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1、小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)一行程問(wèn)題第1節(jié)怎樣學(xué)好行程問(wèn)題？一、從 99.26%至U100%!在各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷中，行程問(wèn)題的考察比例到達(dá)了 99.26%,重要性可想而知。而在歷屆某杯賽邀請(qǐng)賽中，無(wú)論是初 賽還是決賽,對(duì)于行程問(wèn)題的考察比例為100%!很顯然，無(wú)論是杯賽的初賽還是決賽，行程問(wèn)題為必考點(diǎn)！ 并且在杯賽前三屆決賽中行程問(wèn)題都作為壓軸題出現(xiàn)！ 二、為什么小學(xué)生行程問(wèn)題普遍學(xué)不好？1、行程問(wèn)題的題型多，綜合變化多。行程問(wèn)題涉及的變化較多，有的涉及一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的 涉及多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)。涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的，又有“相向運(yùn)動(dòng)”（相遇問(wèn)題）、“同向運(yùn)動(dòng)”（追及問(wèn)題）和“相背運(yùn)動(dòng)”（相離問(wèn) 題）三種情況。

2、行程問(wèn)題每一類(lèi)型題的考察重點(diǎn)都不一樣，往往追及速度二速度差二快的速度-慢的速度快的物體追上慢的物體所用的時(shí)間為追及時(shí)間慢者在前，快者在后，因而快者離慢者越來(lái)越近，最后終于可以追上。相關(guān)的關(guān)系式:追及路程=速度差X追及時(shí)間速度差=追及路程+追及時(shí)間追及時(shí)間二追及路程+速度差四、相遇追及綜合相遇問(wèn)題直線相遇問(wèn)題直線一次相遇問(wèn)題直線屢次相遇問(wèn)題環(huán)線相遇問(wèn)題環(huán)線一次相遇問(wèn)題環(huán)線屢次相遇問(wèn)題直線追及問(wèn)題直線一次追及問(wèn)題直線屢次追及問(wèn)題環(huán)線追及問(wèn)題環(huán)線一次追及問(wèn)題環(huán)線屢次追及問(wèn)題.公式及公式變形 基本行程公式:S （路程）=V （速度）XT （時(shí)間）相遇下的變形：路程和二速度和x相遇時(shí)間追及下的變形：路程

3、差二速度差X追及時(shí)間.單位的統(tǒng)一和判斷米/秒可以寫(xiě)成“m/s”但不要寫(xiě)成“m/秒”利用公式可以判斷單位的寫(xiě)法：v=s-t；所以速度的單位就是米秒，即米/秒1 .關(guān)鍵詞每到行程問(wèn)題，不管怎么出題，總會(huì)提到以下幾個(gè)情況：同時(shí)，同地，同向，相向，背向這幾個(gè)就是關(guān)鍵詞了！是否同時(shí)同地，如果不是同時(shí)，相差幾小時(shí)，誰(shuí)先誰(shuí)后？如果不是同地，相差多少千米，位置如何？這是每個(gè)行程問(wèn)題的初始情形，基本條件，必須優(yōu)先讀出來(lái)。同向，相向（背向）分別是判斷追及和相遇的關(guān)鍵信息。千萬(wàn)不要盲目的看到“幾小時(shí)后兩人相遇”就認(rèn)定這是相遇問(wèn)題！2 .數(shù)形結(jié)合顧名思義：數(shù)字與圖形相結(jié)合的思想，因此，行程問(wèn)題，一定離不開(kāi)畫(huà)圖。而圖的

