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1、結論結論微分形式的不變性微分形式的不變性微分形式的不變性微分形式的不變性無論無論x 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量,函數函數的微分形式總是的微分形式總是例例解解2 用微分形式不變性用微分形式不變性 在計算中也可以不寫中間變量在計算中也可以不寫中間變量,直接利用直接利用微分形式不變性微分形式不變性.解解1例例解解3.4 3.4 隱函數及由參數方程所確隱函數及由參數方程所確隱函數及由參數方程所確隱函數及由參數方程所確定的函數的導數定的函數的導數定的函數的導數定的函數的導數1.隱函數的導數隱函數的導數 2.對數求導法對數求導法4.相關變化率相關變化率 3.由參數方程確定的函數的導數由參數方

2、程確定的函數的導數若由方程若由方程可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數,由由表示的函數表示的函數,稱為稱為顯函數顯函數.例如例如,可確定顯函數可確定顯函數可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數,但此隱函數不能顯化但此隱函數不能顯化.函數為函數為隱函數隱函數.則稱此則稱此隱函數隱函數求導方法求導方法:兩邊對兩邊對 x 求導求導(注意注意 y=y(x)(含導數含導數 的方程的方程)1.隱函數的導數隱函數的導數 復合函數求導法則復合函數求導法則,例例解解1 1將方程兩邊對將方程兩邊對x求導求導,得得解解2將方程兩邊求微分將方程兩邊求微分,得得例例 雖然隱函數沒解出來雖然隱函數沒解出來,但它的導

3、數求出來但它的導數求出來了了,當然結果中仍含有變量當然結果中仍含有變量y.允許在允許在 的表達式中含有變量的表達式中含有變量y.一般來說一般來說,隱函數隱函數求導求導,解解切線方程切線方程法線方程法線方程通過原點通過原點.例例解解將將上面方程兩邊再對上面方程兩邊再對解解確定確定,2.2.對數求導法對數求導法作為隱函數求導法的一個簡單應用作為隱函數求導法的一個簡單應用,介紹介紹(1)(1)許多因子相乘除、乘方、開方的函數許多因子相乘除、乘方、開方的函數.對數求導法對數求導法,它可以利用對數性質使某些函數的它可以利用對數性質使某些函數的求導變得更為簡單求導變得更為簡單.適適用用于于方方方方 法法法

4、法先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數,-對數求導法對數求導法 然后利用隱函數的然后利用隱函數的求導法求出導數求導法求出導數.在對數求導的過程中，允許不加絕對值在對數求導的過程中，允許不加絕對值 注注例例解解等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得例例解解1 等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得解解2解解1 等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得解解2例例解解兩邊取對數兩邊取對數兩邊對兩邊對x求導求導解解解解3.由參數方程所確定的函數的導數由參數方程所確定的函數的導數例如例如消去參數消去參數問題問題:消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則

5、得t例例解解 所求切線方程為所求切線方程為 參數方程所確定的函數參數方程所確定的函數,它的導數仍用參數它的導數仍用參數t表示的表示的，所以所以 依然看成參數方程所確定的函數依然看成參數方程所確定的函數.拋射體運動軌跡的參數方程為拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向的運動速度的大小和方向.解解 水平速度水平速度為為垂直速度垂直速度為為故速度大小故速度大小速度方向速度方向(即軌跡的即軌跡的切線方向切線方向):設設 為切線傾角為切線傾角,則則例例拋射體軌跡的參數方程拋射體軌跡的參數方程水平速度水平速度垂直速度垂直速度拋射拋射角為角為達到最高點的時刻達到最

6、高點的時刻高度高度落地時刻落地時刻拋射拋射最遠距離最遠距離速度的方向速度的方向(即即 t=0)設由方程設由方程確定函數確定函數求求方程組兩邊對方程組兩邊對t 求導求導,得得解解例例解解 將曲線的極坐標方程轉換成將曲線的極坐標方程轉換成則曲線的切線斜率為則曲線的切線斜率為所以法線斜率為所以法線斜率為又切點為又切點為故法線方程為故法線方程為即即參數方程參數方程如如:注注求二階導數不必死套公式求二階導數不必死套公式,只要理解其含義只要理解其含義,這樣對求更高階的導數也容易處理這樣對求更高階的導數也容易處理.例例解解4.相關變化率相關變化率之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為稱為相關變化率

7、相關變化率例例解解(1)(1)(2)(2)仰角增加率仰角增加率(3)(3)相關變化率解法三步驟相關變化率解法三步驟找出相關變量的關系式找出相關變量的關系式對對t 求導求導相關變化率相關變化率求出未知的相關變化率求出未知的相關變化率之間的關系式之間的關系式 代入指定時刻的變量值及已知變化率代入指定時刻的變量值及已知變化率,(1)(1)(2)(2)(3)(3)水面水面例例解解橋面橋面2020m mxy(1)(1)在此人的正下方有一條小船以在此人的正下方有一條小船以的速度在的速度在與橋垂直的方向航行與橋垂直的方向航行,求經求經5 5s后后,人與小船相分離的人與小船相分離的速度速度.對對t求導求導(2

8、)(2)(3)(3)解解設自開始充氣以來的時間設自開始充氣以來的時間t,解解體積為體積為在在t時刻氣體的時刻氣體的半徑為半徑為設氣體以設氣體以100100立方厘米立方厘米/秒的速度注入球狀秒的速度注入球狀的氣球的氣球,求在半徑為求在半徑為1010厘米時厘米時,氣球半徑增加的速率氣球半徑增加的速率(假定氣體壓力不變假定氣體壓力不變).).氣球半徑與體積的關氣球半徑與體積的關系系小結小結1.1.隱函數求導法隱函數求導法:利用利用復合函數求導法則復合函數求導法則,將方程兩邊對將方程兩邊對x求導，求導，并注意到其中并注意到其中變量變量y是是x的函數的函數.2.2.參數方程所確定的函數求導法參數方程所確定的函數求導法:3.3.相關變化率相關變化率:利用利用復合函數求導法則，復合函數求導法則，通過函數關系確通過函數關系確 定兩個相互依賴的變化率定兩個相互依賴的變化率之間的關系之間的關系,作業(yè)作業(yè)：P75 1(6)(8)，2(1)，3(2),4 5(4)，6(1)(6)，7(2)8(1),9(3)(4),11,12,18