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1、第十一章 三角形11.1 與三角形有關(guān)的線段11.1.1 三角形的邊1關(guān)于三角形的概念及其按角的分類定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2三角形的分類：三角形按內(nèi)角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形.3關(guān)于三角形三條邊的關(guān)系（判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的方法、比較線段的長短）根據(jù)公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：三角形任意兩邊之和大于第三邊.三角形任意兩邊之差小于第三邊.例1小芳有兩根長度為4cm和9cm的木條，她想釘一個(gè)三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條，她應(yīng)當(dāng)選擇長度為（ ）的木條A5cm B3

2、cm C17cm D12 cm【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，可知：對(duì)A，4+5=9，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，故錯(cuò)誤；對(duì)B，4+39，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，故錯(cuò)誤；對(duì)C，4+917，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，故錯(cuò)誤；對(duì)D，4+912，12-94，符合兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，故對(duì)的；故選D考點(diǎn)：三角形的三邊關(guān)系例2以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）A2，3，5 B3，3，6 C2，5，8 D4，5，6【答案】D【解析】試題分析： A2+3=5，故不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B3+3=6，故不

3、能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C2+58，故不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D4+56，故，能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)對(duì)的故選D考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例3現(xiàn)有四根木棒，長度分別為4cm，6cm，8cm，10cm從中任取三根木棒，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知能組成三角形的木棒長度分別為：4cm、8cm、10cm；4cm、6cm、8cm和4cm、8cm、10cm三種情況考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例4在下列長度的四根木棒中，能與兩根長度分別為4cm和9cm的木棒構(gòu)成一個(gè)三角形的是（ ）A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm【答案】C【

4、解析】試題分析：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.根據(jù)這個(gè)規(guī)律可得這個(gè)三角形的第三邊長的范圍為5第三邊13，則選擇9cm.考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例5一個(gè)三角形的三條邊長分別為1、2、x，則x的取值范圍是（ ）A、1x3 B、1x3 C、1x3 D、1x3【答案】D【解析】試題分析：已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可以求出第三邊長的范圍試題解析：根據(jù)題意得：2-1x2+1即：1x3故選D考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系例6如圖，在ABC中，AD、BF、CE相交于O點(diǎn)，則圖中的三角形的個(gè)數(shù)是（ ）A7個(gè) B10個(gè) C15個(gè) D16個(gè)【答案】D【解析】根據(jù)三角形的

5、概念，最小的有6個(gè)，2個(gè)組成一個(gè)的有3個(gè)，三個(gè)組成一個(gè)的有6個(gè)，最大的有一個(gè)，則有6+3+6+1=16個(gè)11.1.2 三角形的高、中線與角平分線1.三角形的高：過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的垂線，這條垂線段叫做三角形的高.2.三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形任意一條中線將三角形提成面積相等的兩個(gè)部分；三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.3.三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與對(duì)邊相交形成的線段；注意：三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；任意一個(gè)三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；任意一個(gè)三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部.但

6、三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部.一個(gè)三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn).（三角形的三條高（或三條高所在的直線）交與一點(diǎn)，銳角三角形高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，鈍角三角形高（所在的直線）的交點(diǎn)在三角形的外部.）例1對(duì)于任意三角形的高，下列說法不對(duì)的的是（ ）A銳角三角形有三條高 B直角三角形只有一條高C任意三角形都有三條高 D鈍角三角形有兩條高在三角形的外部【答案】B【解析】試題分析：

7、根據(jù)三角形的高的概念，通過具體作高，發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三角形都有三條高，其中銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有兩條高即三角形的兩條直角邊，一條在內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，一條在內(nèi)部，據(jù)此可知：A、銳角三角形有三條高，說法對(duì)的，故本選項(xiàng)不符合題意；B、直角三角形有三條高，說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；C、任意三角形都有三條高，說法對(duì)的，故本選項(xiàng)不符合題意；D、鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，說法對(duì)的，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B考點(diǎn)：三角形的高例2到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（ ）A三邊高線的交點(diǎn)B三條中線的交點(diǎn)C三邊垂直平分線的交點(diǎn)D三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【答案】C【解析