4、 畫(huà)法，將會(huì)在之后的多人行程中有更加明顯的表達(dá)。3 .一題多解在最開(kāi)始接觸相遇和追及的時(shí)候，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，一旦出現(xiàn)“問(wèn)：幾小時(shí)后，相距XX千米”這樣的句子，答案總是會(huì)有兩種可能。這就一定要求同學(xué)們對(duì)題目考慮要足夠嚴(yán)密；換言之，同學(xué)們一定要注意行程問(wèn)題 當(dāng)中的多解情況。那么，除了上面的多解情況，還會(huì)有哪些呢？例如：在環(huán)形跑道上不說(shuō)明方向的相 遇和追及問(wèn)題。4 .方程思想方程，我們已經(jīng)不再陌生，但是，仍然有些抗拒。不過(guò)沒(méi)關(guān)系，熟能生巧。這個(gè)是我們必須攻克的難關(guān)。為什么呢？因?yàn)榈搅烁吣昙?jí)，我們逐漸發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)了 方程，就相當(dāng)于學(xué)會(huì)了應(yīng)用題。因?yàn)閹缀跛械膽?yīng)用題，都可以通過(guò)列方程求解輕 松攻克。行程這個(gè)

5、難題，也不例外。所以，我們要從現(xiàn)在開(kāi)始，嘗試用方程的方法 來(lái)解決一些看上去“很難”的行程問(wèn)題。多人相遇和追及問(wèn)題多人相遇追及問(wèn)題，即在同一直線上，3個(gè)或3個(gè)以上的對(duì)象之間的相遇追及問(wèn) 題。所有行程問(wèn)題都是圍繞“S （路程）=V （速度）XT （時(shí)間）”這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，比方我們遇到的兩大典型行程題相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題的本質(zhì)也是這三個(gè)量之間 的關(guān)系轉(zhuǎn)化.由此還可以得到如下兩條關(guān)系式：路程和=速度和X相遇時(shí)間；路程差二速度差x追及時(shí)間；多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及 的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解。屢次相遇和追及問(wèn)題一、由簡(jiǎn)單行程問(wèn)題拓展出的屢次相遇問(wèn)題所有

6、行程問(wèn)題都是圍繞距離=速度X時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開(kāi)的，多人相遇與追及問(wèn)題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這個(gè)公 式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問(wèn)題即可迎刃而解。二、屢次相遇與全程的關(guān)系1.兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程；第2次相遇，共走3個(gè)全程； 第3次相遇，共走5個(gè)全程;第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了 N米，以后每次都走2N米。2.同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程；第2次相遇，共走4個(gè)全程；第3次相遇，共走6個(gè)全程；第N次相遇，共走2N個(gè)全程；3、多人屢次相遇追及的解題關(guān)鍵屢次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程多人相遇追及

7、的解題關(guān)鍵路程差三、解屢次相遇問(wèn)題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間-距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的表達(dá)運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖 法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少。如果不畫(huà)圖，單 憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易。五、分類(lèi)詳解11火車(chē)行程問(wèn)題有關(guān)火車(chē)過(guò)橋、火車(chē)過(guò)隧道、兩列火車(chē)車(chē)頭相遇到車(chē)尾相離等問(wèn)題，也是一種行程 問(wèn)題。在考慮速度、時(shí)間和路程三種數(shù)量關(guān)系時(shí)，必須考慮到火車(chē)本身的長(zhǎng)度。如 果有些問(wèn)題不容易一下子看出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

8、的數(shù)量關(guān)系，可以利用作圖或演示的方法 來(lái)幫助解題。解答火車(chē)行程問(wèn)題可記住以下幾點(diǎn)：1、火車(chē)過(guò)橋（或隧道）所用的時(shí)間二橋（隧道長(zhǎng)）+火車(chē)車(chē)長(zhǎng)葉火車(chē)的速度；2、兩列火車(chē)相向而行，從相遇到相離所用的時(shí)間二兩火車(chē)車(chē)身長(zhǎng)度和兩車(chē)速度和；3、兩車(chē)同向而行，快車(chē)從追上到超過(guò)慢車(chē)所用的時(shí)間;兩車(chē)車(chē)身長(zhǎng)度和兩車(chē)速度差。火車(chē)行程及過(guò)橋問(wèn)題：（1）確定兩列火車(chē)追及路程分三種情況：車(chē)頭遇上車(chē)尾：兩列火車(chē)間的距離車(chē)頭追上車(chē)頭：兩列火車(chē)間距離+被追列車(chē)長(zhǎng)車(chē)尾追上車(chē)尾：兩列火車(chē)間距離+追及列車(chē)車(chē)長(zhǎng)（2）確定兩列火車(chē)相遇路程分三種情況：車(chē)頭遇上車(chē)頭：兩列火車(chē)間距離車(chē)頭遇到車(chē)尾：兩列火車(chē)間距離+其中一列火車(chē)長(zhǎng)車(chē)尾遇見(jiàn)車(chē)尾：兩列

