《2020最新高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入4.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)與幾何素材北師大版選修1220200925374（通用）.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020最新高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入4.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)與幾何素材北師大版選修1220200925374（通用）.doc（3頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、復(fù) 數(shù) 與 幾 何復(fù)數(shù)與幾何有著非常密切的關(guān)系，復(fù)數(shù)a+bi（a、bR）與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) P（a、b）及向OP是一一對(duì)應(yīng)的，這就為建立復(fù)數(shù)與幾何的相互關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，為數(shù)形結(jié)合解決復(fù)數(shù)問(wèn)題提供了依據(jù)，復(fù)數(shù)加、減、乘法的幾何意義，又為用復(fù)數(shù)求解幾何問(wèn)題提供了依據(jù)。復(fù)數(shù)與幾何這一課題，有很豐富的內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)和提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析、解決問(wèn)題的能力，開(kāi)拓解題思路是十分有益的。一、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)加法和減法的幾何意義是向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則。由這一意義可知：d=|Z1Z2|=|z2-z1|表示復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離。這是一個(gè)十分重要而有用的結(jié)論。例1、復(fù)數(shù)z0，點(diǎn)A、B分

2、別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z和（1-i）z，求證：OAB是等腰直角三角形。證明：|OA|=|z|OB|=|（1-i）z|=|z|AB|=|（1-I）z-z|=|-zi|=|z|OA|=|AB|，且|OB|2=|OA|2+|AB|2即OAB是等腰直角三角形例2、（全國(guó)高考題）z1、z2C，|z1|=5，|z1-z2|=7, 求的值簡(jiǎn)答如下：易知O、Z1、Z2構(gòu)成如圖三角形COSZ1OZ2=-sinZ1OZ2=（cosZ1OZ2+isinZ1OZ2）=-二、復(fù)數(shù)與區(qū)域當(dāng)復(fù)數(shù)Z的實(shí)部、虛部、模、輻角分別在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z會(huì)在復(fù)平面上形成一定區(qū)域，反之，根據(jù)點(diǎn)Z在復(fù)平面上的區(qū)域，也可確定以上某個(gè)量的取值

3、范圍。例3、已知Zi滿足|z+3-i|=，求|z|與argz的取值范圍，并求出使|z|與argz取得最大值和最小值的復(fù)數(shù)z。簡(jiǎn)答：由方程|z+3-i|=表示的圖形（如圖）易知：|OB| |z|OA|，-POQ argz C由此不難算出： |z|，argz且當(dāng)z=zp=- +I時(shí)，argz取最小值當(dāng)z=zQ=-3時(shí)，argz取最大值當(dāng)z=zA=-+I時(shí)，|z|最大為3當(dāng)z=zB=- +I時(shí)，|a|最小為說(shuō)明：在此題的解決上，圖形的直觀性起到了十分明顯的任用。例4、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+R，且2z+4，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z組成的圖形。解：由z+R知+ zz+ 整理得（-z）（1-）=0 即 =z

4、或|z|= 設(shè)z=x+yi（x、y R）則 y=0 或 x2+y2=3 y=0時(shí)，z=x，由于Cz+4 解得1x 3此時(shí)點(diǎn)z組成的圖形是線段AB。如圖當(dāng)x2+y2=3時(shí)，由2z+4解得 1x2點(diǎn)Z組成的圖形是一段圓弧，如圖三、復(fù)數(shù)與平面幾何例5、在正方形ABCD中，作EAB=15。且AE=AC。求證：BEAC證明：如圖建立復(fù)平面，設(shè)AB=1，則A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0、1、 1+i、iEAB=15。，AE=AC，CAB=45。ze=zccos-30。）+isin（-30。）=iBE:ze-zB=-1=XBE=arg(zE-zB)=45。=BACBEAC說(shuō)明:兩復(fù)數(shù)之差的輻角可顯示連接兩點(diǎn)的

5、向量方向,此題的關(guān)鍵是通過(guò)證明arg(zE-zB)= arg(zC-zA)而證得BEAC。類(lèi)似題目還有如高中代數(shù)課本（必修）下冊(cè)217頁(yè)第15題：利用復(fù)數(shù)證明余弦定理等。四、復(fù)數(shù)與解析幾何由于復(fù)數(shù)和復(fù)平面上點(diǎn)集間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是一對(duì)實(shí)變量，即復(fù)數(shù)也成為變量時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就成為動(dòng)點(diǎn)，即可形成一定的軌跡，因此，復(fù)數(shù)也是研究平面曲線的重要方法。例6、寫(xiě)出下列曲線的復(fù)數(shù)形式的方法。以點(diǎn)A（x1、y1）、B（x2、y2）為端點(diǎn)的線段AB的中垂線方程；以點(diǎn)C（a、b）為圓心，r為半徑的圓；以F1、2（c、0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a（ac0）的橢圓；以F1、2（c、0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a（a

6、c0）的橢圓。解：|z-（x1+y1i）|=|z-（x2+Y2i）| |z-（a+bi）|=r|z-c|+|z-c|=2a|z+c|-|z-c|=2a說(shuō)明：用復(fù)數(shù)形式寫(xiě)出曲線的方程不僅是可能的，而且具有簡(jiǎn)單、清晰的優(yōu)點(diǎn)，它與直角坐標(biāo)方程F（z、y）=0表示曲線的方法相輔相成，可以互相轉(zhuǎn)化。例7、（84年全國(guó)高考題）設(shè)p0，實(shí)系數(shù)方程z2-2pz+q=0有兩個(gè)虛根z1、z2，又設(shè)z1、z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z1、Z2，求以Z1、Z2為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸之長(zhǎng)。解：由條件=（-2p）2-4qp20 由于z1、z2共軛，知點(diǎn)Z1、Z2關(guān)于X軸對(duì)稱，故橢圓短軸在X軸上，且原點(diǎn)是短軸一個(gè)端點(diǎn)，

7、可得：短軸長(zhǎng)2b=| z1+z2|=2|p|焦距2c=| z1-z2|= =2長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2=2例8、已知XC，為純虛數(shù)，求z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡。解法一、由條件知z0，z1且z為純虛數(shù)（z）+=0整理得 2z-=0即 （z-）（）=|z-|=故所求軌跡是以（、0）為心，為半徑的圓，點(diǎn)（0,0），（1，0）除外。解法：設(shè)：z=x+yi（x，yR）則所以有x2-x+y2=0，（x-1）2+y20，y0。說(shuō)明：利用復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，刻劃曲線上的點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系，并轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)形式或F（x、y）=0形式的曲線方程，是一種求軌跡的有效方法。例9、如圖，P是橢圓上的任一點(diǎn)，以O(shè)P為邊作矩形OPQM（按逆時(shí)針排列），且使|OM|=2|OP|，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。解法一：設(shè)P、M分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)u+vi，x+yi（u、v、x、yR） 則有x+yi=（u+vi） x=-2r u=有 即 y=2u r=-點(diǎn)P（u、v）在橢圓上即得 M： x=解法二：可寫(xiě)為 （為參數(shù)） y=sin向量對(duì)應(yīng)數(shù) 向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)（）即 -2sin+2點(diǎn)M（x、y）滿足參數(shù)方程x=-2sin （是參數(shù)）y=2 2cos即：M：注：此題中，若O、P、Q、M按順時(shí)針排列，所得結(jié)果仍相同