8、】試題分析：如圖，根據(jù)題意可知：由OA=OB，可得點(diǎn)A在線段AB的垂直平分線上；由OB=OC，可得O在線段BC上；同理可由OA=OC，可得O在線段AC的垂直平分線上；因此可知到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)故選C考點(diǎn)：線段的垂直平分線例3下列四個(gè)圖形中，線段BE是ABC的高的是（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：線段BE是ABC的高的圖是選項(xiàng)D故選D考點(diǎn)：三角形的角平分線、中線和高例4不一定在三角形內(nèi)部的線段是（ ）A三角形的角平分線 B三角形的中線C三角形的高 D三角形的中位線【答案】C【解析】試題分析：由于在三角形中，它的中線、角平分線一定在

9、三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高有的在三角形的外部故選C考點(diǎn)：1.三角形的角平分線、中線和高；2.三角形中位線定理 例5如圖，ADBC，GCBC，CFAB，D，C，F(xiàn)是垂足，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）AABC中，AD是BC邊上的高 BABC中，GC是BC邊上的高CGBC中，GC是BC邊上的高 DGBC中，CF是BG邊【答案】B【解析】試題分析：三角形的高的定義是三角形中，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所引的垂線段即為三角形這邊上的高，據(jù)此可知，A、ABC中，AD是BC邊上的高，此選項(xiàng)對(duì)的；B、ABC中，GC是BC邊上的高，錯(cuò)誤；C、GBC中，GC是BC邊上的高，對(duì)的；D、GBC中，CF是BG邊，對(duì)的

10、故選：B考點(diǎn)：三角形的高的定義例6三角形中，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（ ）A三條高線的交點(diǎn) B三條中線的交點(diǎn)C三條角平分線的交點(diǎn) D三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)故選D考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)例7如圖，CD，CE，CF分別是ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）AAB=2BF BAE=BE CACE=ACB DCDBE【答案】B.【解析】試題分析:CD，CE，CF分別是ABC的高、角平分線、中線CDBE，ACE=ACB ，AB=2BF 故選B考點(diǎn)：三角形的高，角平分線，中線.1

11、1.1.3 三角形的穩(wěn)定性11.2 與三角形有關(guān)的角11.2.1 三角形的內(nèi)角1. 三角形的內(nèi)角和：1802.直角三角形的兩個(gè)銳角互余3.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形例1一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小聰將一副三角板按圖中方式疊放，則BFD等于 （ ）A10 B15 C30 D45【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得：B=45，EDC=60，根據(jù)EDC=B+BFD求出BFD=6045=15考點(diǎn)：角度的計(jì)算例2如圖，在ABC中，A=90，點(diǎn)D在AC邊上，DE/BC，若1=155，則B的度數(shù)為（ ）.A45 B55 C65 D75【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)1可得EDC=25，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

12、C=EDC=25，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得B=1809025=65考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和例3在ABC中，ABC=345，則C等于（ ）A.45 B.60 C.75 D.90【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意可設(shè)A=3x，B=4x，C=5x，則根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180，可得3x+4x+5x=180，解方程的可得x=15，因此C=5x=515=75.故選C考點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和例4在ABC中，A40 o，B55 o，則C o【答案】85【解析】試題分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得C180-A-B=180-40 o-55=85.考點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和定理.11.2.2 三角形的外角1.三級(jí)

13、形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角2.三角形的外角和：3603.三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；常用來求角度三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.常用來比較角的大小例1假如等腰三角形的一個(gè)外角等于100度，那么它的頂角等于（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：分兩種情況：若100是頂角的外角，則頂角=180-100=80；若100是底角的外角，則底角=180-100=80，那么頂角=180-280=20故答案選D考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)例2如圖所示，在ABC中，D是BC延長線上一點(diǎn)，B=40，ACD=120則A等于（ ）A90 B80 C70 D60【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)三角形的