9、火車(chē)間距離+兩列火車(chē)長(zhǎng)（3）火車(chē)過(guò)橋行駛的總路程是火車(chē)車(chē)身長(zhǎng)與橋長(zhǎng)之和，數(shù)量關(guān)系:（列車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）一列車(chē)速度;通過(guò)時(shí)間，（橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)）速度=時(shí)間，（橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)）時(shí)間=速度，速度x時(shí)間二橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)2流水行程問(wèn)題初等行程問(wèn)題相遇問(wèn)題行程問(wèn)題行程問(wèn)題追及問(wèn)題F行船問(wèn)題流水問(wèn)題是研究船在流水中的行程問(wèn)題，因此，又叫行船問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及 到的題目，一般是勻速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行 中的作用不同。流水問(wèn)題有如下兩個(gè)基本公式:順?biāo)俣?船速+水速（1） 逆水速度二船速-水速（2）這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速 度，也就是船在靜水中單

10、位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過(guò)的路 程。公式（1）說(shuō)明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按 著水的流動(dòng)速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。公式（2）說(shuō)明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：水速二順?biāo)俣?船速（3）船速二順?biāo)俣?水速（4）由公式（2）可得：水速=船速-逆水速度（5）船速二逆水速度+水速（6）這就是說(shuō)，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩 個(gè)，就可以求出第三個(gè)。另

11、外，某船的逆水速度和順?biāo)俣龋€可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問(wèn)題的算法，可知：船速二(順?biāo)俣?逆水速度)+2 (7)水速二(順?biāo)俣?逆水速度)-2 (8)3扶梯問(wèn)題扶梯問(wèn)題類(lèi)似流水行船問(wèn)題，只不過(guò)扶梯問(wèn)題中的距離一般表示為扶梯的級(jí)數(shù)，速度也是用級(jí)數(shù)/時(shí)間來(lái)表示，其實(shí)質(zhì)是完全一樣的?；竟剑鹤哌^(guò)的總級(jí)數(shù)=行走速度X行走時(shí)間同向：走過(guò)的總級(jí)數(shù)二靜止時(shí)能看到的級(jí)數(shù)-扶梯運(yùn)動(dòng)縮進(jìn)的級(jí)數(shù)逆向：走過(guò)的總級(jí)數(shù)二靜止時(shí)能看到的級(jí)數(shù)+扶梯運(yùn)動(dòng)伸長(zhǎng)的級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)要領(lǐng)完全搞懂上面上個(gè)公式，知道人走過(guò)的級(jí)數(shù)跟扶梯的運(yùn)動(dòng)與否和速度無(wú)關(guān)，就是人的速度乘以行走的

12、時(shí)間；搞清楚人走過(guò)的級(jí)數(shù)等于扶梯靜止時(shí)的級(jí)數(shù)加上因?yàn)榉鎏葸\(yùn)動(dòng)而伸長(zhǎng)或縮短的級(jí)數(shù)，而扶梯伸長(zhǎng)或縮短的級(jí)數(shù)等于扶梯速度乘以行走時(shí)間；4環(huán)形跑道環(huán)形跑道問(wèn)題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，那么每合走一圈相遇一次；如果 是同向而行，那么每追上一圈相遇一次.這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問(wèn)題的關(guān) 鍵。環(huán)形跑道：同相向而行的等量關(guān)系：乙程一甲程=跑道長(zhǎng)背向而行的等量關(guān)系：乙程+甲程=跑道長(zhǎng)環(huán)線型同一出發(fā)點(diǎn)/直徑兩端同向：路程差tnStnS+0.5s相對(duì)（反向）：路程和tnStnS-0.5s平均速度平均速度=總路程?總時(shí)間總路程=平均速度x總時(shí)間總時(shí)間二總路程平均速度【5】發(fā)車(chē)間隔 將多種題型綜合起來(lái)考察。

