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1、中國科學:數(shù)學2023年第53卷第2期:301324SCIENTIA SINICA Mathematica論文英文引用格式:Wang J,Ma X R.(1 xy,y x)-expansion formula and its applications(in Chinese).Sci Sin Math,2023,53:301324,doi:10.1360/SSM-2021-0167c 2022中國科學 雜志社(1 xy,y x)-展開公式與應(yīng)用獻給朱烈教授80華誕王瑾1,馬欣榮21.浙江師范大學數(shù)學與計算機科學學院,金華 321004;2.蘇州大學數(shù)學科學學院,蘇州 215006E-mail:,

2、收稿日期:2021-08-27;接受日期:2021-12-28;網(wǎng)絡(luò)出版日期:2022-04-25;*通信作者國家自然科學基金(批準號:12001492 和 11971341)和浙江省自然科學基金(批準號:LQ20A010004)資助項目摘要本文首先利用(f,g)-反演公式建立了關(guān)于任意解析函數(shù)F(x)在給定基n1k=0 x bk1 xkxn 0下所謂的(1 xy,y x)-展開公式.隨后,通過考慮具體的F(x)以及參數(shù)xn和bn,不但證明了很多經(jīng)典結(jié)論,如Rogers-Fine恒等式、Andrews四參數(shù)互反定理、Ramanujan11求和公式,而且建立了大量的q-級數(shù)變換與求和公式,并且得

3、到Andrews的WP Bailey引理的一種推廣.關(guān)鍵詞(f,g)-反演公式(1 xy,y x)-展開公式求和與變換WP Bailey 對Rogers-Fine 恒等式互反定理q-級數(shù)Lagrange 反演公式MSC(2020)主題分類33D15,05A301引言眾所周知,古典Lagrange反演公式是法國數(shù)學家Lagrange25在18世紀中葉為解決開普勒行星運行軌跡問題而提出的,是函數(shù)論發(fā)展史上具有里程碑意義的數(shù)學結(jié)論(參見文獻14、6,附錄E和45,第7.32節(jié)).它的核心是給出函數(shù)表達式F(x)=n=0an(x(x)n(1.1)中系數(shù)an的值,即a0=F(0),且對于任意n 1,an

4、=1n!Dn1xn1(x)DxF(x)x=0王瑾等:(1 xy,y x)-展開公式與應(yīng)用只要F(x)和(x)在x=0處是解析的,(0)=0,Dx表示通常意義下的求導算子.很顯然,當(x)=1時,(1.1)退化為分析學理論中最常見的Taylor展開公式.根據(jù)復分析學家Henrici16的發(fā)現(xiàn):Lagrange反演公式等價于組合分析學意義下的矩陣反演.這個發(fā)現(xiàn)說明矩陣反演也是函數(shù)展開不可或缺的研究方法.根據(jù)文獻24,34,38給出的定義,組合分析學中的矩陣反演,通常是指一對無窮階下三角矩陣A=(An,k)n,kN和B=(Bn,k)n,kN,其中N表示非負整數(shù)集,滿足:當n ikAn,iBi,k=n

5、ikBn,iAi,k=n,k,(1.2)其中符號n,k表示通常的Kronecker-函數(shù).誠然,我們將逆矩陣B記作A1.正如Gessel14所述,Lagrange反演公式在分析學和組合學中都占據(jù)著重要地位.在過去半個多世紀里,尋求建立古典Lagrange反演公式的一般形式或q-模擬(analogue)吸引了眾多研究者的注意力2,8,15,23,24,39,40.圍繞這一主題的問題和最新研究進展,讀者可參閱Stanton40和Gessel14先后發(fā)表的綜述文獻.此處引用其中一些最具代表性的結(jié)論.(i)Carlitz在1973年發(fā)現(xiàn)了q-模擬(參見文獻9,公式(1.11).隨后Roman(參見文獻

6、36,第253頁,公式(8.4)通過q-啞算子法建立了如下公式:對于任意形式冪級數(shù)F(x),有F(x)=n=0 xn(q,x;q)nDnq,xF(x)(x;q)n1x=0,(1.3)其中Dq,x表示通常的q-導數(shù)算子.(ii)利用q-導數(shù)算子和Carlitz的q-模擬公式(1.3)及Rogers65求和公式(參見文獻13,公式(II.20),Liu于2002年在文獻27,定理2中建立了如下形式的q-展開公式:F(x)=n=0(1 aq2n)(aq/x;q)nxn(q,x;q)nDnq,xF(x)(x;q)n1x=aq.(1.4)(iii)Chu11以較系統(tǒng)的方式研究了各種函數(shù)的高階q-導數(shù)計算

