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1、函數(shù)的奇偶性題型分類解析 函數(shù)奇偶性的典型題分類解析（適合高三）題型一: 函數(shù)奇偶性概念的考察1若是奇函數(shù),則其圖象關(guān)于（ ） A軸對稱 B軸對稱 C原點對稱 D直線對稱2若函數(shù)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點一定在函數(shù)圖象上的 A B C D 3.下列說法錯誤的是（ ）A。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱 B。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱C.定義在R上的奇函數(shù)滿足 D。定義在R上的偶函數(shù)滿足題型二：函數(shù)奇偶性的判斷一奇偶函數(shù)定義法1.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( ）A B C D2.判斷的：函數(shù)奇偶性 （1)；; (2） ； （3) ； （4) . （5) （6) (7） (8） (9） （10） （11） ;

2、 (12） ；（ 13) （1）f（x）=(x-2）;（2)f(x)=；（3）f(x）=解 （1）由0,得定義域為-2,2），關(guān)于原點不對稱，故f（x）為非奇非偶函數(shù).(2）由得定義域為（-1，0）（0，1）。這時f（x）=.f（-x)=f（x）為偶函數(shù).（3）x-1時,f（x）=x+2，-x1，f（x）=（-x）+2=x+2=f（x）。x1時，f（x)=-x+2，x1，f(x)=x+2=f(x）。1x1時，f（x）=0,-1-x1，f（x）=0=f（x)。對定義域內(nèi)的每個x都有f（-x)=f（x）.因此f(x）是偶函數(shù)。(1）判斷函數(shù)的奇偶性，并指出它的單調(diào)區(qū)間.二根據(jù)奇偶函數(shù)四則運算法則為

3、依據(jù)1。下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ) A. B. C。 D.2.判斷的：函數(shù)奇偶性（1）. （2）. （3).2.已知函數(shù)y=f（x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是 （填序號). y=f（|x|)；y=f（x）；y=xf（x)；y=f(x）+x。 答案 題型四:由:知含參的函數(shù)奇偶性求參數(shù)的值 1.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（ ) A. -1 B。 -2 C。 1 D. 22.已知函數(shù)為偶函數(shù)，那么是( ） A. 奇函數(shù) B。 偶函數(shù) C。 即奇又偶函數(shù) D。非奇非偶函數(shù)3.若為奇函數(shù)，則b= 。4。若定義在區(qū)間上的函數(shù)為偶函數(shù)，則a= .5。若是偶函數(shù)，則從小到大的順序是 .6

4、.已知f（x)=是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為 .答案17.已知二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，寫出函數(shù)的解析表達(dá)式，并求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。題型五:利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式已知分段函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時的解析式為，則這個函數(shù)在區(qū)上的解析式為 10設(shè)函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù),且，則等于（C）A。 B. C. D.分析：答案為C。 本題是考察函數(shù)奇偶性的判定，并不難，根據(jù)奇偶性的定義，即可得出答案為C 高考資源網(wǎng) 題型六：局部含有奇偶函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)的利用1.若函數(shù)f(x)=ax，有f（5)=3則f(5）= 。2.已知函數(shù)，且,求的值。3.函數(shù)f（x)=x3+sinx+1（xR）,

5、若f（a）=2，則f（-a）的值為 .答案0f（x）、g（x)都是定義在R上的奇函數(shù),且F（x)=3f(x）+5g(x)+2，若F(a)=b，則F（-a）= .答案 b+4題型七：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或最值1.如果奇函數(shù)在上是增函數(shù),且最小值是5,那么在上是（ ）A增函數(shù)，最小值是5 B增函數(shù)，最大值是5C減函數(shù)，最小值是-5 D減函數(shù)，最大值是-5二函數(shù)值得大小的比較1。已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是（ ) A BC D2.若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（ ） A. B。 C. D.3.設(shè)是定義在上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),則與（）的大小關(guān)系是（