13、比方遇到相遇問(wèn)題關(guān)鍵要抓住速度 和，追擊問(wèn)題那么要抓住速度差，流水行船中的相遇追及問(wèn)題要注 意跟水速無(wú)關(guān)等等。2、行程問(wèn)題要求學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行演繹和推理。奧數(shù)中靜態(tài)的知識(shí)學(xué)生很容易學(xué)會(huì)。打個(gè)比方，比方數(shù)線段問(wèn)題，學(xué)生掌握了方法，依葫蘆畫(huà)瓢就行。一般情況，靜態(tài)的奧 數(shù)知識(shí)，學(xué)生只要理解了，就能容易做出來(lái)。行程問(wèn)題難就難在 過(guò)程分析是動(dòng)態(tài)的，甲乙兩個(gè)人從開(kāi)始就在運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過(guò)程來(lái)回 跑。學(xué)生對(duì)文字題描述的過(guò)程很難還原成對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，不畫(huà) 圖，習(xí)慣性的在腦海里分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程。還有的學(xué)生會(huì)用手指，用 橡皮模擬，轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去往往把自己都兜暈了還是沒(méi)有搞明白這個(gè)過(guò) 程，更別說(shuō)找出解題所需要的數(shù)量關(guān)系了。三、行

14、程問(wèn)題“九大題型”與“五大方法”。很多學(xué)生對(duì)行程問(wèn)題的題型不太清楚，對(duì)行程問(wèn)題的常用解法也不了解，那么我給大家歸納一下。L九大題型: 間隔發(fā)車(chē)問(wèn)題，只靠空間理想象解稍顯困難，證明過(guò)程對(duì)快速解題沒(méi)有幫助，但是 一旦掌握了 3個(gè)基本方法，一般問(wèn)題都可以迎刃而解。1 .在班車(chē)?yán)锛戳▎?wèn)題不用基本公式解決，快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉 線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。柳卡圖，也稱(chēng)為折線圖，可以很好的 解決復(fù)雜的行程問(wèn)題。折線示意圖往往能夠清晰的表達(dá)運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”， 使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所 用

15、的時(shí)間是多少。其中相遇”兩字廣義上講，只要兩人在同一地點(diǎn) 就算相遇，因此分為兩種情況，一種叫做迎面相遇（即我們平時(shí) 說(shuō)的相遇問(wèn)題），一種叫做追及相遇（即我們平時(shí)說(shuō)的追及問(wèn) 題），一般題目說(shuō)的相遇，我們默認(rèn)指的是迎面相遇，假設(shè)題目說(shuō) 只要兩人在同一地點(diǎn)算做一次相遇，那么這時(shí)兩種情況都要算。【例1】甲、乙兩人在一條90米的直路上來(lái)回跑步，甲的速度 3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時(shí)分別從直路的兩端A、B兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)他們跑12分鐘，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩人同時(shí)到達(dá)某一點(diǎn)算作一次相遇）如果不畫(huà)圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易。2 .在班車(chē)外聯(lián)立3個(gè)基本公式好使（1）汽車(chē)間距二（汽車(chē)速度+行人速度）x相遇事件時(shí)間間隔（2）汽車(chē)間距二（汽車(chē)速度-行人速度）x追及事件時(shí)間間隔（3）汽車(chē)間距:汽車(chē)速度x汽車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔綜上總結(jié)發(fā)車(chē)問(wèn)題可以總結(jié)為如下技巧（1）、一般間隔發(fā)車(chē)問(wèn)題。用3個(gè)公式迅速作答；（2）、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車(chē)的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫(huà)圖盡可能多的列3個(gè)好使公式結(jié)合S=VxT,結(jié)合植樹(shù)問(wèn) 題數(shù)數(shù)。（3）當(dāng)出現(xiàn)屢次相遇和追及問(wèn)題柳卡圖數(shù)交叉點(diǎn)解決。下