7、,得到如下形式的q-展開公式:F(x)=n=0(1 abq2n+)(a/x;q)nxn(q;q)n(bx;q)n+1+Dnq,xF(x)(bx;q)n+x=a,(1.5)其中參數(shù) 0,1.(iv)Gessel和Stanton15根據(jù)Henrici的觀點Lagrange反演公式等同于矩陣反演建立了該反演公式的諸多q-模擬,其中之一為(參見文獻15,定理3.7)F(x)=nk0ak(Apkqk;p)nk(q;q)nkqnkxn(1.6)當且僅當an=nk=0(1)nkq(nk+12)+nk(1 Apkqk)(Aqnpn1;p1)nk1(q;q)nkF(qk).(1.7)上述4個展開公式已經(jīng)被證明在

8、q-級數(shù)理論的研究中起著非常重要的作用.稍加比較不難發(fā)現(xiàn),q-展開公式(1.3)(1.5)的共同特點是:(1)F(x)的展開式右端求和通項里均包含一個相同形式的因子(b/x;q)n(ax;q)nxn,(1.8)302中國科學:數(shù)學第 53 卷第 2 期其中a和b是與自變量x無關(guān)的參數(shù).這個共同形式的因子恰好是列參數(shù)平衡(well-poised,WP)q-級數(shù)最鮮明的特征.(2)q-導數(shù)的計算起著關(guān)鍵作用,尤其是具有封閉形式q-導數(shù)的函數(shù)所對應(yīng)的q-展開公式對于q-級數(shù)研究是非常有用的工具.的確,從上面提到的文獻11,13,27中可以清楚地看到這幾個q-展開公式在建立q-級數(shù)變換公式中的具體應(yīng)用

9、.這里需要特別指出的是,Gessel和Stanton15的方法與前3個展開公式的證明途徑具有明顯區(qū)別.事實上,他們秉承了Henrici16的觀點,把基本超幾何級數(shù)、函數(shù)展開和Lagrange反演公式結(jié)合起來,利用矩陣反演方法建立了如上的Gessel-Stanton展開式(1.6).這樣做的好處是,避免了高階q-導數(shù)的計算.能否用矩陣反演方法來重新研究前面3個q-展開公式是值得研究的問題.同時我們也注意到最近幾年里,一些著名學者先后發(fā)表的、與Askey-Wilson多項式相關(guān)的展開公式,如文獻20,定理2.2、30,定理1.5,命題1.8和4.1和21,定理2.6,都是將某些低階rs級數(shù)通過高階

10、r+ms+n級數(shù)(整數(shù)m,n 1)來表示.于是我們不禁要問:任意rs級數(shù)是否總可以被表示成更高階的r+ms+n級數(shù)的線性組合?這個問題的一些初步、肯定性結(jié)論可參見文獻20,定理2.8和2.9.實際上,這個問題是Gasper和Rahman在文獻13,第2.2小節(jié)中一個一般性展開公式的反問題:用終止型的r+2r+1級數(shù)的線性組合來表示終止型的r+4r+3級數(shù)(參見文獻13,(2.2.4).我們認為研究這個問題的意義在于,由Gasper和Rahman的有限展開式可以推導出q-級數(shù)理論的若干個非常重要的求和公式.本文圍繞以上兩個問題展開討論,目的是從組合反演的角度出發(fā)建立新的q-展開公式(換言之,La

11、grange反演公式的q-模擬).為此需要借助文獻32,42所給出的(f,g)-反演和(f,g)-展開公式.引理1.1(f,g)-反演公式,參見文獻32,定理1.3)設(shè)f(x,y)和g(x,y)為復數(shù)域C上關(guān)于x和y的兩個函數(shù),且g(x,y)是反對稱的,即g(x,y)=g(y,x).對C上任意給定的序列xnn0和bnn0,bi=bj(i=j),則無窮階下三角矩陣(n1i=kf(xi,bk)ni=k+1g(bi,bk)1n,kN=(f(xk,bk)f(xn,bn)ni=k+1f(xi,bn)n1i=kg(bi,bn)n,kN(1.9)當且僅當函數(shù)f(x,y)和g(x,y)滿足Jacobi恒等式g

