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1、2-6 一維定態(tài)的一般性質(zhì),一維定態(tài)薛定諤方程為,定理1：設(shè) 是一維定態(tài)薛定諤方程的解，則它的復(fù)共軛 也是該方程的一個(gè)解，且與 對(duì)應(yīng)同一能量本征值。,證明：,上式兩邊取復(fù)共軛，且考慮到 ，則,定理得證。,定理2：對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，如果 和 是對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量本征值的兩個(gè)獨(dú)立的解，則有,（與 無關(guān)的常數(shù)）,證明：,上面兩式兩邊分別乘以 和 ，然后相減，得,定理得證。,定理3：對(duì)于一維定態(tài)薛定諤方程，能級(jí)的簡并度最大為2。,證明：,設(shè)對(duì)于同一能量本征值，存在三個(gè)獨(dú)立的波函數(shù)，則,令 ，則,即,與假設(shè)矛盾。定理得證。,定理4：對(duì)一維束縛定態(tài)，所有能級(jí)都不簡并。,證明：,設(shè)對(duì)于同一能量本征值，存

2、在兩個(gè)獨(dú)立的波函數(shù)，則,對(duì)束縛態(tài)：,所以,兩者代表同一個(gè)量子態(tài)，因此能級(jí)不簡并。,定理得證。,定理5：一維束縛態(tài)的本征函數(shù)可以是實(shí)數(shù)。,證明：,由定理1得， 和 都是薛定諤方程的解。由定理4得，它們最多相差一常數(shù)因子，即,取復(fù)共軛,所以,取 ，則,即本征函數(shù)可以取實(shí)數(shù)。,定理得證。,定理6：設(shè)勢能具有空間反演不變性，即 。若 是一維定態(tài)薛定諤方程的一個(gè)解，則 也一定是對(duì)應(yīng)同一個(gè)能量本征值的另一個(gè)解。,證明：,考慮到 ，得,作代換 ，則,定理得證。,定理7：對(duì)于一維定態(tài)問題，假設(shè)勢能具有空間反演不變性，則任一個(gè)屬于能量本征值的束縛態(tài)都有確定的宇稱。,證明：,由定理4和定理6，得,作代換 ，則,偶

3、宇稱；,奇宇稱。,定理得證。,定理8：如圖所示，在一維情況下，若 在 點(diǎn)不連續(xù)，且 、 有限，則在 點(diǎn) 及 仍連續(xù)。,證明：,對(duì)上式作 運(yùn)算，得,第一項(xiàng),第二項(xiàng),所以,又因?yàn)?所以,定理得證。,2-7 自由粒子本征函數(shù)的規(guī)格化和箱歸一化,一、自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化二、本征函數(shù)的箱歸一化,2-7 自由粒子本征函數(shù)的規(guī)格化和箱歸一化,自由粒子是在運(yùn)動(dòng)過程中不受外力作用的粒子，即 。,一、自由粒子波函數(shù)的規(guī)格化,1一維情況,首先，討論 的情況。,令 ，則,方程的解,故方程無解。（動(dòng)能不能小于零）,顯然，,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,不能滿足波函數(shù)有限性的要求；,不能滿足波函數(shù)有限性的要求；,令 ，則,兩個(gè)特

4、解,其次，討論 的情況。,若 的取值范圍選為從負(fù)無窮到正無窮，則兩式統(tǒng)一成,它是能量的本征函數(shù)，相應(yīng)的能量本征值為,由于 取值連續(xù)，所以能量本征值可以連續(xù)取值。除基態(tài)外能量本征值二度簡并。,顯然， 表示動(dòng)量。,表示粒子向右運(yùn)動(dòng)；,由于 給出的不是平方可積的波函數(shù)，無法使用歸一化條件，即,考慮到,通常情況下，要對(duì)無限擴(kuò)展的平面波進(jìn)行所謂的規(guī)格化，也就是將其規(guī)格化為 函數(shù)。于是，得到規(guī)格化常數(shù),規(guī)格化（“歸一化”）后的波函數(shù)為,或,容易驗(yàn)證，上式也是動(dòng)量算符的本征函數(shù)。,2三維情況,或,二、本征函數(shù)的箱歸一化,1一維情況,在上述限制下，粒子是不可能處于箱外的，故箱外的波函數(shù)為零。,在箱內(nèi)，設(shè)粒子動(dòng)量或動(dòng)能算符的本征函數(shù)仍為,因?yàn)榱Ｗ映霈F(xiàn)在箱的兩端處的概率相同，所以,此即所謂周期性條件。,有,若限定粒子在 的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則它的波函數(shù)是歸一化的。當(dāng)L的值很大時(shí)，可作為粒子在無窮大范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)近似。,顯然，動(dòng)量和能量的本征值都是斷續(xù)的。,顯然，隨著箱尺度的增大，能級(jí)的間距變小。當(dāng) 時(shí)，能級(jí)的間距趨向于零，或者說能級(jí)變成連續(xù)的，這正與自由粒子能量本征值是連續(xù)的相吻合。,歸一化,自由粒子的能量本征函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不為零，這種狀態(tài)稱為非束縛態(tài)。箱中的粒子的能量本征函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，這種狀態(tài)稱為束縛態(tài)。一般說來，連續(xù)譜對(duì)應(yīng)非束縛態(tài)，而斷續(xù)譜對(duì)應(yīng)束縛態(tài)。,2三維情況,