《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.5.2.2 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.5.2.2 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.直線與橢圓的位置關(guān)系有哪些？2弦長(zhǎng)公式是什么？1.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系設(shè)P(x0，y0)，橢圓1(a>b>0)，則點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如表所示：位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外>1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)<12.直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法直線ykxm與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不同解，直線與橢圓相交；當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相同解，直線與橢圓相切；當(dāng)0時(shí)，方程無解，直線與橢圓相離3弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l：ykxm(k0，m為常數(shù))與橢圓1(a&

2、gt;b>0)相交，兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).弦長(zhǎng)公式：|AB|·弦長(zhǎng)公式：|AB|·1辨析記憶(對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“×”).(1)若直線的斜率一定，則當(dāng)直線過橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大()(2)直線y1被橢圓y21截得的弦長(zhǎng)為.()(3)已知橢圓1(ab0)與點(diǎn)P(b，0)，過點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線()(4)直線yk(xa)(k0)與橢圓1的位置關(guān)系是相交()提示：(1).根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，直線過橢圓的中心時(shí)，弦長(zhǎng)最大(2).由y1得y1，代入y21，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)A(0，1)，B(2，0).|AB|.(3)×.因?yàn)镻

3、(b，0)在橢圓內(nèi)部，過點(diǎn)P作不出橢圓的切線(4).直線yk(xa)(k0)過點(diǎn)(a，0)且斜率存在，所以直線yk(xa)與橢圓1的位置關(guān)系是相交2直線ykxk1(k0)與橢圓1的位置關(guān)系是()A相交 B相切 C相離 D不確定【解析】選A.直線ykxk1k(x1)1(k0)過定點(diǎn)(1，1)，且該點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，因此直線必與橢圓相交3(2020·沈陽高二檢測(cè))橢圓ax2by21與直線y1x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為()A B C D【解析】選B.設(shè)A，B，由得x22bxb10，則x1x2.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C，則xC.將xC代入y1x得到y(tǒng)C.因?yàn)閗OC

4、，故.4(教材二次開發(fā)：習(xí)題改編)橢圓1上的點(diǎn)到直線x2y0的最大距離是_【解析】設(shè)直線x2yc0與橢圓1相切由消去x整理得8y24cyc2160.由16(32c2)0得c±4當(dāng)c4時(shí)，符合題意(c4舍去).即x2y40與橢圓1相切，橢圓1上的點(diǎn)到直線x2y0的最大距離即為兩條平行線之間的距離d.答案：關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一直線與橢圓的位置關(guān)系(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.若直線mxny4與O：x2y24沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A2個(gè) B至多一個(gè) C1個(gè) D0個(gè)2已知橢圓E：1，直線l：yxm與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】

5、1.選A.由題意得2，所以m2n2<4.所以2<m<2，2<n<2.所以點(diǎn)P(m，n)在橢圓1內(nèi)，故過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1有2個(gè)交點(diǎn)2由消去y得3x24mx2m280.因?yàn)橹本€l與橢圓E有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以16m212(2m28)>0，解得2m2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2，2).答案：(2，2)直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法【補(bǔ)償訓(xùn)練】 在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍【解析】由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21，整理得x22kx10，直線l與橢圓有兩個(gè)

6、不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范圍為.類型二弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】過橢圓1內(nèi)一點(diǎn)M(2，1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分(1)求此弦所在的直線方程(2)求此弦長(zhǎng)【思路導(dǎo)引】(1)方法一：聯(lián)立方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解方法二：點(diǎn)差法(2)設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦長(zhǎng)公式求解【解析】(1)方法一：設(shè)所求直線方程為y1k(x2).代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個(gè)根，于是x1x

7、2.又M為AB的中點(diǎn)，所以2，解得k.故所求直線的方程為x2y40.方法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2).又M(2，1)為AB的中點(diǎn)，所以x1x24，y1y22.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則x4y16，x4y16.兩式相減得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.所以，即kAB.又直線AB過點(diǎn)M(2，1)，故所求直線的方程為x2y40.(2)設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24x0，所以x1x24，x1x20，所以|AB|··2.直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)的求法思路(1)求兩交點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為

