《高等數(shù)學(xué)下冊 chap2(導(dǎo)數(shù)與微分)2-3(隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)下冊 chap2(導(dǎo)數(shù)與微分)2-3(隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)).ppt（39頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、,一、隱函數(shù)的求導(dǎo)法,三、參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)法,四、相關(guān)變化率,二、對數(shù)求導(dǎo)法,第二節(jié) 隱函數(shù)和參數(shù)式,函數(shù)的求導(dǎo)法,定義,1. 隱函數(shù)的定義,所確定的函數(shù),稱為,隱函數(shù)(implicit function).,的形式稱為,顯函數(shù).,隱函數(shù)的,可確定顯函數(shù),例,開普勒方程,的隱函數(shù)客觀存在,但無法將,表達成,的顯式,表達式.,顯化.,一、隱函數(shù)的求導(dǎo)法,2. 隱函數(shù)求導(dǎo)法,隱函數(shù)求導(dǎo)法則,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中,將方程兩邊對x求導(dǎo).,變量y是x的函數(shù).,隱函數(shù)不易顯化或不能顯化,？,如何求導(dǎo),例,解,則得恒等式,代入方程,將此恒等式兩邊同時對x求導(dǎo),得,因為y是x的函數(shù),是x的復(fù)合函數(shù)

2、,所以,求導(dǎo)時要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,當然結(jié)果中仍含有變量y.,允許在 的表達式中含有變量y.,一般來說,隱函數(shù),求導(dǎo),求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導(dǎo),就得到一個含有導(dǎo)數(shù),從中解出即可.,于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.,y是x的函數(shù),例,解,法一,利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.,將方程兩邊對x求導(dǎo),得,解出,得,法二,從原方程中解出,得,先求x對y的導(dǎo)數(shù),得,再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則,得,例,解,切線方程,法線方程,通過原點.,例,解,將上面方程兩邊再對,或解,解得,利用隱函數(shù)求導(dǎo)法來證明曲線族的正交問題.,如果兩條曲線在它們的交點處的

3、切線互相垂直,正交軌線.,稱這兩條曲線是,正交的.,如果一個曲線族中的每條曲線與另一個曲線族,中的所有與它相交的曲線均正交,稱這,是正交的,兩個曲線族,或互為,正交曲線族在很多物理現(xiàn)象中出現(xiàn),例如,靜電場中的電力線與等電位線正交,熱力學(xué)中的,等溫線與熱流線正交,等等.,練習(xí),證,即證.,兩條曲線在該點的,現(xiàn)只須證明,切線斜率互為負倒數(shù).,作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個簡單應(yīng)用, 介紹,(1) 許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).,對數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的,求導(dǎo)變得更為簡單.,適用于,方 法,先在方程兩邊取對數(shù),-對數(shù)求導(dǎo)法,然后利用隱函數(shù)的,求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).,二、對數(shù)求導(dǎo)法,例,解,等

4、式兩邊取對數(shù)得,隱函數(shù),兩邊對x求導(dǎo)得,等式兩邊取對數(shù)得,例,解,等式兩邊取對數(shù)得,復(fù)合函數(shù),改寫成,如上例,則,只要將,冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質(zhì)化為:,再求導(dǎo),有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便.,例如,兩邊取對數(shù),兩邊對x求導(dǎo),練習(xí),解答,等式兩邊取對數(shù),解答,三、參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)法,例如,消去參數(shù),問題: 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?,所以,單調(diào)連續(xù)的反函數(shù),由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得,例,解,所求切線方程為,例,解,可由切線的斜率來反映.,即,設(shè)由方程,確定函數(shù),求,方程組兩邊對t 求導(dǎo),得,故,例,解,若曲線由極坐標方程,給出,利用,可化為極角 參數(shù)方程,因此曲線,切線的斜率為,例,

5、解,將曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)換成,則曲線的切線斜率為,所以法線斜率為,又切點為,故法線方程為,即,參數(shù)方程,為兩可導(dǎo)函數(shù),之間有聯(lián)系,之間也有聯(lián)系,稱為,相關(guān)變化率解法三步驟,找出相關(guān)變量的關(guān)系式,對t 求導(dǎo),相關(guān)變化率,求出未知的相關(guān)變化率,四、相關(guān)變化率,相關(guān)變化率,之間的關(guān)系式,代入指定時刻的變量值及已知變化率,(1),(2),(3),例,解,(1),(2),仰角增加率,(3),練習(xí),設(shè)自開始充氣以來的時間t,解,體積為,在t時刻氣體的,半徑為,小結(jié),隱函數(shù)求導(dǎo)法則,工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;,對數(shù)求導(dǎo)法,對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).,參數(shù)方程求導(dǎo),注意:變量y是x的函數(shù).,將方程兩邊對x求導(dǎo).,工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則.,相關(guān)變化率,通過函數(shù)關(guān)系確定兩個變化率之間的,解法: 三個步驟.,關(guān)系,從其中一個變化率(已知)求出一個變化率;,一般地,1.對數(shù)求導(dǎo)法,可得,2.寫為指數(shù)形式,按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo),思考題 (是非題),正確解答,試問,對嗎?,非,如:,求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理.,例,解,