《學年新教材高中數(shù)學第二章平面解析幾何..雙曲線的幾何性質(zhì)訓練含解析新人教B版選擇性必修第一冊.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《學年新教材高中數(shù)學第二章平面解析幾何..雙曲線的幾何性質(zhì)訓練含解析新人教B版選擇性必修第一冊.docx（7頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、第二章平面解析幾何2.6雙曲線及其方程2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升必備知識基礎練1.若雙曲線x2-y2k=1的一條漸近線的斜率是-2,則實數(shù)k的值為()A.4B.14C.-4D.-14答案A解析雙曲線x2-y2k=1的一條漸近線的斜率是-2,可得k=2,解得k=4.2.雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線的傾斜角為50,則C的離心率為()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50答案D解析雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的漸近線方程為y=bax,由雙曲線的一條漸近線的傾斜角為50,得ba=tan50=sin50cos50

2、,則b2a2=c2-a2a2=e2-1=sin250cos250,得e2=1+sin250cos250=1cos250,e=1cos50.3.漸近線方程為xy=0的雙曲線的離心率是()A.22B.1C.2D.2答案C解析根據(jù)漸近線方程為xy=0的雙曲線,可得a=b,所以c=2a.則該雙曲線的離心率為e=ca=2.4.(多選)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)與直線y=kx交于A,B兩點,點P(x0,y0)為C上任意一點,且直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且kPAkPB=94,則下列結(jié)論正確的是()A.雙曲線的漸近線方程為y=32xB.雙曲線的漸近線方程為y=52xC.

3、雙曲線的離心率為132D.雙曲線的離心率為134答案AC解析設點A(x,y),B(-x,-y),有x2a2-y2b2=1.又x02a2-y02b2=1,兩式相減得x02-x2a2=y02-y2b2,即x02-x2y02-y2=a2b2.又kPAkPB=(y0-y)(x0-x)(y0+y)(x0+x)=94,b2a2=94,ba=32,雙曲線的漸近線方程為y=32x,故選項A正確;又b2a2=c2-a2a2=e2-1=94,e=132,故選項C正確.5.我們把方程分別為x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的雙曲線稱為共軛雙曲線,則共軛雙曲線有相同的()A.離心率B.漸近線C.焦點D.頂

4、點答案B解析共軛雙曲線x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的c=a2+b2,設a0,b0,可得它們的焦點分別為(c,0),(0,c),漸近線方程均為y=bax,離心率分別為ca和cb,它們的頂點分別為(a,0),(0,b).6.(2021全國乙,理13)已知雙曲線C:x2m-y2=1(m0)的一條漸近線為3x+my=0,則C的焦距為.答案4解析由雙曲線方程可知其漸近線方程為xmy=0,即y=1mx,得-3m=-1m,解得m=3.可得C的焦距為2m+1=4.7.雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點為F1,F2,以坐標原點O為圓心,以c為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的

5、一個交點為P,若三角形F1PF2的面積為a2,則C的離心率為.答案2解析不妨設P為右支上一點,設|PF1|=m,|PF2|=n,由雙曲線的定義可得m-n=2a,由題意可得PF1F2為直角三角形,且F1PF2=90,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2,由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,即為c=2a,可得e=ca=2.8.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)兩頂點間的距離是6,兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分;(2)漸近線方程為2x3y=0,且兩頂點間的距離是6.解(1)由兩頂點間的距離是6,得2a=6,即a=3.由兩焦點所連線段被兩頂點和中心四等分可得2c=

6、4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦點所在的坐標軸不確定,故所求雙曲線的標準方程為x29-y227=1或y29-x227=1.(2)設雙曲線方程為4x2-9y2=(0),即x24-y29=1(0),由題意得a=3.當0時,4=9,=36,雙曲線方程為x29-y24=1;當0,b0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,交C于點P.若點P的橫坐標為2a,求C的離心率.解如圖所示,與漸近線平行的直線l的斜率為ba,又直線l過右焦點F(c,0),則直線l的方程為y=ba(x-c).因為點P的橫坐標為2a,代入雙曲線方程得4a2a2-y2b2=1,化簡得y=-3b或y=

7、3b(點P在x軸下方,故舍去),故點P的坐標為(2a,-3b),代入直線方程得-3b=ba(2a-c),化簡可得離心率e=ca=2+3.關(guān)鍵能力提升練10.如圖,中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點,M,N是雙曲線的兩頂點,若M,O,N將橢圓的長軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案B解析設橢圓與雙曲線的標準方程分別為x2a2+y2b2=1(ab0),x2m2-y2n2=1(m0,n0),因為它們共焦點,所以設它們的半焦距均為c,所以橢圓與雙曲線的離心率分別為e1=ca,e2=cm,由點M,O,N將橢圓長軸四等分可知m=a-m,即2m=a,所以e2e1=cm

