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1、第七節(jié) 全概率公式,綜合應(yīng)用,第七節(jié) 全概率公式,加法公式,乘法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互不相容,P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,(一)全概率公式,例如 一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到2張入場券.大家都想去，怎么辦？,入場券,入場券,空,空,空,抽簽！,“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大. ”,“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到入場券的機會都一樣大。”,解：顯然，第一個人抽到入場券的概率為,下面，考慮第二個人抽到入場券的概率？,設(shè)A=第二個人抽到入場券,分析：A怎樣發(fā)生的？,AB1,AB2,第一人抽到，第二人也抽到,第一人未抽

2、到，第二人抽到,則 AAB1+AB2,且 AB1和AB2互不相容,設(shè)B1=第一人抽到入場券, B2=第一人未抽到入場券,則 AAB1+AB2,且 AB1和AB2互不相容,所以 P(A)P(AB1)+P(AB2),運用加法公式得,P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2),運用乘法公式得,將公式一般化，就得到全概率公式,抽簽不必爭先恐后！,設(shè)隨機試驗的樣本空間為。,1. 全概率公式,AAB1+AB2+ABn,B1,B2,Bn為互不相容的完備事件組(劃分),且P(Bi)0， i =1,2,n,另有一事件A, 則,全概率公式的由來，不難由上式看出：,“全”部概率P(A)被分解成了許多部分之和

3、。,它的理論和實用意義在于：,直接計算P(A)不容易時，考慮將事件A進行分割，借助樣本空間的一個劃分B1, B1, , Bn將事件A 分成AB1, AB1, , ABn ， 用所有的P(ABi)之和計算 P(A)，往 往可以簡化計算。,例1 某工廠有3個車間生成同一種產(chǎn)品，據(jù)以往記錄有以下數(shù)據(jù)：,車間 次品率 提供份額 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15,現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少？,目標(biāo)事件,解：設(shè)A=取到的產(chǎn)品是次品,分析：A怎么發(fā)生的？,劃分樣本空間：,1，2，3個車間將樣本空間分為三部分,合格品和次品將樣本空間分為兩部分,(復(fù)雜！),2.

4、 全概率公式舉例,車間 次品率 提供份額 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15,Bi取到i車間的產(chǎn)品 i1,2,3,解：設(shè)A=取到的產(chǎn)品是次品,則 AAB1+AB2+AB3,A怎么發(fā)生的？,AB1,1車間的次品,2車間的次品,AB2,3車間的次品,AB3,車間1應(yīng)承擔(dān)多少責(zé)任?,在實際生活中，還會遇到下面一類問題，是,這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。,現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，發(fā)覺該產(chǎn)品是次品而且其標(biāo)志已脫落，廠方應(yīng)如何處理此事較為合理？,或者問:,“已知結(jié)果求原因”,？,(二)貝葉斯公式,車間 次品率 提供份

5、額 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15,現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，發(fā)覺該產(chǎn)品是次品而且其標(biāo)志已脫落，試求這件次品來自車間1的概率？,？,車間 次品率 提供份額 1 0.02 30 2 0.01 55 3 0.03 15,結(jié)果已發(fā)生,Bi取到i車間的產(chǎn)品 i1,2,3,解：設(shè)A=取到的產(chǎn)品是次品,所求為,運用全概率公式,運用乘法公式,將公式一般化，就得到貝葉斯公式,P(B1|A),設(shè)隨機試驗是樣本空間為。,1. 貝葉斯公式,B1,B2,Bn為互不相容的完備事件組(劃分), 且P(Bi)0， i =1,2,n,另有一事件A, 則,i =1,2,n,說明：,貝葉斯公式在實際中有

6、很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果(事件A)發(fā)生的最可能的原因。,該公式由貝葉斯(Bayes)給出。他是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因的概率。貝葉斯公式的思想就是“執(zhí)果溯因”。全概率公式的思想是“由因推果”。,P(B2|A),2. 貝葉斯公式舉例,0.7,0.9,0.1,0.1,“”,“”,“”,“”,例2 無線通信中，由于隨機干擾，當(dāng)發(fā)送信號“”時，未必收到信號“” ，,如果整個發(fā)報過程中，信號“”和“” 分別占60%和40%，,當(dāng)收到“不清”時，求原發(fā)信號為“”與“”的概率分別有多大？,“不清”,0.2,0,結(jié)果已發(fā)生,解：A收到信號“不清”,AB1,發(fā)出“”, 收