12、(a,b)f(x,c)+g(b,c)f(x,a)+g(c,a)f(x,b)=0,(1.10)其中a,b,c,x C是任意的.(f,g)-反演公式還可以等價地表示成可用于建立序列變換的一種互反關(guān)系.引理1.2(參見文獻42,引理2.2)在引理1.1給定的條件下,若函數(shù)f(x,y)和g(x,y)滿足Jacobi恒等式(1.10),則序列Fnn0和Gnn0滿足的線性關(guān)系式Fn=nk=0Gkf(xk,bk)k1i=0g(bi,bn)ki=1f(xi,bn)(1.11)與線性關(guān)系式Gn=nk=0Fkn1i=1f(xi,bk)ni=0,i=kg(bi,bk)(1.12)等價.反之亦然.在引理1.2的基礎(chǔ)上

13、,不難得到如下引理:303王瑾等:(1 xy,y x)-展開公式與應(yīng)用引理1.3(f,g)-展開公式,參見文獻42,引理2.3)在引理1.1給定的條件下,如果成立展開式F(x)=n=0Gnf(xn,bn)n1i=0g(bi,x)ni=1f(xi,x),(1.13)則系數(shù)Gn=nk=0F(bk)n1i=1f(xi,bk)ni=0,i=kg(bi,bk).(1.14)注1.1(1.13)對于任意解析函數(shù)F(x)提供了一種級數(shù)展開方式,且當x,bn,xn U(b)(b的某個鄰域),bn b且1 xxn=0,等式右端的無窮級數(shù)收斂.除了上面的展開式(1.6)和(1.7)之外,類似的結(jié)果可參見文獻18,

14、19中q-Taylor定理的相關(guān)結(jié)論.同時我們還需要被q-級數(shù)理論研究者稱為“Ismail原理”(參見文獻37)的解析方法,因為Ismail是第一個將該方法用于Ramanujan11求和公式證明的學者17.Ismail原理本質(zhì)上依賴如下形式的解析函數(shù)唯一性定理1.引理1.4(唯一性定理/Ismail原理)設(shè)F(x)和G(x)是任意兩個解析函數(shù).如果存在無窮序列bnn0使得limnbn=b,且對于任意自然數(shù)n 0,均有F(bn)=G(bn),(1.15)則對于任意x U(b),必有F(x)=G(x).本文將研究的注意力集中在(1.3)(1.5)中的函數(shù)F(x)在(1.8)下的展開式.目前所知的W

15、P q-級數(shù)都屬于此范圍.在此觀點的驅(qū)動下,我們將建立如下形式的(1xy,y x)-展開公式,它是本文后續(xù)討論的理論依據(jù).需要說明的是,一般的(f,g)-展開公式的正確性無法得到保證,困難在于難以確定所涉及的無窮級數(shù)的收斂性.定理1.1(1xy,yx)-展開公式)設(shè)F(x)是某個區(qū)域 C上的解析函數(shù),bnn0,xnn0,滿足(i)bnn0兩兩不同且xnn0有界;(ii)limnbn=b=b0,inf|1/xn b|:n 0 0;(iii)進一步假設(shè)limsupnGn,1Gn,00和bnn0,我們建立與Andrews3首次提出的Bailey對和Bailey鏈理論密切相關(guān)的恒等式,即如下結(jié)論:定理

16、1.2在與定理1.1相同的條件下,必成立n=0n(c/x;q)n(ax;q)n+1xn=n=0n(c/x;q)n(bx;q)n+1xn,(1.18)其中n=bn(a/b;q)n(1 acq2n)(bc;q)n+1nk=0(bc,qn,acqn;q)k(q,bcqn+1,bq1n/a;q)k(qa)kk,(1.19a)n=an(b/a;q)n(1 bcq2n)(ac;q)n+1nk=0(ac,qn,bcqn;q)k(q,acqn+1,aq1n/b;q)k(qb)kk.(1.19b)由定理1.2可得如下的一個WP Bailey對.推論1.1設(shè)序列nn0和nn0滿足(1.19a)和(1.19b).則