8、ca=am=2.11.(2019全國,理10)雙曲線C:x24-y22=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,O為坐標原點.若|PO|=|PF|,則PFO的面積為()A.324B.322C.22D.32答案A解析由已知可得a=2,b=2,則c=a2+b2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又P在C的一條漸近線上,不妨設在漸近線y=22x上,yP=2262=32.SPFO=12|OF|yP|=12632=324.故選A.12.(多選)已知雙曲線C過點(3,2)且漸近線方程為y=33x,則下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為x23-y2=1B.C的離心率為3C.曲線y=ex-2-1

9、經(jīng)過C的一個焦點D.直線x-2y-1=0與C有兩個公共點答案AC解析若焦點在x軸上,可設雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1,根據(jù)條件可知ba=33,所以方程可化為x23b2-y2b2=1,將點(3,2)代入得b2=1,所以a2=3,所以雙曲線C的方程為x23-y2=1;若焦點在y軸上,可設雙曲線C的方程為y2a2-x2b2=1,根據(jù)條件可知ab=33,所以方程可化為y2a2-x23a2=1,將點(3,2)代入得a2=-1(舍去).綜上C的方程為x23-y2=1,故A正確;離心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233,故B錯誤;雙曲線C的焦點為(2,0),(-2,0),將x=2代入得y=

10、e0-1=0,所以C正確;聯(lián)立x23-y2=1,x-2y-1=0,整理得y2-22y+2=0,則=8-8=0,故只有一個公共點,故D錯誤.13.設雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線分別交雙曲線的左、右兩支于M,N.若以MN為直徑的圓經(jīng)過右焦點F2,且|MF2|=|NF2|,則雙曲線的離心率為()A.6B.5C.3D.2答案C解析若以MN為直徑的圓經(jīng)過右焦點F2,則MF2NF2=0,又|MF2|=|NF2|,可得MNF2為等腰直角三角形,設|MF2|=|NF2|=m,則|MN|=2m,由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,

11、兩式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,即有m=22a.過F2作MN的垂線交于點H,則|F2H|=2a.在直角三角形HF1F2中可得4c2=4a2+(2a+22a-2a)2,化為c2=3a2,即e=ca=3.14.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的離心率為2,左焦點為F1,點Q(0,3c)(c為半焦距),P是雙曲線C的右支上的動點,且|PF1|+|PQ|的最小值為6,則雙曲線C的方程為.答案x2-y23=1解析設雙曲線右焦點為F2,則|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|,而|PF2|+|PQ|的最小值為|QF2|=c2

12、+(3c)2=2c,所以|PF1|+|PQ|的最小值為2a+2c=6,又ca=2,解得a=1,c=2,于是b2=3,故雙曲線方程為x2-y23=1.15.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點,若F1A=AB,F1BF2B=0,則雙曲線C的漸近線方程為.答案y=3x解析如圖,F1A=AB,F1BF2B=0,OA為RtF1F2B的中位線,OAF1B.又OA所在直線斜率為-ba,F1B所在直線方程為y=ab(x+c),聯(lián)立y=ab(x+c),y=bax,解得Ba2cb2-a2,abcb2-a2,則|OB|2=a

13、4c2(a2-b2)2+a2b2c2(a2-b2)2=c2,整理得b2=3a2,ba=3,雙曲線C的漸近線方程為y=3x.16.已知雙曲線C的焦點F(3,0),雙曲線C上一點P到F的最短距離為3-2.(1)求雙曲線的標準方程和漸近線方程;(2)已知點M(0,1),設P是雙曲線C上的點,Q是P關(guān)于原點的對稱點.設=MPMQ,求的取值范圍.解(1)雙曲線C的焦點F(3,0),雙曲線C上一點P到F的最短距離為3-2,可設雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1,c=3,c-a=3-2,a=2,b2=c2-a2=(3)2-(2)2=1,則雙曲線的方程為x22-y2=1,令x22-y2=0,則y=22x,即

14、漸近線方程為y=22x.(2)設P的坐標為(x0,y0),則Q的坐標為(-x0,-y0),=MPMQ=(x0,y0-1)(-x0,-y0-1)=-x02-y02+1=-32x02+2.|x0|2,的取值范圍是(-,-1.學科素養(yǎng)拔高練17.求適合下列條件的雙曲線的離心率:(1)雙曲線的漸近線方程為y=32x;(2)雙曲線x2a2-y2b2=1(0ab)的半焦距為c,直線l過(a,0),(0,b)兩點,且原點到直線l的距離為34c.解(1)若焦點在x軸上,則ba=32,故e=b2a2+1=132.若焦點在y軸上,則ab=32,即ba=23,故e=b2a2+1=133.綜上所述,雙曲線的離心率為132或133.(2)依題意,得直線l:bx+ay-ab=0.由原點到l的距離為34c,得aba2+b2=34c,即ab=34c2,16a2b2=3(a2+b2)2,即3b4-10a2b2+3a4=0,3b2a22-10b2a2+3=0.解得b2a2=13或b2a2=3.0ab,b2a2=3.e=1+b2a2=2.7