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1、4.2.2圓與圓的位置關系,1.理解圓與圓的五種位置關系.2.會利用兩點間的距離公式求兩圓的圓心距.3.會用連心線的長判斷兩圓的位置關系.,圓與圓的位置關系設兩圓C1,C2的半徑分別為R和r,圓心距為d,則兩圓的位置關系如下表,請完成下表：,dR+r,d=R+r,|R-r|dR+r,d=|R-r|,d|R-r|,1.“判一判”理清知識的疑惑點(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)如果兩個圓無公共點,那么這兩個圓外離.()(2)兩圓方程聯立,若有兩個解,則兩圓相交.()(3)兩個半徑不相等的同心圓從位置關系上來說是內含.()(4)若兩圓有且只有一個公共點,則兩圓外切.(),提示：(1)錯誤.兩個

2、圓無公共點說明兩圓有可能外離,也有可能內含,故此說法是錯誤的.(2)正確.這是代數法判定兩圓的位置關系的方法.(3)正確.根據兩圓內含的定義知,此說法正確.(4)錯誤.兩圓有且只有一個公共點,則兩圓不一定外切,還有可能內切,故此說法是錯誤的.答案：(1)(2)(3)(4),2.“練一練”嘗試知識的應用點(請把正確的答案寫在橫線上).(1)若兩圓的半徑R,r分別為5和2,圓心距d為3,則兩圓的位置關系是.(2)已知O1與O2的方程分別為(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=r2(r1),若兩圓相交,則r的取值范圍是.(3)若圓O1：x2+y2=4與圓O2：(x-a)2+y2=1外切,則a=

3、_.,【解析】(1)因為R=5,r=2,d=3,所以d=R-r,所以兩圓內切.答案：內切(2)因為圓心距d=|O1O2|=2,且兩圓相交,所以r-1dr+1,即r-12r+1,所以1r3.答案：1r3,(3)因為d=|O1O2|= =|a|,所以|a|=2+1=3,所以a=3.答案：3,一、兩圓的位置關系探究1：觀察下列圓與圓之間的位置關系,思考下列問題.,(1)圓與圓的位置關系有哪幾種?提示：兩個大小不等的圓,其位置關系有外離、外切、相交、內切、內含五種情況.(2)影響圓與圓的位置關系的數量因素是什么?提示：兩圓的半徑和與差與圓心距之間的大小關系.,探究2：我們知道判斷直線與圓的位置關系有幾

4、何法和代數法,類比直線與圓的位置關系的判斷,思考下列問題.(1)用代數法判斷圓與圓的位置關系,結合下表填空.,提示：,(2)結合上表分析，“若兩圓的方程組成的方程組無解，則兩圓外離”，這種說法對嗎？請說明理由.提示：這種說法不正確，因為兩圓的方程組成的方程組無解，說明兩圓無公共點，兩圓無公共點有外離、內含兩種情況，不能說兩圓一定外離.,探究提示：注意兩圓無公共點分外離和內含兩種情況.,【探究提升】判斷圓與圓位置關系的兩點說明(1)利用代數法判斷兩圓的位置關系時,由=0得兩圓相切,由0得兩圓相離,但是無法區(qū)分內切或外切,內含或外離.(2)采用幾何法判斷圓與圓的位置關系,需比較兩圓半徑的和、兩圓半

5、徑差的絕對值和兩圓圓心距的大小關系,因此必須正確求出兩圓的圓心坐標和半徑.,二、兩圓相交觀察奧運五環(huán)圖案,思考并探究下面的問題：,探究1：若兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,M(x0,y0)為一個交點,則點M(x0,y0)在直線(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上嗎?提示：在.因為M(x0,y0)為C1與C2的交點,所以M(x0,y0)在圓C1,C2上,所以兩式相減得(D1-D2)x0+(E1-E2)y0+F1-F2=0,所以M(x0,y0)在直線(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0上.,探究2：將兩個

6、相交的圓的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相減,可得一直線方程,這條直線方程具有什么樣的特殊性呢?提示：兩圓相減得一直線方程,它經過兩圓的公共點.經過相交兩圓的公共交點的直線是兩圓的公共弦所在的直線.,探究3：若兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相切,則方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示的直線是什么?若兩圓相離呢?提示：當圓C1,C2外切時,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0就是兩圓的內公切線;當圓C1,C2內切時,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0就是

7、兩圓的公切線;當圓C1,C2相離時,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示一條與兩圓連心線垂直的直線.,【拓展延伸】過兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系的方程方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,其中為任意實數.(1)當兩圓C1,C2相交時,方程表示過兩圓C1,C2的交點的圓系方程(但方程所表示的圓不包括圓C2,圓系中的一切圓都和C1,C2相交).,(2)當圓C1,C2相切時,方程表示過兩圓C1,C2的切點的圓系方程(但方程所表示的圓不包括圓C2,圓系中的一切圓都和

8、C1,C2相切).,【探究提升】對兩圓相交問題的兩點說明(1)若兩圓相交,只要x2,y2的系數對應相等,兩圓方程作差所得方程即為兩圓公共弦所在的直線方程.(2)注意用兩圓的方程相減求公共弦所在直線的方程必須在兩圓相交的條件下才成立.,類型 一 圓與圓位置關系的判定通過解答下列圓與圓位置關系的題目,總結兩圓位置關系的兩種判斷方法.1.若a2+b2=4,則兩圓(x-a)2+y2=1與x2+(y-b)2=1的位置關系是.,2.已知兩圓C1：x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2：x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)當a為何值時,兩圓外切.(2)當a=1時,試判斷兩圓的位置關系.,【解