17、n(bc,ab):=(bc;q)n(q;q)n(1b)nn,n(bc,ab):=(ac;q)n(1 bc)(q;q)n(1 acq2n)(1b)nn(1.20)是一個關(guān)于參數(shù)bc和a/b的WP Bailey對.更一般地,可以建立如下定理:定理1.3對于任意整數(shù)s r 0,假設(shè)序列nn0、Ann0和Bnn0使得所涉及的無窮級數(shù)收斂,則必成立nk01 aq2n1 a(a,1/x;q)nxn(q,aqx;q)n(qn,aqn,A1,A2,.,Ar;q)k(aq,bqk+1,B1,B2,.,Bs;q)k(1)kq(k+1)k/2kr+3s+2qn+k,aqn+k,bqk+1,A1qk,A2qk,.,A

18、rqkaqk+1,bq2k+1,B1qk,B2qk,.,Bsqk;q,q=(A1,A2,.,Ar,B1x,B2x,.,Bsx;q)(B1,B2,.,Bs,A1x,A2x,.,Arx;q)n=0(1/x;q)n(bqx;q)nxnn.(1.21)由定理1.3可以得到如下包含Rogers VWP(very-well-poised)65求和公式(參見文獻13,(II.20)和WP Bailey引理(參見文獻26,定理3.2)在內(nèi)的一個推論.推論1.2假設(shè)數(shù)列nn0使得所涉及的無窮級數(shù)收斂,則必成立n=01 aq2n1 a(a,1/x,a/b,aq/B2;q)n(q,aqx,bq,B2;q)n(A2x

19、)nn=(aq,bqx,A2,B2x;q)(bq,aqx,B2,A2x;q)n=0(1/x;q)n(bqx;q)nxnn,(1.22)其中aA2=bB2,且n:=nk=0(qn,aqn,A2;q)k(bqn+1,q1nb/a,aq/B2;q)k(qB2)kk.(1.23)305王瑾等:(1 xy,y x)-展開公式與應(yīng)用本文余下內(nèi)容組織如下.第2節(jié)給出定理1.11.3、推論1.1和1.2的證明,以及這些主要結(jié)論的特殊展開式.第3節(jié)討論定理1.21.3以及主要推論在q-級數(shù)理論中的應(yīng)用,其中包括一些具體的求和與變換公式.這些具體公式不僅與WP Bailey對和WP Bailey引理密切關(guān)聯(lián),同時

20、又蘊涵著經(jīng)典結(jié)果諸如Rogers-Fine恒等式、Andrews四參數(shù)互反定理和著名的Ramanujan11求和公式的新證明.本節(jié)最后給出本文涉及的數(shù)學符號的一些解釋.除非特別規(guī)定,本文將沿用文獻13中的q-級數(shù)符號和術(shù)語.例如,以q(0|q|0.由已知條件(ii)知r0 0,因此函數(shù)1/(1xxi)在圓盤Or0=x:|x b|K1時,有|bk b|,故有1 xkbk+1bk+1 b0=1 xkb0bk+1 b0 xk61+|xkb0|bk+1 b0|+|xk|0.綜合(2.4)和(2.5)可知,當k K K1時,有Gk+1,0Gk,06|xk|+|k 1|1 xkbk+1bk+1 b0 m+

21、m0M1=M,(2.6)其中m0=1+limsupk|k|.剩下就是對固定的M和a(0 a 1),求解不等式1 xk+1bk+11 xkbkbk x1 xk+1xaM(1m)(2.7)來確定常數(shù)s r0,且使得|x b|K時,(1.17)的第k+1項(1.17)的第k項=Gk+1,0Gk,01 xk+1bk+11 xkbkbk x1 xk+1x M aM=a 1.由Weierstrass M-判別法(參見文獻1,第37頁)可得Sn(x)在圓盤Os=x:|x b|0下的展開式F(x)=n=0n(c/x;q)n(aqx;q)nxn.同時,在(1 xy,y x)-展開公式中取如下參數(shù):xn=aqn,

22、bn=cqn(limnbn=0).(2.8)然后應(yīng)用定理1.1和基本關(guān)系式(參見文獻13,(I.10)和(I.11),可得0=F(c),且當n 1時,有n1 acq2n=(ac;q)ncn(q;q)nni=0(qn,acqn;q)i(ac;q)i(bcqi;q)i+1i(cq)i(i)Tn,i,(2.9)其中Tn,i:=nik=0(qn+i,acqn+i,bcqi;q)k(q,acqi,bcq2i+1;q)kqk.此時Tn,i可用q-Pfaff-Saalsch utz求和公式(參見文獻13,(II.12)給出封閉和.因此有Tn,i=(qn,a/b;q)ni(acqi,1/(bcqn+i);q)

