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1、第二章平面解析幾何2.5橢圓及其方程2.5.2橢圓的幾何性質課后篇鞏固提升必備知識基礎練1.過橢圓x24+y23=1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為()A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23答案B解析由題意知a=2,b=3,c=1,最長弦過兩個焦點,長為2a=4,最短弦垂直于x軸,長度為當x=c=1時,縱坐標的絕對值的2倍為3.2.(多選)已知橢圓x2a2+y2b2=1與橢圓x225+y216=1有相同的長軸,橢圓x2a2+y2b2=1的短軸長與橢圓y221+x29=1的短軸長相等,則下列結論不正確的有()A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9

2、,b2=25D.a2=25,b2=9答案ABC解析橢圓x225+y216=1的長軸長為10,橢圓y221+x29=1的短軸長為6,由題意可知橢圓x2a2+y2b2=1的焦點在x軸上,即有a=5,b=3.3.設橢圓C:x2a2+y24=1(a2)的左、右焦點分別為F1,F2,直線l:y=x+t交橢圓C于點A,B,若F1AB的周長的最大值為12,則C的離心率為()A.33B.53C.223D.59答案B解析F1AB的周長等于AB+AF1+BF1=AB+2a-AF2+2a-BF2=4a+AB-(AF2+BF2),因為AF2+BF2AB,當且僅當A,B,F2三點共線時等號成立,所以4a+AB-(AF2

3、+BF2)4a+AB-AB=4a,即F1AB的周長的最大值為4a,所以4a=12,解得a=3,由橢圓的方程可得b2=4,所以c=a2-b2=9-4=5,所以橢圓C的離心率為e=ca=53.4.(多選)如圖,橢圓與有公共的左頂點和左焦點,且橢圓的右頂點為橢圓的中心.設橢圓與的半長軸長分別為a1和a2,半焦距分別為c1和c2,離心率分別為e1,e2,則下列結論正確的是()A.a1+c12(a2+c2)B.a1-c1=a2-c2C.a1c2a2c1D.e1=e2+12答案ABD解析由題圖知,a1=2a2,c12c2,a1+c12(a2+c2),2a1c22a2c1,即a1c2b0)的左、右焦點,點P

4、為C上一點,O為坐標原點,POF2為正三角形,則C的離心率為.答案3-1解析如圖,因為POF2為正三角形,所以|OF1|=|OP|=|OF2|,所以F1PF2是直角三角形.因為PF2F1=60,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2,所以|PF1|=3c.因為|PF2|+|PF1|=2a,所以c+3c=2a,即ca=23+1=3-1,所以e=3-1.6.若橢圓x2k+8+y29=1的離心率e=12,則k的值為.答案4或-54解析(1)若焦點在x軸上,即k+89時,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1

5、k+8=14,解得k=4.(2)若焦點在y軸上,即0k+8b0),橢圓C的面積為S=ab=20,又e=1-b2a2=45,解得a2=1003,b2=12,所以橢圓C的方程為y21003+x212=1.8.已知橢圓C:4x2+9y2=36.求橢圓的長軸長,焦點坐標和離心率.解橢圓C:4x2+9y2=36的標準方程為x29+y24=1,所以a=3,b=2,c=a2-b2=9-4=5,所以橢圓的長軸長2a=6,焦點坐標(-5,0),(5,0),離心率e=ca=53.9.(1)求與橢圓x29+y24=1有相同的焦點,且離心率為55的橢圓的標準方程;(2)已知橢圓的兩個焦點間的距離為8,兩個頂點坐標分別

6、是(-6,0),(6,0),求焦點在x軸上的橢圓的標準方程.解(1)c=9-4=5,所求橢圓的焦點為(-5,0),(5,0).設所求橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(ab0).e=ca=55,c=5,a=5,b2=a2-c2=20,所求橢圓的方程為x225+y220=1.(2)橢圓的焦點在x軸上,設它的標準方程為x2a2+y2b2=1(ab0),2c=8,c=4,又a=6,b2=a2-c2=20.橢圓的方程為x236+y220=1.關鍵能力提升練10.已知橢圓x24+y2=1,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,點P為橢圓上的任意一點,則1|PF1|+1|PF2|的取值范圍為()A.1,2B.

