《2020最新高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.2 空間向量的運算 空間向量的運算與性質(zhì)、角和距離錯例分析素材 北師大版選修2-1（通用）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020最新高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.2 空間向量的運算 空間向量的運算與性質(zhì)、角和距離錯例分析素材 北師大版選修2-1（通用）.doc（2頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、空間向量的運算與性質(zhì)、角和距離錯例分析學(xué)習(xí)立體幾何要求有較強的空間想象能力和邏輯思維能力，因此在解答立體幾何問題中常常會暴露的諸多薄弱環(huán)節(jié)，突出表現(xiàn)為對空間概念的理解模糊，對圖形的想象不透徹以及受思維定勢的影響等，從而導(dǎo)致計算、論證等方面的錯誤.本文就空間向量的運算與性質(zhì)、角和距離的常見錯誤加以剖析.一忽視平行向量的方向而致錯例1設(shè)(2，3，6)，求與平行的單位向量的坐標.錯解：因|7，故所求單位向量為(2，3，6)=(，).剖析：上述解法忽視了與平行的平面向量的方向，或者是混淆了“的單位向量”與“與平行的單位向量”這兩個不同的概念，因為與平行的單位向量與同向或反向.正解：因|7，故所求單位向

2、量為(2，3，6).二對距離的概念理解不清而致錯例2在空間到ABC三個頂點距離相等的點的集合為_.錯解：與ABC三個頂點距離相等的點的集合為與平面ABC平行的平面.剖析：上述解法因為對距離的定義理解不透徹，將點到平面的距離誤認為點到點的距離，實質(zhì)上在上面所確定的平面內(nèi)任取一點，到A、B、C三點的距離均不等.正解：過ABC的外心作一條直線l垂直于面ABC，則l上的點到ABC的頂點的距離都相等，故應(yīng)為一條直線.三混淆兩異面直線所成的角與兩向量夾角之間的關(guān)系而致錯例4如圖在ABCD中，ABAC1，ACD90，將它們沿對角線AC折起，使AB與CD成60角，求B、D之間的距離.錯解：ACD90，BAC9

3、0，0，0，AB與CD成60角，60，2()232cos32cos602，|BD|.剖析：此解法錯誤的原因在于沒搞清兩異面直線所成的角與兩向量夾角之間的關(guān).兩向量夾角等于兩異面直線所成的角或其補角.此解法誤認為60只有一種情況，漏掉了120的情況.正解：ACD90，BAC90，0，0，AB與CD成60角，60或120，則當60時，|BD|；當120時，|BD|2.四作圖受定勢思維的影響而致錯例2二面角a-l-b的一個平面內(nèi)b有一條直線AB，它與棱l的夾角為45，與平面a所成的角為30，求這個二面角的大小.錯解：如圖，在直線AB上任取一點C，過C作COa于O，連結(jié)AO，則CAO為AB與平面a所成

4、的角，過C作CDl于D，連結(jié)OD，由三垂線定的逆定理可得：CDl，所以CDO為所求二面角的平面角.由題意可知CAD45，CAO30，在RtACD中，設(shè)ADa，則CDa，CAa，在RtAOC中，可得：COa，在RtCOD中，sinCDO，因為0CAO90，所以CAO45，因此二面角a-l-b的大小為45.剖析：上面在作圖時受到了定勢思維的影響，即認為點C的射影落在半平面a內(nèi).但在本題中點C在平面a上的射影O不一定在二面角a-l-b的半平面a內(nèi)，還可能在半平面所在平面的另一半平面內(nèi)，如圖所示.正解：如果點C在平面a上的射影O在二面角a-l-b的半平面a內(nèi)，由上可得：二面角a-l-b的大小為45；如果點C在平面a上的射影O不在二面角a-l-b的半平面a內(nèi)，在半平面所在平面的另一半平面內(nèi)，則CAO為所求二面角的平面角的補角，此時二面角a-l-b的大小為135；綜上所述，所以所求二面角a-l-b的大小為45或135.