《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、2.5橢圓及其方程25.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)和化簡(jiǎn)過(guò)程2掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形1.結(jié)合教材實(shí)例掌握橢圓的定義(數(shù)學(xué)抽象)2掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形、會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3通過(guò)橢圓概念的引入和橢圓方程的推導(dǎo)，提高用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.橢圓是如何定義的？2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些？1.橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|PF2|2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓，其

2、中，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距定義中的常數(shù)不滿足2a>|F1F2|時(shí)點(diǎn)的軌跡是什么？提示：(1)當(dāng)|PF1|PF2|2a<|F1F2|時(shí)，P的軌跡不存在. (2)當(dāng)|PF1|PF2|2a|F1F2|時(shí)，P的軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)焦距焦點(diǎn)在x軸上1(ab0)F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)2c(c>0)焦點(diǎn)在y軸上1(ab0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)2c(c>0)(1)從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？提示：判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)

3、準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“誰(shuí)大在誰(shuí)上”(2)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b>c一定成立嗎？提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小關(guān)系不確定1辨析記憶(對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“×”).(1)已知F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)已知F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5，3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(4)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4，0)，F(xiàn)2(4，

4、0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓()提示：(1)×.因?yàn)?a|F1F2|8，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2，不是橢圓(2)×.2a<|F1F2|，動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在(3).符合橢圓的定義(4)×.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線2已知a，c2，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1 B1或1Cy21 Dy21或x21【解析】選D.由題可知b2a2c21，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為y21；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為x21.3(教材二次開(kāi)發(fā)：例題改編)(2020·盤錦高二檢測(cè))已知橢圓C：1(a>b&g

5、t;0)兩焦點(diǎn)間的距離為2，且過(guò)點(diǎn)A，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1 B1C1 D1【解析】選B.由題意知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由橢圓的定義得2a2，所以a，b2.因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1(2020·瓦房店高二檢測(cè))已知F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若MF2N的周長(zhǎng)為8，則橢圓方程為()A1 B1C1 D12(2020·南昌高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)到兩定點(diǎn)F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離之和是10，則點(diǎn)P的軌跡方程是()A1

6、 B1C1 D13(2020·武漢高二檢測(cè))已知圓心為，半徑為2的圓經(jīng)過(guò)橢圓C：1(a>b>0)的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1 B1C1 D1【解析】1.選A.因?yàn)镕1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以c1，又根據(jù)橢圓的定義，MF2N的周長(zhǎng)4a8，得a2，進(jìn)而得b，所以橢圓方程為1.2選A.由于動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到兩定點(diǎn)F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)的距離之和為10>|F1F2|，故P點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以2a10，a5，c4，所以b2a2c29，所以P點(diǎn)的軌跡方程為1.3選B.由題意可得圓的方程為(x1)2y24，令x0，可得y±，令

7、y0，可得x1或3，由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上及橢圓的對(duì)稱性可得a3，b，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能(2)設(shè)方程依據(jù)上述判斷設(shè)方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)；在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)mx2ny21(m>0，n>0且mn).(3)找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組(4)得方程：解方程組，將a，b，c或m，n代入所設(shè)方程即為所求【補(bǔ)償訓(xùn)練】 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0，2)，B的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)【解析】由題意，設(shè)橢圓的方程為1，

8、則解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.答案：x21類型二橢圓定義及其應(yīng)用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】已知定點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)B在圓C：x2y24y320上運(yùn)動(dòng)，C為圓心，線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為_(kāi)【思路導(dǎo)引】先分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義，利用橢圓的定義，作出判斷【解析】如圖，由題意，得|PA|PB|，所以|PA|PC|PB|PC|r6|AC|4，所以點(diǎn)P的軌跡E是以A，C為焦點(diǎn)的橢圓，其中c2，a3，所以b，所以橢圓方程為1.答案：1利用橢圓的定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【典例】已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)

9、P在橢圓C上，且PF1F260°，則PF1F2的面積是()A5 B C5 D【思路導(dǎo)引】|PF1|PF2|6，|F1F2|4.用余弦定理可解出|PF1|，再套用面積公式【解析】選D.由題意可得a3，c2.設(shè)|PF1|m，|PF2|n，則mn6，由余弦定理得，cos PF1F2，即m2n24m160，由解得m，n，故PF1F2的面積是m|F1F2|sin 60°××4×.1橢圓定義的應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)連線長(zhǎng)度之間的相互轉(zhuǎn)化(2)將橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的和看成一個(gè)整體，求解定值問(wèn)題2橢圓定義解題的整體思想對(duì)于橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩

10、焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的F1PF2，如已知F1PF2，可利用S|PF1|PF2|sin F1PF2把|PF1|·|PF2|看成一個(gè)整體，運(yùn)用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無(wú)需單獨(dú)求出|PF1|和|PF2|，這樣可以減少運(yùn)算量1(2019·全國(guó)卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()Ay21 B1C1 D1【解析】選B.如圖，由已知可設(shè)n，則2n，3n，由橢圓的定義有2a4

11、n，所以2a2n.在AF1B中，由余弦定理推論得cos F1AB.在AF1F2中，由余弦定理得4n24n22·2n·2n·4，解得n.所以2a4n2，所以a，所以b2a2c2312，所以所求橢圓C的方程為1.2已知F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|F2A|F2B|12，則|AB|()A6 B7 C5 D8【解析】選D.橢圓1對(duì)應(yīng)的a5，由題意可得，|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，則三角形ABF2的周長(zhǎng)為4a20，若|F2A|F2B|12，則|AB|20128.3橢圓1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|4，則F1P

12、F2的大小為_(kāi)【解析】由1，知a3，b，所以c，所以|PF2|2a|PF1|2，所以cos F1PF2，所以F1PF2120°.答案：120°類型三與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題(邏輯推理)【典例】1.已知P是橢圓1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程2一個(gè)動(dòng)圓與圓Q1：(x3)2y21外切，與圓Q2：(x3)2y281內(nèi)切，試求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程【思路導(dǎo)引】1.點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)點(diǎn)Q與點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系代入法求解2由圓的相切及動(dòng)圓圓心與兩個(gè)定圓圓心、半徑的關(guān)系得軌跡【解析】1.設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，由點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)知x02x，y02y，又1.所以1，

13、即x21.2.由已知，得兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(3，0)，R11；Q2(3，0)，R29.設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，如圖由題設(shè)有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10>|Q1Q2|6.由橢圓的定義，知點(diǎn)M在以Q1，Q2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1.求與橢圓有關(guān)的軌跡方程常用的方法(1)定義法：若動(dòng)點(diǎn)的軌跡特點(diǎn)符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義，則可用定義法求解(2)直接法：將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化，列出等式后化簡(jiǎn)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(3)相關(guān)點(diǎn)法：根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換求出動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程備選類型求軌跡方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.已知ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B(0，4)，C(0，4)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A1(x0) B. 1(x0)C1(x0) D1(x0)2設(shè)定點(diǎn)A(6，2)，P是橢圓1上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程【思路導(dǎo)引】1.根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和頂點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