《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè).docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè).docx（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第二章平面解析幾何2.5橢圓及其方程2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.若橢圓C:x25+y2m=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),則實(shí)數(shù)m的值為()A.9B.6C.4D.1答案C解析因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)(-1,0)在x軸上,所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,即5-m=1,解得m=4.2.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),點(diǎn)(0,-3)在橢圓上,則橢圓的方程為()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案D解析由題意可得a2-b2=9,0+9b2=1,解得a2=18,b

2、2=9,故橢圓的方程為x218+y29=1.3.如果方程x24-m+y2m-3=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是()A.(3,4)B.72,+C.3,72D.72,4答案D解析因?yàn)榉匠蘹24-m+y2m-3=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,所以4-m0,m-30且m-34-m,解得72mb0),M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),F1為橢圓的左焦點(diǎn),則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.線段D.直線答案B解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,由題意,知|PO|=12|MF2|,|PF1|=12|MF1|,又|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a|F1O|=c,故由橢圓的定義,知P點(diǎn)的軌跡

3、是橢圓.5.已知P為橢圓C上一點(diǎn),F1,F2為橢圓的焦點(diǎn),且|F1F2|=23,若|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)為|F1F2|,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x212+y29=1B.x212+y29=1或x29+y212=1C.x29+y212=1D.x248+y245=1或x245+y248=1答案B解析由已知2c=|F1F2|=23,所以c=3.因?yàn)?a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=43,所以a=23,所以b2=a2-c2=9.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x212+y29=1或x29+y212=1.6.橢圓x212+y23=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,若線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上

4、,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為()A.34B.22C.32D.34答案D解析線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上且O是線段F1F2的中點(diǎn),OM為PF1F2的中位線,PF2x軸,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3或-3,點(diǎn)P在橢圓上,912+y23=1,即y2=34,y=32.點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為34.7.已知F1,F2為橢圓C:x24+y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,F1PF2=60,則|PF1|PF2|=.答案43解析由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=|F1F2|2=12,解得

5、3|PF1|PF2|=4,即|PF1|PF2|=43.8.已知橢圓x225+y29=1上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2,N是MF的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么線段ON的長(zhǎng)是.答案4解析設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為E,則|MF|+|ME|=10,又|MF|=2,|ME|=8,又ON為MEF的中位線,|ON|=12|ME|=4.9.求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2);(2)ca=513,且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.解(1)由焦距是4可得c=2,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2).由橢圓的定義知,2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所

6、以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦點(diǎn)在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x212=1.(2)由題意知,2a=26,即a=13,又ca=513,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2169+y2144=1或y2169+x2144=1.10.已知橢圓M與橢圓N:x216+y212=1有相同的焦點(diǎn),且橢圓M過(guò)點(diǎn)-1,255.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓M上,且PF1F2的面積為1,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)由題意,知橢圓N的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),設(shè)橢圓

7、M的方程為x2a2+y2b2=1(ab0),則a2-b2=4,1a2+45b2=1,化簡(jiǎn)并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-165(舍),a2=5,故橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),設(shè)P(x0,y0),則PF1F2的面積為124|y0|=1,得y0=12.又x025+y02=1,所以x02=154,x0=152,所以點(diǎn)P有4個(gè),它們的坐標(biāo)分別為152,12,-152,12,152,-12,-152,-12.關(guān)鍵能力提升練11.如圖,已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),B

8、在x軸上,ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)O到直線AB的距離為32,則橢圓C的方程為()A.x216+y29=1B.x24+y23=1C.x24+y2=1D.x25+y24=1答案B解析因?yàn)锳BF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,所以AF1F2是等邊三角形,設(shè)|F1F2|=2c,則a=2c,所以直線AB的方程為x-3c+yb=1,即bx-3cy+3bc=0,所以點(diǎn)O到直線AB的距離為3bcb2+9c2=32,又因?yàn)閍2=b2+c2,所以聯(lián)立,解得a2=4,b2=3,所以橢圓C的方程為x24+y23=1.12.設(shè)定點(diǎn)F1(0,-3),F2(0,3),

9、動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|-a=9a-|PF2|(a0),則點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓B.線段C.不存在D.橢圓或線段答案D解析由題意得,|PF1|-a=9a-|PF2|(a0),所以|PF1|+|PF2|=a+9a2a9a=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=9a時(shí)取等號(hào),此時(shí)a=3,則|PF1|+|PF2|6,因?yàn)槎c(diǎn)F1(0,-3),F2(0,3),所以|F1F2|=6,當(dāng)|PF1|+|PF2|=6時(shí),點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2;當(dāng)|PF1|+|PF2|6時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓.13.(多選)設(shè)P是橢圓C:x22+y2=1上任意一點(diǎn),F1,F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),則()A.|PF1|+|PF2

10、|=22B.-2|PF1|-|PF2|AC|=4,點(diǎn)P的軌跡E是以A,C為焦點(diǎn)的橢圓,其中c=2,a=3,b=5,橢圓方程為y29+x25=1.17.已知F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P在橢圓上,且PF1F2的面積為22b2,求cosF1PF2的值.解依題意可得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=4c2,整理得|PF1|PF2|=2b21+cosF1PF2.PF1F2的面積為22b2,122b21+cosF1PF2sinF1PF2=22b2,1+cosF1

11、PF2=2sinF1PF2,又sin2F1PF2+cos2F1PF2=1,cosF1PF2=13(cosF1PF2=-1舍去).18.已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0),Q為橢圓x24+y2=1上任意一點(diǎn),求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0),利用中點(diǎn)公式,得x=x0+12,y=y02,所以x0=2x-1,y0=2y.因?yàn)镼(x0,y0)在橢圓x24+y2=1上,所以x024+y02=1.將x0=2x-1,y0=2y代入上式,得(2x-1)24+(2y)2=1.故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是x-122+4y2=1.學(xué)科素養(yǎng)拔高練19.如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M43,13,且點(diǎn)M到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為22.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若R,S是橢圓C上的兩個(gè)點(diǎn),線段RS的中垂線l的斜率為12且直線l與RS交于點(diǎn)P,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:P,O,M三點(diǎn)共線.(1)解點(diǎn)M到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為22,2a=22,解得a=2.又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M43,13,432a2+132b2=1,解得b2=1.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.(2)證明線段RS的中垂線l的斜率為12,直線RS的斜率為-2,可設(shè)直線RS