《凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(總28頁).doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(總28頁).doc（28頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、 編號(hào) 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 學(xué)生姓名： 胡 金 學(xué) 號(hào)： 20080102014 系 部： 數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 08 級(jí) 指導(dǎo)教師： 宋愛麗 完成日期： 2012 年 4 月 30 日 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 摘要 凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要的概念，本文首先給出了凸函數(shù)的定義， 然后給出了凸函數(shù)的幾種性質(zhì)及其等價(jià)性質(zhì)，其次敘述凸函數(shù)常用的幾種判別 方法，最后給出凸函數(shù)在微分學(xué)，積分學(xué)，不等式證明及在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；定義；性質(zhì)；判別； The nature of the convex fu

2、nction and its application Abstract Convex function is one of the important mathematical analysis of the concept, this paper presents the definition of the convex function, and then gives some properties of convex function and its equivalent properties, second narrative convex function of several no

3、rmal identifying method, and finally gives convex function in differential calculus, the integral calculus, inequality certificate and the application in mathematics. Key words：convex function；definition； properties；discriminant. 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS I 目錄 摘要 .I ABSTRACT.I 引言 .1 1.凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 .

4、1 1.1 凸函數(shù)的定義 .1 1.2 連續(xù)條件下凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 .4 1.3 一階導(dǎo)數(shù)存在下凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 .4 1.4 二階導(dǎo)數(shù)存在下凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 .6 1.5 補(bǔ)充定理 .6 2.凸函數(shù)的性質(zhì) .6 性質(zhì) 2.1.6 性質(zhì) 2.2.8 性質(zhì) 2.3.9 性質(zhì) 2.4.10 性質(zhì) 2.5.10 3. 凸函數(shù)的應(yīng)用 .12 3.1 在微分學(xué)中的應(yīng)用 .12 3.2 凸函數(shù)的積分性質(zhì) .14 3.3 利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式 .17 3.4 用凸函數(shù)的性質(zhì)分析高考題 .21 參考文獻(xiàn) .24 結(jié)束語 .25 致謝 .25 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 1

5、 引言 凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的的概念最早見于 jensen1905著述中。它 在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對(duì) 策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理 論上的突破，加強(qiáng)它們?cè)趯?shí)踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。對(duì)于凸函數(shù)的研 究，在數(shù)學(xué)分析的多個(gè)分支都有用處，特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的證 明推導(dǎo)方面，凸函數(shù)起著十分重要的作用凸函數(shù)有其良好而獨(dú)特的性質(zhì)，由于 凸函數(shù)理論的廣泛性及其在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，因此還應(yīng)該對(duì)凸函 數(shù)的理論作進(jìn)一步的探討，本文在已有的研究基礎(chǔ)之上，總結(jié)了凸函數(shù)常用的 定義及其等價(jià)關(guān)系，而后給出

6、其一些很好的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)將有助于我們 解決許多不等式問題，在本文的第三部分將會(huì)詳述。 1.凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 1.1 凸函數(shù)的定義 定義 1 設(shè) 在區(qū)間 I 上有定義, 在區(qū)間 I 稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng):()fx()fx ,有 上式中“ ”改成2,0 xI1212()fxfx “”則是嚴(yán)格凸函數(shù)的定義. （1905 年丹麥數(shù)學(xué)家 jensen 首次給出如下定義）定義 2 ：設(shè) 在區(qū)()fx 間 I 上有定義, 在區(qū)間 I 稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng): 有()fx 12,I1212().xfxff 定義 3 設(shè) 在區(qū)間 I 上有定義, 在區(qū)間 I 稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)：()f ()fx 學(xué) 士 學(xué)

7、 位 論 文 BACHELOR S THESIS 2 ,有 1,2.nxI1212.().().n nxxffxff 引理 1 定義 2 與定義 3 等價(jià)。 證明 定義 3 定義 2 只需取 即可，定義 2 定義 3 用數(shù)學(xué)歸納法 （1） 由定義 2， 時(shí)定義 3 顯然成立，而 時(shí)， ，有：n4n124,xI33121234 xxffxxff 1234()()4fxffxf 即對(duì)于 也成立，對(duì)于任意自然數(shù) ，將定義 2 中式子應(yīng)用到 n 次，有：4nn ，即定義 3 對(duì)于 成立12122.().()n nxxffxff k （2） 設(shè)當(dāng) 時(shí)，定義 3 中式子成立k 即 ，令 ，121121.(

