全國版2020年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題沖刺8二次函數(shù)綜合題型20200325227.docx
熱點(diǎn)專題8 二次函數(shù)綜合題型課程標(biāo)準(zhǔn)對二次函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)要求比較高,它最能體現(xiàn)初中代數(shù)的綜合性和能力性,因此,二次函數(shù)在近幾年中考試卷中已形成必不可少的題型,2019年中考中對二次函數(shù)的考查角度有所調(diào)整,將二次函數(shù)的性質(zhì)和特征作為試題主體來考查,促使我們在復(fù)習(xí)中把二次函數(shù)作為最核心的內(nèi)容之一來學(xué)習(xí),預(yù)計(jì)仍會(huì)以二次函數(shù)的性質(zhì)和特征作為試題主體來考查,在此過程中會(huì)以周長、面積、相似、等腰三角形,特殊四邊形以及新定義問題為載體進(jìn)行命題.考向1 二次函數(shù)之周長與最值問題1(2019常德中考改編)如圖11,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4),與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn),且B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè),過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn),當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí),求該矩形周長的最大值解(1)設(shè)拋物線的解析式為y=,把B(1,0)代入解析式得:4a4=0,解得a=1,y=;(2)四邊形MNHG為矩形,MNx軸,設(shè)MG=NH=n,把y=n代入y=,即n=,=0,由根與系數(shù)關(guān)系得=2,=n3,=4,=44(n3)=164n,MN= =2,設(shè)矩形MNHG周長為C,則C=2(MNMG)=2(2n)=42n,令=t,則n=4,C=24t8=2,20,t=1時(shí),周長有最大值,最大值為10考向2二次函數(shù)之面積問題2(2019衡陽)如圖,二次函數(shù)y=x2bxc的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)N,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接CP,過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式;(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB(點(diǎn)P不與O、B重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí),線段OE的長有最大值?并求出這個(gè)最大值;(3)在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M,連接MN、MB,請問:MBN的面積是否存在最大值?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解:(1)把A(1,0),B(3,0)代入y=x2bxc,得解得該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x22 x3;(2)CPEB,OPEBCP=90,OPEOEP=90,OEP=BPC,tanOEP=tanBPC=設(shè)OE=y,OP=x,=整理,得y=x2x=(x)2當(dāng)OP=時(shí),OE有最大值,最大值為,此時(shí)點(diǎn)P在(,0)處.(3)過點(diǎn)M作MFx軸交BN于點(diǎn)F,N(0,3),B(3,0),直線的解析式為y=3 m.設(shè)M(m, m22 m3),則MF=m23m,MBN的面積=OBMF=( m23m) =( m) 2 .點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)時(shí),MBN的面積存在最大值.考向3 二次函數(shù)之等腰三角形問題3(2019蘭州)二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)M作MNx軸交直線BC于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)D,連接AC,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)連接BD,當(dāng)t=時(shí),求DNB的面積;(3)在直線MN上存在一點(diǎn)P,當(dāng)PBC是以BPC為直角的等腰直角三角形時(shí),求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);(4)當(dāng)t=時(shí),在直線MN上存在一點(diǎn)Q,使得AQC+OAC=90,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).解:(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2,a=,b=,;(2)設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,將點(diǎn)B(4,0),C(0,2)代入解析式,得: ,解得: ,BC的直線解析式為,當(dāng)t=時(shí),AM=3,AB=5,MB=2,M(2,0),N(2,1),D(2,3),SDNB =SDMB -SMNB =MBDM-MBMN=22=2;(3)BM=5-2t,M(2t-1,0),設(shè)P(2t-1,m),PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2,PB=PC,(2t-1)2+(m-2)2=(2t-5)2+m2,m=4t-5,P(2t-1,4t-5),PCPB,t=1或t=2,M(1,0)或M(3,0),D(1,3)或D(3,2);(4)當(dāng)t=時(shí),M(,0),點(diǎn)Q在拋物線對稱性x=上,如圖,過點(diǎn)A作AC的垂線,以M為圓心AB為直徑構(gòu)造圓,圓與x=的交點(diǎn)分別為Q1與Q2,AB=5,AM=,AQ1C+OAC=90,OAC+MAG=90,AQ1C=MAG,又AQ1C=CGA=MAG,Q1(,),Q1與Q2關(guān)于x軸對稱,Q2(,),Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,),(,).