CP⊥OP?若存在,求出線段AP的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說明理由. 解(1)由題意可知O(0,0),B(2,3),C(0,3), 所以O(shè)B所在直線的斜率為3-02-0=32, 所以O(shè)B所在直線的方程為y-0=32(x-0), 即3x-2y=0. (2)不存在點(diǎn)P,使得CP⊥OP,理由如下: 假設(shè)線段AB上存在點(diǎn)P(2,a)(0≤a≤3),使得CP⊥OP, 顯然直線CP與直線OP都存在斜率,分別記作kCP,kOP, 所以kCP·kOP=-1, 所以kCP=a-32-0=a-32,kOP=a-02-0=a2, 所以a-32·a2=-1,即a2-3a+4=0, 則Δ=(-3)2-4×4<0,故方程無解, 所以線段AB上不存在點(diǎn)P,使得CP⊥OP. 20.(12分)(2020山西太原期中)已知圓M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圓N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圓M上任意一點(diǎn)關(guān)于直線x+y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓M上. (1)求圓M的方程; (2)證明圓M和圓N相交,并求兩圓公共弦的長(zhǎng)度l. (1)解圓M:x2+y2-2ax+10ay-24=0的圓心M(a,-5a),因?yàn)閳AM上任意一點(diǎn)關(guān)于直線x+y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓M上, 所以直線x+y+4=0經(jīng)過點(diǎn)M,可得a-5a+4=0,解得a=1,則圓M的方程為x2+y2-2x+10y-24=0. (2)證明因?yàn)閳AM的圓心M(1,-5),半徑r1=52, 圓N的圓心N(-1,-1),半徑r2=10, |MN|=(1+1)2+(-5+1)2=25. 因?yàn)?2-10<25<52+10, 所以圓M和圓N相交. 由x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0,兩式相減可得公共弦的直線方程為x-2y+4=0, M到直線的距離為d=|1+10+4|5=35, 所以l22=r12-d2=50-45=5,解得l=25, 則兩圓公共弦的長(zhǎng)度l=25. 21.(12分) (2020湖北襄陽(yáng)質(zhì)檢)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=43. (1)求新橋BC的長(zhǎng); (2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大? 解(1)如圖,以O(shè)C,OA為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則C(170,0),A(0,60). 由題意kBC=-43,直線BC方程為y=-43(x-170). 又kAB=-1kBC=34,故直線AB方程為y=34x+60,由y=-43(x-170),y=34x+60,解得x=80,y=120,即B(80,120), 所以|BC|=(80-170)2+1202=150,故新橋BC的長(zhǎng)為150m. (2)設(shè)OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),由(1)知直線BC的一般方程為4x+3y-680=0, 圓M的半徑為r=|3t-680|5, 由于0≤t≤60,因此r=|3t-680|5=680-3t5=136-35t,由題意可知r-t≥80,r-(60-t)≥80, 即136-35t-t≥80,136-35t-(60-t)≥80,解得10≤t≤35, 所以當(dāng)t=10時(shí),r取得最大值130,此時(shí)圓面積最大.故當(dāng)OM長(zhǎng)10m時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大. 22.(12分) (2020浙江杭州期末)如圖,已知圓O:x2+y2=1,點(diǎn)P(t,4)為直線y=4上一點(diǎn),過點(diǎn)P作圓O的切線,切點(diǎn)分別為M,N. (1)已知t=1,求切線的方程. (2)直線MN是否過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由. (3)若t>1,兩條切線分別交y軸于點(diǎn)A,B,記四邊形PMON面積為S1,三角形PAB面積為S2,求S1·S2的最小值. 解(1)當(dāng)切線斜率不存在時(shí),有切線x=1,即x-1=0; 當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線:y-4=k(x-1), 即kx-y-k+4=0, 可得|4-k|k2+1=1,解得k=158, 故切線方程為15x-8y+17=0. 綜上,切線方程為x-1=0,15x-8y+17=0. (2)是.M,N在以點(diǎn)P為圓心,切線長(zhǎng)PM為半徑的圓上, 即在圓P:(x-t)2+(y-4)2=t2+15上. 聯(lián)立(x-t)2+(y-4)2=t2+15,x2+y2=1,得tx+4y-1=0, 所以直線MN:tx+4y-1=0過定點(diǎn)0,14. (3)S1=2S△PMO=2×12|PM|·|OM|=t2+15. 設(shè)直線PM:y-4=k1(x-t),直線PN:y-4=k2(x-t). 得A(0,4-k1t),B(0,4-k2t), ∴|AB|=|k1-k2|t, S2=12|AB|·t=12|k1-k2|·t2. 切線統(tǒng)一記為y-4=k(x-t),即kx-y-kt+4=0, 可得|4-kt|k2+1=1,即(t2-1)k2-8tk+15=0,則方程的兩根為k1,k2, 所以|k1-k2|=(k1+k2)2-4k1k2=2t2+15t2-1. 所以S2=t2+15·t2t2-1, 則S1·S2=t2(t2+15)t2-1(t>1), 記m=t2-1,則S1·S2=(m+1)(m+16)m=m+16m+17≥2m·16m+17=25, 當(dāng)且僅當(dāng)m=4,即t=5時(shí),等號(hào)成立. 故(S1·S2)min=25. 9