8、兩點(diǎn)間距離(2)用公式來求設(shè)直線斜率為k，直線與橢圓兩交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|·|x1x2|·|y1y2|.提醒：在解決直線與橢圓相交問題時(shí)，一般要消元化為一元二次方程，常用根與系數(shù)的關(guān)系，此時(shí)易忽視對(duì)所化一元二次方程判斷判別式大于0.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(，0)，B(，0)連線的斜率的積為定值.(1)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)設(shè)直線l：ykx1與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|時(shí)，求直線l的方程【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，由題意得，kPA·kPB.所以·，化簡(jiǎn)整理得y21.故P點(diǎn)的軌跡方程C是y21(

9、x±).(2)設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.所以x1x2，x1·x20.|MN|·，整理得k4k220，解得k21或k22(舍).所以k±1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意所以直線l的方程是y±x1，即xy10或xy10.類型三與橢圓有關(guān)的綜合問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知橢圓E：1(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為M，且MF1F2為面積是1的等腰直角三角形(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：yxm與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸相切，求m的值【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)已

10、知條件求出a，b，從而得到橢圓方程(2)依據(jù)以AB為直徑的圓的圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑，列方程求m.【解析】(1)由題意可得M(0，b)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，由MF1F2為面積是1的等腰直角三角形得a21，bc，且a2b2c2，解得bc1，a，則橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立3x24mx2m220，有16m212(2m22)0，即m，x1x2，x1x2，可得AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，|AB|··，以AB為直徑的圓與y軸相切，可得半徑r|AB|，即，解得m±(，)，則m的值為±.解決直線和橢圓綜合問題的注意點(diǎn)(1

11、)根據(jù)條件設(shè)出合適的直線的方程，當(dāng)不知直線是否有斜率時(shí)需要分兩種情況討論(2)在具體求解時(shí)，常采用設(shè)而不求、整體代換的方法，可使運(yùn)算簡(jiǎn)單(3)不要忽視判別式的作用，在解題中判別式起到了限制參數(shù)范圍的作用，這一點(diǎn)容易忽視【補(bǔ)償訓(xùn)練】 已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，直線l：yx與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A在B上方)，若AFBF，則橢圓C的離心率為_【解析】由橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，直線l：yx與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，AFBF，可知三角形OAF是正三角形，A，所以|FB|c，由橢圓的定義可得cc2a，可得e1.答案：1備選類型橢圓方程及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例

12、】如圖所示，已知橢圓E：1(a>b>0)過點(diǎn)(0，)，且離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l：xmy1(mR)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由【思路導(dǎo)引】(1)由橢圓經(jīng)過的一點(diǎn)及離心率公式，再結(jié)合a2b2c2即可求出a，b，c的值，從而可得橢圓E的方程(2)方法一：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只需把點(diǎn)G與圓心的距離d與圓的半徑r進(jìn)行比較，若d>r，則點(diǎn)G在圓外；若dr，則點(diǎn)G在圓上；若d<r，則點(diǎn)G在圓內(nèi)方法二：只需判斷·的符號(hào)，若·0，則點(diǎn)G在圓上；若·>0，則點(diǎn)G在圓外；若·

13、<0，則點(diǎn)G在圓內(nèi)【解析】(1)由已知得解得所以橢圓E的方程為1.(2)方法一：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為H(x0，y0).由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而y0.所以|GH|2yy(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|GH|2my0(1m2)y1y2>0，所以|GH|>，故點(diǎn)G在以線段AB為直徑的圓外方法二：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而·y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)>0，所以cos ，>0.又，不共線，所以AGB為銳角故點(diǎn)G在以線段AB為直徑的圓外解決與橢圓有關(guān)的綜合問題的思路直線與橢圓的綜合問題常與不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等知識(shí)聯(lián)系在一起綜合考查，解決這類問題常需要挖掘出題目中隱含的數(shù)量關(guān)系、垂直關(guān)系等，然后利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分