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1、第二章平面解析幾何2.4曲線與方程課后篇穩(wěn)固提升必備知識根底練1.以下方程中表示相同曲線的一對方程是()A.x=y與y=x2B.y=x與xy=1C.y=12lg x與y=lgxD.y=x與x2-y2=0答案C2.方程x2+y2=1(xy0)的曲線形狀是()答案C解析方程x2+y2=1(xy0)表示以原點為圓心,1為半徑的圓在第二、四象限的局部.3.02,點P(cos ,sin )在曲線(x-2)2+y2=3上,那么的值為()A.3B.53C.3或53D.3或6答案C解析由(cos-2)2+sin2=3,得cos=12.又00)的點M的軌跡方程為x+y=a(a0)答案ABD解析對于A,方程yx-

2、2=1表示斜率為1,在y軸上的截距為-2的直線且去掉點(2,0),所以A錯誤;對于B,到x軸距離為2的點的軌跡方程為y=-2或y=2,所以B錯誤;對于C,方程|x-3|+(y2-9)2=0表示(3,-3),(3,3)兩個點,所以C正確;對于D,軌跡方程應(yīng)為|x|+|y|=a(a0),所以D錯誤.11.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),點A,B的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),那么滿足tanPABtanPBA=m(m為非零常數(shù))的點P的軌跡方程是()A.x2-y2m=1(y0)B.x2-y2m=1C.x2+y2m=1(y0)D.x2+y2m=1答案C解析設(shè)P(x,y),由題意,得yx+1yx-1=-m(m0

3、),化簡可得x2+y2m=1(y0).12.直線y=kx+1與y=2kx-3(k為常數(shù),且k0)交點的軌跡方程是.答案y=5(x0)解析y=kx+1與y=2kx-3聯(lián)立,消去k,得y=5.由y=kx+1=5,得kx=4.k0,x0.故所求的軌跡方程為y=5(x0).13.A(-2,0),B(1,0)兩點,動點P不在x軸上,且滿足APO=BPO,其中O為原點,那么點P的軌跡方程是.答案(x-2)2+y2=4(y0)解析由角平分線的性質(zhì)定理得|PA|=2|PB|,設(shè)P(x,y),那么(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,整理得(x-2)2+y2=4(y0).14.P為圓(x+2)2+y2=1上

4、的動點,O為坐標(biāo)原點,M為線段OP的中點,求點M的軌跡方程,并指出軌跡曲線的形狀.解設(shè)M(x,y),P(x1,y1).M為線段OP的中點,x=x12,y=y12,即x1=2x,y1=2y,即P(2x,2y).將P(2x,2y)代入圓的方程(x+2)2+y2=1,可得(2x+2)2+(2y)2=1,即(x+1)2+y2=14,此方程為點M的軌跡方程.點M的軌跡曲線是以(-1,0)為圓心,12為半徑的圓.15.坐標(biāo)平面上動點M(x,y)與兩個定點P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求點M的軌跡方程,并指出軌跡曲線的形狀;(2)記(1)中軌跡曲線為C,過點N(-2,3)的直線

5、l被C所截得的線段長度為8,求直線l的方程.解(1)由題意,得|MP|MQ|=5,即(x-26)2+(y-1)2(x-2)2+(y-1)2=5,化簡,得x2+y2-2x-2y-23=0,所以點M的軌跡方程是(x-1)2+(y-1)2=25.軌跡曲線是以(1,1)為圓心,以5為半徑的圓.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,l:x=-2,此時所截得的線段長度為252-32=8,所以l:x=-2符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)過點N(-2,3)的直線l的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.圓心(1,1)到l的距離d=|3k+2|k2+1.由題意,得|3k+2|k2+12+42=52,解

6、得k=512.所以直線l的方程為512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.綜上,直線l的方程為x=-2或5x-12y+46=0.學(xué)科素養(yǎng)拔高練16.在ABC中,A(2,0),B(-2,0),G,M為平面上的兩點且滿足GA+GB+GC=0,|MA|=|MB|=|MC|,GMAB,那么頂點C的軌跡方程為.答案x24+y212=1(y0)解析設(shè)C(x,y)(y0),那么由GA+GB+GC=0,即G為ABC的重心,得Gx3,y3.又|MA|=|MB|=|MC|,即M為ABC的外心,所以點M在y軸上,又GMAB,那么有M0,y3.由|MC|=|MA|,得x2+y-y32=4+y29,化簡得x2

7、4+y212=1,y0.17.直角坐標(biāo)平面上點Q(2,0)和圓O:x2+y2=1,動點M到圓O的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(0),求動點M的軌跡方程,并指出軌跡曲線的形狀.解如下圖,設(shè)直線MN切圓于N點,那么動點M組成的集合是P=M|MN|=|MQ|(0).因為圓的半徑|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),那么2(x-2)2+y2=x2+y2-1,整理,得(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0,當(dāng)=1時,方程化為x=54,它表示一條直線;當(dāng)1時,方程化為x-222-12+y2=1+32(2-1)2,它表示圓心為222-1,0,半徑為1+32|2-1|的圓.5