23、ni.將其代入(2.9)中可得n1 acq2n=1cn(q;q)nni=0(qn,acqn;q)i(bcqi;q)i+1(qn,a/b;q)ni(1/(bcqn+i);q)nii(cq)i(i)=bn(a/b;q)n(bc;q)n+1ni=0(bc,qn,acqn;q)i(q,bcqn+1,bq1n/a;q)i(qa)ii.故(1.19a)得證.最后,交換(1.19a)中的a和b,得(1.19b).定理得證.下面將給出推論1.1的證明.為此有必要引入Andrews4提出的WP Bailey對的概念.定義2.1(參見文獻4,定義6.1)若序列n(t,b)n0和n(t,b)n0滿足n(t,b)=n

24、k=0(b;q)nk(bt;q)n+k(q;q)nk(tq;q)n+kk(t,b),(2.10)則將其稱作關(guān)于參數(shù)t和b的一個WP Bailey對.按照如上定義,定理1.2不僅給出了一種特殊的WP Bailey引理(參見文獻26,定理3.2),而且提供了構(gòu)造WP Bailey對的程序化方法推論1.1.證明如下.308中國科學:數(shù)學第 53 卷第 2 期推論1.1的證明將(1.19a)重新表示為(bc;q)n+1nbn(a/b;q)n(1 acq2n)=nk=0(qn,acqn;q)k(bq1n/a,bcqn+1;q)k(bc;q)k(q;q)k(qa)kk,或等價地,(ac;q)n(bc;q)

25、n+1nbn(bcq;q)n(a/b;q)n(1 acq2n)=nk=0(qn;q)k(ac;q)n+k(bq1n/a;q)k(bcq;q)n+k(bc;q)k(q;q)k(qa)kk.因為(qn;q)k(bq1n/a;q)k=(a/b;q)nk(q;q)nk(q;q)n(a/b;q)n(abq)k,故上式可以化簡為(ac;q)n(1 bc)(q;q)n(1 acq2n)(1b)nn=nk=0(a/b;q)nk(ac;q)n+k(q;q)nk(bcq;q)n+k(bc;q)k(q;q)k(1b)kk.比照WP Bailey對的定義,則易知(1.20)恰好是一對關(guān)于參數(shù)a/b和ac的WP Bai

26、ley對.與WP Bailey對(1.20)相對應(yīng)的WP Bailey引理(參見文獻26,定理3.2)可以表述為如下推論.推論2.1設(shè)序列nn0和nn0滿足(1.19a)和(1.19b).則必成立n=0(ac,x,y;q)n(q,acq/x,acq/y;q)n(cqxy)nn=(ac,bcq/x,bcq/y,acq/(xy);q)(bc,bcq/(xy),acq/x,acq/y;q)n=0(bc,x,y;q)n(q,bcq/x,bcq/y;q)n(cqxy)nn.(2.11)為本文后續(xù)討論方便,下面給出定理1.2所包含的幾種特殊情形.推論2.2對于任意整數(shù)s r 0以及變量x、t、airi=1

27、、bisi=1和a,b,c,若滿足條件|xt|1和|bx|r 0,假設(shè)序列Ann0和Bnn0使得所涉及的無窮級數(shù)收斂,f(x)是任意一個在x=0點處解析的函數(shù).則必成立nk01 aq2n1 a(a,1/x;q)n(q,aqx;q)n(qn,aqn,A1,A2,.,Ar;q)k(q,aq,B1,B2,.,Bs;q)kf(qk)qkxn=(A1,A2,.,Ar,B1x,B2x,.,Bsx;q)(B1,B2,.,Bs,A1x,A2x,.,Arx;q)f(x).(2.19)311王瑾等:(1 xy,y x)-展開公式與應(yīng)用證明只需要考慮函數(shù)F(x)=K(x)f(x),(2.20)其中K(x)如同(2.