考向4 二次函數(shù)之相似三角形問題4(2019婁底)如圖(14),拋物線與x軸交于點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且過點(diǎn)D(2,3)點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí),求POD面積的最大值(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)OBE與ABC相似時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo) 解:(1)拋物線與x軸交于點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B(3,0),設(shè)拋物線的解析式為又拋物線過點(diǎn) D(2,3),(2)如圖,設(shè)PD與y軸相交于點(diǎn)F,OD與拋物線相交于點(diǎn)G, 設(shè)P坐標(biāo)為(),則直線PD的解析式為,它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,2m3),則OF=2m+3 由于點(diǎn)P在直線OD下方,所以 當(dāng)時(shí),POD面積的最大值;(3)由得拋物線與y軸的交點(diǎn)C(0,3),結(jié)合A(1,0)得直線AC的解析式為,當(dāng)OEAC時(shí),OBE與ABC相似;此時(shí)直線OE的解析式為又的解為,;Q的坐標(biāo)為和如圖,作ENy軸于N,由A(1,0),B(3,0),C(0,3)得AB=3(1)=4,BO=3,BC=當(dāng)即時(shí) ,OBE與ABC相似;此時(shí)BE= 又OBCONE,NB=NE=2,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),直線OE的方程為又的解為,; Q的坐標(biāo)為和綜上所述,Q的坐標(biāo)為,考向5 二次函數(shù)之特殊四邊形問題5.(2019廣安)如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)在的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,已知,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與、重合)(1)求拋物線和直線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方的拋物線上時(shí),過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn),作軸交直線于點(diǎn),求的最大值;(3)設(shè)為直線上的點(diǎn),探究是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、,、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由解:(1)將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得:,解得:,故直線的表達(dá)式為:,將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式,同理可得拋物線的表達(dá)式為:;(2)直線的表達(dá)式為:,則直線與軸的夾角為,即:則,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn),故有最大值,當(dāng)時(shí),其最大值為18;(3),當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí),設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn),由題意得:,即:,解得:或0或4(舍去,則點(diǎn)坐標(biāo)為,或,或;當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí),則的中點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn),、,、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則的中點(diǎn)即為中點(diǎn),即:,解得:或(舍去,故點(diǎn);故點(diǎn)的坐標(biāo)為:,或,或或考向6 二次函數(shù)之角度存在性問題6. (2019泰安) 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、B(0,2),且過點(diǎn)C(2,2).(1)求二次函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),且SPBA=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點(diǎn)M,使ABO=ABM?若存在,求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離;若不存在,請說明理由.解:(1)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0,2),c=2,又拋物線過點(diǎn)(3,0)(2,2),解得,拋物線的表達(dá)式為;(2)連接PO,設(shè)點(diǎn)P();則SPAB=SPOA+SAOBSPOB=,由題意得:m23m=4,m=4,或m=1(舍去),=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,).(3)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+n,直線AB過點(diǎn)A(3,0),B(0,2),3k+n=0,n=2,解之,得:k=,n=2,直線AB的表達(dá)式為:y=x2,設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,).過點(diǎn)M作MEy軸,垂足為E,作MDx軸交于AB于點(diǎn)D,則D的坐標(biāo)為(t,t2),MD=,BE=|.又MDy軸,ABO=MDB,又ABO=ABM,MDB=ABM,MD=MB,MB=.在RtBEM中,+t2=,解之,得:t=,點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.考向7 二次函數(shù)之新定義問題7(2019江西?。┨乩兄?1)如圖1,對于拋物線,下列結(jié)論正確的序號是 ;拋物線,都經(jīng)過點(diǎn)C(0,1);拋物線,的對稱軸由拋物線的對稱軸依次向左平移個(gè)單位得到;拋物線,與直線y=1的交點(diǎn)中,相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.形成概念:(2)把滿足(n為正整數(shù))的拋物線稱為“系列平移拋物線”.知識(shí)應(yīng)用在(2)中,如圖2.