7、2,3C.2,4D.1,4答案D解析根據橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a=4,設m=|PF1|,n=|PF2|,則m+n=4,m,na-c,a+c,即m,n2-3,2+3,則1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+41,4.11.(2021全國乙,理11)設B是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的上頂點,若C上的任意一點P都滿足|PB|2b,則C的離心率的取值范圍是()A.22,1B.12,1C.0,22D.0,12答案C解析由題意,點B(0,b).設P(x0,y0),則x02a2+y02b2=1,得x02=a21-y02b2,|PB|2=x02+

8、(y0-b)2=a21-y02b2+y02-2by0+b2=-c2b2y02-2by0+a2+b2,y0-b,b.由題意知當y0=-b時|PB|2最大,-b3c2-b,得b2c2,即a2-c2c2,離心率e=ca22,即e0,22.12.(多選)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點為F,點P在橢圓C上,點Q在圓E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圓E上的所有點均在橢圓C外,若|PQ|-|PF|的最小值為25-6,且橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等,則下列說法正確的是()A.橢圓C的焦距為2B.橢圓C的短軸長為3C.|PQ|+|PF|的最小值為25D.過點F的圓E的切線斜率

9、為-473答案AD解析圓E的圓心為E(-3,4),半徑長為2,由于橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等,則2a=4,可得a=2,設橢圓的左焦點為點F1,由橢圓的定義可得|PF|+|PF1|=2a=4,|PF|=4-|PF1|.|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF1|)=|PF1|+|PQ|-4|PF1|+|PE|-2-4|EF1|-6=25-6,當且僅當P,Q,E,F1四點共線,且當P,Q分別為線段EF1與橢圓C、圓E的交點時,等號成立,則|EF1|=(-3+c)2+(4-0)2=(c-3)2+16=25.0c2,則直線x=1與圓E相離,不合題意;若所求切線的斜率存在,可設切線的方程為y=

10、k(x-1),即kx-y-k=0,由題意可得|-3k-4-k|k2+1=4|k+1|k2+1=2,整理得3k2+8k+3=0,解得k=-473,D選項正確.13.若橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,線段F1F2被點b2,0分成53的兩段,則此橢圓的離心率為()A.1617B.41717C.45D.255答案D解析依題意得c+b2c-b2=53,即c=2b.a2-b2=c2,a=b2+c2=5b.e=ca=255.14.已知F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一個焦點,P是C上的任意一點,則|FP|稱為橢圓C的焦半徑.設C的左頂點與上頂點分別為A,B,若

11、存在以A為圓心,|FP|為半徑的圓經過點B,則橢圓C的離心率的最小值為.答案3-12解析如圖,|AB|=a2+b2,a-c|PF|a+c,由題意可得,a-ca2+b2a+c,不等式左邊恒成立,則a2+b2a+c,兩邊平方整理得2e2+2e-10,解得e-1-32(舍)或e3-12.橢圓C的離心率的最小值為3-12.15.(1)計算:若A1,A2是橢圓x29+y24=1長軸的兩個端點,P(0,2),則kPA1kPA2=;若A1,A2是橢圓x29+y24=1長軸的兩個端點,P-5,43,則kPA1kPA2=;若A1,A2是橢圓x29+y24=1長軸的兩個端點,P1,-423,則kPA1kPA2=.

12、(2)觀察,由此可得到:若A1,A2是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)長軸的兩個端點,P為橢圓上任意一點,則kPA1kPA2=?并證明你的結論.解(1)由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),kPA1kPA2=2-00+32-00-3=-49.由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5,43,kPA1kPA2=43-03-543-0-3-5=-49.由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-423,kPA1kPA2=-423-01+3-4231-3=-49.(2)若A1,A2是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)長軸的兩個端點,P為橢圓

13、上任意一點,則kPA1kPA2=-b2a2.證明如下:設P(x0,y0).由題意kPA1=y0-0x0+a,kPA2=y0-0x0-a,則kPA1kPA2=y0-0x0+ay0-0x0-a=y02x02-a2.又P為橢圓上任意一點,滿足x02a2+y02b2=1,得y02=b21-x02a2,代入可得kPA1kPA2=b21-x02a2x02-a2=-b2a2,得證.16.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若F1AB=90,求橢圓的離心率;(2)若橢圓的焦距為2,且AF2=2F2B,求橢圓的方程.