9、題指南】1.計算兩圓的圓心距,判斷與兩圓半徑的關系.2.(1)將圓的方程化成標準方程,求出圓心、半徑、圓心距.借助兩圓外切的條件列出關于a的方程.(2)當a=1時,需計算圓心距d=|C1C2|及兩圓半徑r1,r2,然后通過d與r1,r2的關系確定兩圓的位置關系.,【解析】1.因為兩圓的圓心分別為O1(a,0),O2(0,b).半徑r1=r2=1,所以|O1O2|= =2=r1+r2,故兩圓外切.答案：外切,2.將兩圓的方程寫成標準方程為C1：(x-a)2+(y+2)2=9,C2：(x+1)2+(y-a)2=4.所以兩圓的圓心和半徑分別為C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.設

10、兩圓的圓心距為d,則d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)當d=5,即2a2+6a+5=25時,兩圓外切,此時a=-5或a=2.(2)當a=1時,d= r1=3,r2=2,因為|r2-r1|dr2+r1,所以兩圓相交.,【互動探究】若題2條件不變，則當a為何值時，兩圓內切.【解析】當d=|r2-r1|=|2-3|=1，即2a2+6a+5=1時，兩圓內切，此時a=-2或a=-1.,【技法點撥】兩圓位置關系的判斷方法,提醒：僅從圓與圓的交點個數判定兩圓位置關系,可能無法得出最終結論，如有1個交點,就不能判定是內切還是外切,應再結合圖象判定.,【拓展延伸】兩圓公切線的條數問題兩

11、圓的公切線：兩圓外離時,有四條公切線;外切時,有三條公切線;相交時,有兩條公切線;內切時,僅有一條公切線;內含時,沒有公切線.,【變式訓練】兩圓x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置關系是 ()A.相離 B.相交 C.內切 D.外切【解析】選B.圓x2+y2-8x+6y+9=0的圓心為(4,-3),半徑為4.兩圓心之間的距離為5,因為|3-4|53+4,所以兩圓相交.,類型 二 兩圓的公共弦問題嘗試完成下列題目,請歸納求兩圓公共弦長及公共弦所在直線的方程的方法.1.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦長為2 ,則a=.2.(2013煙臺高一檢測)已知兩

12、圓C1：x2+y2-2x-6y+1=0和圓C2：x2+y2-10 x-12y+45=0.求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.,【解題指南】1.先求出公共弦所在的直線方程,利用圓x2+y2=4的半徑和圓心到直線的距離及半弦長求解.2.先求兩圓的公共弦所在的直線方程,然后求圓心C1到公共弦所在直線的距離d,最后利用公共弦的長 即可得解.,【解析】1.兩圓方程作差知公共弦所在直線方程為 如圖.由已知得|AC|= ，OA=2.因為a0,所以|OC| =1,所以a=1.答案：1,2.設兩圓的交點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則A，B兩點滿足方程組 將兩個方程相減得4x+3y-22=0，即為

13、兩圓公共弦所在直線的方程.易知圓C1的圓心(1，3)，半徑r=3，則點C1到直線4x+3y-22=0的距離故公共弦AB的長為,【技法點撥】求兩圓公共弦長及公共弦所在直線的方程的兩種方法(1)方法一：解方程組求出兩圓交點坐標,然后由兩點間距離公式求弦長,由兩點坐標求公共弦所在直線方程.本方法運算量較大,一般不常用.(2)方法二：,【變式訓練】已知圓O：x2+y2=25和圓C：x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B兩點,求公共弦AB的長.【解析】兩圓方程相減得弦AB所在直線的方程為4x+2y-5=0.圓O：x2+y2=25的圓心到直線AB的距離所以公共弦AB的長為|AB|=,類型 三 與兩圓

14、相切有關的問題通過解答與兩圓相切有關的問題,試總結處理兩圓相切問題的兩個步驟.1.(2013哈爾濱高二檢測)半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內切,則此圓的方程是()A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36,2.求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+ y=0相切于點M(3,- )的圓的方程.,【解題指南】1.已知半徑,確定圓的方程的關鍵是確定圓心坐標.2.兩圓外切時圓心距等于兩半徑之和,當直線與圓相切時圓心到

15、直線的距離等于圓的半徑長,據此列方程組求解.,【解析】1.選D.由題意可設圓的方程為(x-a)2+(y-6)2=36，由題意，得 所以a2=16,所以a=4.,2.設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切，則 =r+1.又所求圓過點M(3，- )的切線為直線x+ y=0,故 解由組成的方程組得a=4,b=0,r=2或a=0,b= ,r=6.故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+ )2=36.,【技法點撥】處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內切、外切兩種情況討論.

16、(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時).,【變式訓練】求和圓(x-2)2+(y+1)2=4相切于點(4,-1)且半徑為1的圓的方程.,【解析】設所求圓的圓心為P(a,b)，所以 (1)若兩圓外切，則有 由，解得a=5,b=-1.所以所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1.,(2)若兩圓內切，則有 由,解得a=3,b=-1.所以所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=1.綜上可知,所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.,1.圓C1：x2+y2-4x=0和C2：x2+y2+4y=0的位置關系是()A.外切 B.相離 C.內切 D.相交【解析】選D.兩圓化為標準方程為：圓C1：(x-2)2+y2=4,圓C2：x2+(y+2)2=4,所以r1=r2=2,d=|C1C2|因此|r2-r1|dr1+r2,故兩圓相交.,2.圓C1：x2+y2=1與圓C2：(x-3)2+(y-4)2=16的公切線條數為 ()A.1 B. 2 C.3 D.4【解析】選C.圓C1的圓心為C1(0,0),