8、).()n nxxffxfxf 12.nxxA 則 ，則 ，由于定義 3 中式子對(duì)于12.nA12.n 成立，故kn 12().()() 1nxxfxffxfAff 不等式兩端同乘 ，再減去 ，再除以 ，得到：1()n ，則定義 3 中式子對(duì)于一切自1212. .()()nxxffxff 然數(shù)成立。 引理 2 若 連續(xù),則定義 1，2，3 等價(jià)()fx 證明 （1）定義 1 定義 2，在定義 1 中令 ，可得：2 2 12()()()()x fxfffxfxf 12,xI 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 3 （2）定義 2 定義 1 ， 為任意實(shí)數(shù).2,xI(0,1

9、) 若 為有理數(shù)，設(shè) （ 為自然數(shù)）mn,n1211221212().()()mxnxxxfxtfxffn 121212.).()()()fffffn 若 為無理數(shù)，則存在有理數(shù)列 ，使 ，由 的連續(xù)(0,)0,nlinx 性 121212()lim()lim()nnnnnfxfxfx1212lim()()nnffff 即定義 1 中式子對(duì)任意 成立。0, 由引理 1 可知定義 2 與定義 3 等價(jià)，故定義 1、2、3 等價(jià)。 事實(shí)上函數(shù) 如果為凸函數(shù)我們可以斷定此函數(shù)一定連續(xù)，下面我們給出()fx 一定理對(duì)此進(jìn)行闡釋。 定理 1 若函數(shù) 在 I 上有定義且是凸的，則函數(shù) 是 I 上的連續(xù)函(

10、)f ()fx 數(shù)。 證明：在區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，總存在一個(gè)閉區(qū)間 ，且 。I0 x,abI0,ab 從而 在 有界，即 ，滿足 。取點(diǎn) 的鄰()fx,ab,MNab()NfxMx 域 ，且該鄰域含于 內(nèi)，不妨設(shè) ，且令 ，0(,)00t 則 。當(dāng) 時(shí)，有 ，且1t00 x00()(1xttx 。由凸函數(shù)的性質(zhì)得：0()tx 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 4 000()(1)(1)fxtftfxMtfx 即有： （1） 及 0 0()()()1tfxfxft 即有： （2） 由（1） （2）式可知： 00001()()()fxtfxMfxx 當(dāng) 時(shí)，有 。故 在

11、處右連續(xù)。當(dāng) 時(shí)，0 x 同樣可證 在 處左連續(xù)。 ()f 證畢 1.2 連續(xù)條件下凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 定理 2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有定義， 在 連續(xù)：()fx(,)ab()fx,ab ，12,xab2112 1212 ()xxfxff ftd 則稱 為區(qū)間 上的凸函數(shù)。()f(,) 1.3 一階導(dǎo)數(shù)存在下凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 定理 3 在區(qū)間 I 上有定義,當(dāng)且僅當(dāng)曲線 的切線恒保持在曲()fx ()yfx 線以下,則成 為凸函數(shù).若除切點(diǎn)之外,切線嚴(yán)格保持在曲線下方,則稱曲線 為嚴(yán)格凸的。()fx 定理 4（判定定理） 設(shè) 在區(qū)間 I 上有導(dǎo)數(shù)，則 在 I 上為凸函數(shù)()fx()fx 學(xué) 士 學(xué)

12、 位 論 文 BACHELOR S THESIS 5 的充要條件是 遞增. ()fxI 證明 （充分性） ,不妨設(shè) 及 記12,xI12x（ 0,1） ，則 ,或12()xx1()()()()f ff (1)2)0ff 由于 (1)式等價(jià)于()(1)xfx (2) 2()(0ffx 應(yīng)用 定理， 使得Largne1,:,x ， 1212()()()()()()fxffxfx 但 ,1 21x .212()()xx 故（2）式左端= ()ff 221()()()xx1()ff 按已知條件 遞增，得知 ,從而上式 0,(2)式獲證fxI() （必要性）由定理 1 的推論 4, 在 內(nèi)為遞增的，因