6、） A B C D與的取值無關(guān)若函數(shù)4。若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為_ . 5.若函數(shù)是偶函數(shù)，且，則與的大小關(guān)系為_。6.已知 是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng) 時， 的圖象如右圖所示，那么f （x) 的值域是 .三求函數(shù)的解析式1.若是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且,則=_= 。已知函數(shù)為偶函數(shù)，其定義域為，求的值域。解含函數(shù)數(shù)符號的不等式奇函數(shù)f（x）在定義域(1，1）上是減函數(shù)，且f （ a ）+ f （ a) 0,求實數(shù)a的取值范圍。題型八.綜合題 設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則（ c ）A0B1CD5分析:答案為B。解：由函數(shù)為奇函數(shù)， 先令f（1）= f（-1+2)=f（1）+f（2)=1/2， 所以，f（2）=1

7、，f（5)=f(3）+f（2）=f（1）+f(2）+f（2)=5/2,所以，答案為c.已知是定義在R上奇函數(shù)，且當(dāng)時,，求：； 當(dāng)時，的表達(dá)式;的表達(dá)式.設(shè)函數(shù)f(x）=是定義在（1，1）上的奇函數(shù)，且f(）=,（1） 確定函數(shù)f（x)的解析式；（2） 用定義證明f（x）在（1,1）上是增函數(shù)； (3）解不等式f （ t1)+ f （t) 0。 已知函數(shù)f(x）,當(dāng)x，yR時，恒有f(x+y)=f（x)+f（y)。（1)求證：f（x)是奇函數(shù);（2）如果xR+，f（x）0，并且f(1）=，試求f（x)在區(qū)間2，6上的最值。(1）證明函數(shù)定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱。f（x+y）f（x）+f

8、（y），令y=-x,f（0)=f（x）+f(x）.令x=y=0，f（0）f（0）+f（0），得f（0)=0。f(x）+f（x）=0,得f（-x）=f(x）,f(x)為奇函數(shù)。（2）解 方法一 設(shè)x,yR+，f（x+y)=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f(y）。xR+，f（x)0，f(x+y)f(x)0，f(x+y)f(x）。x+yx,f（x）在（0，+）上是減函數(shù).又f（x)為奇函數(shù),f(0）=0，f（x）在(-，+)上是減函數(shù).f(-2）為最大值，f（6)為最小值.f（1）=,f(2）=-f(2）=-2f(1）=1,f（6）=2f(3）=2f（1）+f（2）=3。所求f(x）在

9、區(qū)間2,6上的最大值為1，最小值為-3.方法二 設(shè)x1x2,且x1,x2R.則f（x2-x1）=fx2+(x1)=f(x2）+f(-x1）=f（x2)-f（x1)。x2x10，f（x2-x1）0.f(x2）-f(x1）0.即f(x）在R上單調(diào)遞減。f（2）為最大值，f（6）為最小值.f（1）=， f（-2）=-f（2)=2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1)+f（2）=3。所求f(x）在區(qū)間2，6上的最大值為1，最小值為3.已知函數(shù)y=f（x)的定義域為R，且對任意a,bR，都有f(a+b）=f（a)+f（b）,且當(dāng)x0時，f(x)0恒成立，f(3)=3. （1）證明：函數(shù)y=f(x

10、)是R上的減函數(shù);(2）證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；(3)試求函數(shù)y=f(x)在m，n（m,nZ）上的值域.（1）證明 設(shè)x1，x2R，且x1x2，f（x2)=fx1+(x2x1)=f(x1)+f(x2x1）.x2x10,f(x2x1)0.f（x2）=f(x1)+f(x2x1)f(x1)。故f（x)是R上的減函數(shù)。（2)證明 f(a+b）=f（a）+f（b)恒成立，可令a=b=x，則有f（x）+f（x）=f（0），又令a=b=0,則有f（0)=f（0）+f(0),f(0)=0。從而xR，f（x）+f（x）=0，f(-x）=-f(x）。故y=f（x)是奇函數(shù).(3）解 由于y=f（x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，y=f(x)在m，n上也是減函數(shù)，故f（x）在m，n上的最大值f（x)max=f（m）,最小值f(x)min=f（n）。由于f(n）=f（1+（n-1）=f（1)+f（n-1）=nf（1）,同理f（m)=mf（1)。又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1,f(m)=m, f（n）=-n。函數(shù)y=f（x）在m，n上的值域為-n,-m。