28、18)所給定.假設(shè)F(x)=n=0n(1/x;q)n(aqx;q)nxn,(2.21)即在定理1.1中取bn=qn和xn=aqn.那么由定理1.1可得系數(shù)n=1 aq2n1 a(a;q)n(q;q)nnk=0qk(qn,aqn;q)k(q,aq;q)kK(qk)f(qk)=1 aq2n1 a(a;q)n(q;q)nnk=0qk(qn,aqn;q)k(q,aq;q)k(A1,A2,.,Ar;q)k(B1,B2,.,Bs;q)kf(qk).將n代入(2.21)即得定理成立.下面給出定理1.3的幾個有用的特例.首先,若在(1.21)中取n=n,0,可得如下求和公式.推論2.6若任意整數(shù)s r 0、序

29、列Ann0和Bnn0使得所涉及的無窮級數(shù)收斂,則必成立n=0r+2s+1qn,aqn,A1,A2,.,Araq,B1,B2,.,Bs;q,q1 aq2n1 a(a,1/x;q)n(q,aqx;q)nxn=(A1,A2,.,Ar,B1x,B2x,.,Bsx;q)(B1,B2,.,Bs,A1x,A2x,.,Arx;q).(2.22)值得指出的是,由等式(2.22)的特殊情形(當r=s=3時)可以得到Liu關(guān)于Rogers VWP65求和公式的推廣形式(參見文獻30,定理1.5),詳見文獻29,30.例2.1(參見文獻30,定理1.5)當|abcd/q2|0是與參數(shù)a無關(guān)的使得所涉及的無窮級數(shù)收斂的

30、任意序列.則必成立n=01 aq2n1 a(a,q/A,q/B;q)n(q,aA,aB;q)n(aABq)nqn(n1)/2nk=0(qn,aqn;q)k(q/A;q)k(q2A)kk=(aq,aAB/q;q)(aA,aB;q)n=0(qB;q)n(aB)nn.(2.25)證明在(1.22)中,令(A2,k)(bA,(aq)kk).此時有B2=aA.然后令b 0,再作代換x B/q可得(2.25).313王瑾等:(1 xy,y x)-展開公式與應(yīng)用3在 q-級數(shù)中的應(yīng)用本節(jié)將討論上兩節(jié)所得的主要定理和推論在q-級數(shù)求和與變換中的一些基本應(yīng)用.3.1Rogers65公式的新證明不妨假設(shè)(2.12

31、)中的各個參數(shù)與t無關(guān).則等式(2.12)的兩端是關(guān)于t的冪級數(shù).這一點與Ismail原理相結(jié)合,為推導Rogers的VWP65求和公式(參見文獻13,(II.20)提供了一種新的途徑.推論3.1設(shè)任意參數(shù)a、b、c、d和x滿足|bx|0時.注意F(d)和G(d)是變量d的解析函數(shù).根據(jù)Ismail原理可得F(d)=G(d)(d U(0).利用解析延拓可得,在參數(shù)|bx|1范圍內(nèi),上述等式仍然成立.證畢.3.2Askey-Wilson多項式的生成函數(shù)由推論2.3可得到Askey-Wilson多項式pn(y;a,b,c,d|q)(參見文獻13,(7.5.2)或31)的一個新的生成函數(shù).推論3.2

32、設(shè)y=cos.當|x|1時,必成立(1 x)43q,aei,aei,abcd/(xq)ab,ac,ad;q,x=n=0(abcd/(xq);q)n(xq,ab,ac,ad;q)nqn(n1)/2(1 abcdq2n1)(ax)npn(y;a,b,c,d|q).(3.3)證明在(2.15)中令r=s=4,t=1,再作如下參數(shù)代換:(a1,a2,a3)(q,aei,aei),(b1,b2,b3,c)(ab,ac,ad,abcdq).因此所得等式右端的54級數(shù)為54qn,q,aei,aei,abcdqn1ab,ac,ad,q;q,q314中國科學:數(shù)學第 53 卷第 2 期=43qn,aei,aei

33、,abcdqn1ab,ac,ad;q,q=pn(y;a,b,c,d|q)(ab,ac,ad;q)nan,其中pn(y;a,b,c,d|q)表示Askey-Wilson多項式.證畢.另外,由定理1.3或推論2.6也可得到Liu30關(guān)于Askey-Wilson多項式的一個生成函數(shù).例3.1(參見文獻30,命題1.8)設(shè)y=cos.當|ax|1時,必成立n=0(abcd/q,1/x;q)n(q,ab,ac,ad,abcdx;q)n1 abcdq2n11 abcd/q(ax)npn(y;a,b,c,d|q)=(abcd,aei,aei,abx,acx,adx;q)(ab,ac,ad,abcdx,axei,axei;q).(3.4)證明在(2.22)中令r=s=3,并作參數(shù)代換a abcd/q,以及(A1,A2,A3,B1,B2,B3)(abcd,aei,aei,ab,ac,ad).此時(2.22)