《2021-2022學年新教材高中數(shù)學 第二章 平面解析幾何 2.3 圓及其方程 2.3.1 圓的標準方程學案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021-2022學年新教材高中數(shù)學 第二章 平面解析幾何 2.3 圓及其方程 2.3.1 圓的標準方程學案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊.doc-匯文網（6頁珍藏版）》請在匯文網上搜索。

1、2.3 圓及其方程2.3.1圓的標準方程必備知識·自主學習導思1.確定一個圓的幾何要素有哪些?2.怎么確定點與圓的位置關系?1.圓的標準方程(1)圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓的圓心，定長稱為圓的半徑(2)標準方程：圓心為A(a，b)，半徑為r的圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2.(3)確定圓的標準方程的幾何要素：圓心、半徑以原點為圓心，半徑為r的圓的標準方程是什么？提示：x2y2r2.2點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系(1)在圓內：(x0a)2(y0b)2<r2或d<r；(2)在圓上：(x0a)2(y0b)2

2、r2或dr；(3)在圓外：(x0a)2(y0b)2>r2或d>r.1辨析記憶(對的打“”，錯的打“×”).(1)圓的標準方程由圓心、半徑確定()(2)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圓()(3)原點在圓(xx0)2(yy0)2r2上，則xyr2.()提示：(1).如果圓的圓心位置、半徑確定，圓的標準方程是確定的(2)×.當m0時，表示點(a，b).(3).原點在圓上，則(0x0)2(0y0)2r2，即xyr2.2圓(x1)2(y3)22的圓心和半徑分別是()A(1，3)，1 B(1，3)，3C(1，3)， D(1，3)，【解析】選D.由圓的標準方程可得圓心為

3、(1，3)，半徑為.3(教材二次開發(fā)：例題改編)點(1，1)在圓(xa)2(ya)24的內部，則a的取值范圍是()A1<a<1 Ba<1Ca<1或a>1 Da>1【解析】選A.因為點(1，1)在圓(xa)2(ya)24的內部，所以表示點(1，1)到圓心(a，a)的距離小于2，<2，兩邊平方得(1a)2(a1)2<4，化簡得a2<1，解得1<a<1.關鍵能力·合作學習類型一求圓的標準方程(數(shù)學抽象、邏輯推理)1ABC的三個頂點的坐標分別為A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求ABC的外接圓方程2已知某圓圓心在x軸上

4、，半徑長為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標準方程3求以兩點A(3，1)和B(5，5)為直徑端點的圓的標準方程【解析】1.方法一：(待定系數(shù)法)設所求圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，則解得所以外接圓的方程為(x2)2(y2)25.方法二：(幾何法)易知ABC是直角三角形，B90°，所以圓心是斜邊AC的中點(2，2)，半徑是斜邊長的一半，即r，所以外接圓的方程為(x2)2(y2)25.2方法一：(幾何法)如圖所示，由題設|AC|r5，|AB|8，所以|AO|4.在RtAOC中，|OC|3.設點C坐標為(a，0)，則|OC|a|3，所以a±3.所以所求圓的方程為(x

5、3)2y225或(x3)2y225.方法二：(待定系數(shù)法)由題意設所求圓的方程為(xa)2y225.因為圓截y軸線段長為8，所以圓過點A(0，4).代入方程得a21625，所以a±3.所以所求圓的方程為(x3)2y225或(x3)2y225.3圓心坐標為(1，2)，半徑r5，故所求圓的方程為(x1)2(y2)225.確定圓的標準方程就是設法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，如方法一，建立關于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質直接求得圓心坐標和半徑，如方法二，一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質作轉化較為簡捷【補償訓練】圓

6、心在直線2xy70上的圓C與y軸交于兩點A(0，4)，B(0，2)，則圓C的方程為_【解析】AB的垂直平分線方程為y3.由解得圓心C(2，3).半徑rAC.所以圓的方程為(x2)2(y3)25.答案：(x2)2(y3)25類型二點與圓的位置關系(數(shù)學抽象、直觀想象)【典例】已知點A(1，2)不在圓C：(xa)2(ya)22a2的內部，求實數(shù)a的取值范圍【思路導引】點A到圓心的距離dra的取值范圍【解析】由題意，圓心C(a，a)，半徑|a|，點A在圓C上或圓C外部，所以|a|，所以2a50，所以a.因為a0，所以a的取值范圍為(0，).判斷點與圓的位置關系的方法(1)只需計算該點與圓心的距離，與

7、半徑作比較即可；(2)把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷1點P(m，3)與圓(x2)2(y1)22的位置關系為()A點在圓外 B點在圓內C點在圓上 D與m的值有關【解析】選A.因為(m2)2(31)2>2，所以點P在圓外2已知圓(x2)2y28上的點P(x，y)，則x2y2的最大值為_【解析】方法一：因為(x2)28，解得22x22.圓上的點P，y28(x2)2，所以x2y24x4128.答案：128方法二：x2y2表示圓上點P到原點距離的平方因為圓心到原點距離為2，所以x2y2最大值為(22)2128.答案：1283已知圓(x1)2y21上的點到直線ykx2的距

8、離的最小值為1，則實數(shù)k_【解析】由11解得k或0.答案：或04已知點P(x，y)在圓x2y21上，求的最大值【解析】的幾何意義是圓上的點P(x，y)到點A(1，1)的距離，因此最大值為點A到圓心的距離加上半徑即1.【拓展延伸】求圓外一點到圓的最大距離和最小距離可采用幾何法，先求出該點到圓心的距離，再加上或減去圓的半徑，即可求得【補償訓練】已知兩點A，B，點P是圓2y21上任意一點，則PAB面積的最大值是_【解析】AB.當點P到直線AB的距離最大時，PAB的面積最大，圓的圓心到直線AB：1，即2xy20的距離為，則P到直線AB的距離的最大值為1.所以PAB面積的最大值為××

9、2.答案：2課堂檢測·素養(yǎng)達標1設A，B，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A(x3)2y22 B(x3)2y28C(x3)2y22 D(x3)2y28【解析】選A.弦長AB2，所以半徑為，中點坐標，所以圓的方程為(x3)2y22.2過點A(1，1)與B(1，1)且圓心在直線xy20上的圓的方程為()A(x3)224 B(x1)2(y1)24C2(y1)24 D224【解析】選B.線段AB的中點為(0，0)，AB的斜率為1，所以線段AB的垂直平分線方程為yx.由解得圓心(1，1).半徑為圓心到點A的距離2，所以圓的標準方程為(x1)2(y1)24.3(教材二次開發(fā)：練習改編)若點在圓x2(y1)25的內部，則a的取值范圍是()A(1，1) B(0，1)C D【解析】選A.由(2a)2(a11)2<5得5a25，所以a21，所以1<a<1.4若圓C的半徑為1，點C與點關于點對稱，則圓C的標準方程為_【解析】圓心(0，0)，所以圓C的標準方程為x2y21.答案：x2y215與圓(x2)2(y3)26同圓心且過點P的圓的方程是_【解析】由題意可設所求圓的方程為(x2)2(y3)2r2.由點P在圓上，得r22225，所以所求圓的方程為(x2)2(y3)225.答案：(x2)2(y3)225