7、到“不清”,發(fā)出“”，收到“不清”,AB2,B1發(fā)出信號“”，,B2發(fā)出信號 “”,所求為,P(B1|A)，,例 3 (疾病普查問題)某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗結(jié)果是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?,解:,設(shè) A 試驗結(jié)果是陽性，,AB1,有疾病，陽性,無疾病，陽性,AB2,B1抽查的人患有癌癥,B2抽查的人不患有癌癥,所求為,P(B1|A),依題意有,P(B1)=0.005,P(B2)=0.995,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.04,現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：

8、,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？,如果不做試驗，抽查一人，他是患者的概率 P(C)=0.005,患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(CA)= 0.1066,說明這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義。,從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍。,1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？,提示,2. 檢出陽性是否一定患有癌癥?,試驗結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為 P(CA)=0.1066,即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66% (

9、平均來說，1000個人中大約只有107人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認(rèn).,下面我們再回過頭來看一下貝葉斯公式,貝葉斯公式,P(Bi)(i=1,2,n)是在沒有進一步信息（不知道事件A是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識。,當(dāng)有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi | A)有了新的估計。,貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。,先驗概率,后驗概率,在不了解案情細(xì)節(jié)(事件A)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，設(shè)為,比如原來認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點嫌疑犯。,例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人。,甲

10、,乙,丙,P(B1),P(B2),P(B3),但在知道案情細(xì)節(jié)后, 這個估計就有了變化。,P(B1 | A),知道A發(fā)生后,P(B2 | A),P(B3 | A),這一講我們介紹了,全概率公式,貝葉斯公式,它們是加法公式和乘法公式的綜合運用，同學(xué)們可通過進一步的練習(xí)去掌握它們。,(三) 小結(jié),1) 全概率公式主要用在事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi，這里B1, B2, , Bn互斥。,第一種原因B1可能導(dǎo)致事件A發(fā)生，即：AB1第二種原因B2可能導(dǎo)致事件A發(fā)生，即：AB2第n種原因Bn可能導(dǎo)致事件A發(fā)生，即：ABn則事件A發(fā)生的概率就可以由全概率公式計算。,2) 貝葉斯公式主要用在事件A已發(fā)生

11、的情況下，考慮各種可能的原因Bi，,有三個箱子，裝球情況如下：1）1號箱裝有1個紅球4個白球；2）2號箱裝有2個紅球3個白球；3）3號箱裝有3個紅球。,從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球， 求：1) 求摸出紅球的概率; 2)若發(fā)現(xiàn)摸出的是紅球，求該球是來自1號箱的 概 率。,思考練習(xí),敏感性問題的調(diào)查,調(diào)查方案核心是如下兩個問題：,A：你的生日是否在7月1日之前(不含7月1日)？B：你是否在比賽前服用過違禁藥品？,被調(diào)查者只需回答其中一個問題，至于回答哪一個問題，摸球確定.,從一罐中隨機取出一球，若白球，回答問題A；若紅球，回答問題B.,不管是回答問題A還是B，只需在答卷上認(rèn)可的方框內(nèi)打勾，然后將答卷放入投票箱.,(在無人屋中自己完成),例 罐中有50個球，其中30個紅球，某省在五天內(nèi)安排了15個項目的運動員246名參加調(diào)查，最后開箱統(tǒng)計，答卷全部有效，其中回答“是”的有54張，問該省大約有多少名運動員賽前服用過違禁藥品.,解： 設(shè)事件A表示答“是”，,分析：A怎么發(fā)生的？,取到白球，回答問題A,取得紅球，回答問題B,情況1,情況2,設(shè)事件B1表示取到白球，B2表示取到紅球,則,即,