13、存在，故fx0I()fx 亦在 內(nèi)為遞增的，若 I 有右端點(diǎn) b,按照已知條件 f 在 b 點(diǎn)有左()fxf0I 導(dǎo)數(shù)， 易知: ()() ()fxbfxfff 同理，若 I 有左端點(diǎn) a,則 即 在 I 上為遞增的。,a 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 6 1.4 二階導(dǎo)數(shù)存在下凸函數(shù)的等價(jià)刻劃 定理 5（判定定理） 若 在區(qū)間 I 上有二階導(dǎo)數(shù)，則 在 I 上為凸()fx()fx 函數(shù)的充要條件是： 。()0f 證明：（必要性）在 內(nèi) 的充要條件是 在 內(nèi)為遞增，由定I()fx ()fxI 理 4 即證得。 （充分性）若在 內(nèi) ，知 是 內(nèi)的不減函數(shù)，再由定I(

14、)0f()fI 理 4 即得證。 1.5 補(bǔ)充定理 引理 3 區(qū)間 上的函數(shù) 是一個(gè)凸函數(shù)的充分必要條件為：對(duì)于區(qū)間 上If I 的任意三點(diǎn) ，當(dāng) 時(shí)，有：321,x321x 0)()()( 3121 xfxff 證明：此式子即為性質(zhì) 2.1 中式子的變式。 2.凸函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 2.1 設(shè) 在區(qū)間 I 上有定義,則以下條件等價(jià)（其中各不等式要()fx 求對(duì)任意, 保持成立）：123,xI123 （i） 在 I 上為凸函數(shù) （1） ()f （ii） （2）21()xf31()fxf 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 7 (iii) （3）3132()()fxffxf

15、 (iv) （4）21()ffx32()ffx 推論 1 若 在區(qū)間 I 上為凸函數(shù)，則 I 上任意三點(diǎn) ，有()f 123x 。21()fx31()xf32()fxf 推論 2 若 在區(qū)間 I 上的凸函數(shù)，則 過 的弦的斜率 ()f 0,xI0()kx 是 x 的增函數(shù)（若 為嚴(yán)格凸的,則 嚴(yán)格增） 。0()fxf()k 推論 3 若 是區(qū)間 I 上的凸函數(shù)，則 I 上任意四點(diǎn) stu0,(,)hab 若 取 .由凸性，12x12,x32x （其中 分別表示 在3122()()ffff Mmh,()fx 上的上下界）,從而 (2),h2121()fxfh 若 可取 由 的凸性，有 ， 21,

16、x32,xhf 3122()()fxffxf 從而 由此可得(2)式成立.2132()()ffffxMm 若 ，則（2）式明顯成立.這就證明了（2）式對(duì)一切 皆成立.1x 12,x 因此（2）式當(dāng) 與 互換位置也成立，故有 ，令1x2 2 1()Mmfxfxh 則（1）式也獲證.,MmLh 例 3 設(shè) 為區(qū)間 內(nèi)的凸函數(shù),并且有界,試證極限 與()fx()ab li()xaf 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR S THESIS 14 存在.lim()xbf 證明 設(shè) 時(shí) 為 內(nèi)任意三點(diǎn)，根據(jù) 的x（ a,b） 10 xf(x)M,(,)ab()fx 凸性,當(dāng) x 遞增時(shí) 也遞增.又因?yàn)?()f ,根據(jù)單調(diào)有界原理,有極限 00101()()fxfx00(limxbfA 從而 亦存在00000()lim()li()()(xbxbff fxbxf 3.2 凸函數(shù)的積分性質(zhì) 將凸性與函數(shù)的連續(xù)性（甚至單側(cè)連續(xù)性） 、單調(diào)性等聯(lián)系起來,應(yīng)用到積 分學(xué)中可以得到許多好的結(jié)論,我們舉例如下: 例 4 設(shè) 是區(qū)間a,b上的凸函數(shù)，則)(xf 。)2(bafdxfba)(12)(bfa 證明