“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為,用含n的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo),并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式;“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))”:,其橫坐標(biāo)分別為-k-1,-k-2,-k-3,-k-n(k為正整數(shù)),判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等,若相等,直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離;若不相等,說明理由;在中,直線y=1分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn),連接,判斷,是否平行?并說明理由.解:(1)對于拋物線,來說,拋物線,都經(jīng)過點(diǎn)C(0,1),正確;拋物線,的對稱軸分別為:,拋物線,的對稱軸由拋物線的對稱軸依次向左平移個(gè)單位得到,正確;拋物線,與直線y=1的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為:-1、-2、-3,拋物線,與直線y=1的交點(diǎn)中,相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.正確.答案:;(2)由可知,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,),該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式為;當(dāng)橫坐標(biāo)分別為-k-1,-k-2,-k-3,-k-n(k為正整數(shù)),對應(yīng)的縱坐標(biāo)為:,相鄰兩點(diǎn)的距離相等,且距離為:.將y=1代入可得,x=-n(0舍去),點(diǎn)(-1,1),(-2,1),(-3,1),(-n,1).當(dāng)橫坐標(biāo)分別為-k-1,-k-2,-k-3,-k-n(k為正整數(shù)),對應(yīng)的縱坐標(biāo)為:,點(diǎn)(-k-1,),(-k-2,),(-k-3,),(-k-n,).設(shè),的解析式分別為:y=px+q,y=mx+n,則,解得p=k+n,m=k+n-1,pm,不平行.
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類型:共享資源
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- 全國 2020 年中 數(shù)學(xué) 熱點(diǎn) 專題 沖刺 二次 函數(shù) 綜合 題型 20200325227
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熱點(diǎn)專題8 二次函數(shù)綜合題型 《課程標(biāo)準(zhǔn)》對二次函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)要求比較高,它最能體現(xiàn)初中代數(shù)的綜合性和能力性,因此,二次函數(shù)在近幾年中考試卷中已形成必不可少的題型,2019年中考中對二次函數(shù)的考查角度有所調(diào)整,將二次函數(shù)的性質(zhì)和特征作為試題主體來考查,促使我們在復(fù)習(xí)中把二次函數(shù)作為最核心的內(nèi)容之一來學(xué)習(xí),預(yù)計(jì)仍會(huì)以二次函數(shù)的性質(zhì)和特征作為試題主體來考查,在此過程中會(huì)以周長、面積、相似、等腰三角形,特殊四邊形以及新定義問題為載體進(jìn)行命題. 考向1 二次函數(shù)之周長與最值問題 1.(2019·常德中考改編)如圖11,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4),與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn),且B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0).(1)求二次函數(shù)的解析式; (2)在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N,且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè),過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn),當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí),求該矩形周長的最大值. 解(1)設(shè)拋物線的解析式為y=,把B(-1,0)代入解析式得:4a+4=0,解得a=-1,∴y=-=-;(2)∵四邊形MNHG為矩形,∴MN∥x軸,設(shè)MG=NH=n,把y=n代入y=-,即n=-,∴=0,由根與系數(shù)關(guān)系得=2,=n-3,∵=-4,∴=4-4(n-3)=16-4n,∴MN= =2,設(shè)矩形MNHG周長為C,則C=2(MN+MG)=2(2+n)=4+2n,令=t,則n=4-,∴C=-2+4t+8=-2,∵-2<0,∴t=1時(shí),周長有最大值,最大值為10. 考向2二次函數(shù)之面積問題 2.(2019·衡陽)如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)N,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接CP,過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式; (2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB(點(diǎn)P不與O、B重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí),線段OE的長有最大值?并求出這個(gè)最大值; (3)在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M,連接MN、MB,請問:△MBN的面積是否存在最大值?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c, 得解得 ∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2 x-3; (2)∵CP⊥EB,∴∠OPE+∠BCP=90°, ∵∠OPE+∠OEP=90°,∴∠OEP=∠BPC,∴tan∠OEP=tan∠BPC.∴=. 設(shè)OE=y,OP=x,∴=.整理,得y=-x2+x=-(x-)2+. ∴當(dāng)OP=時(shí),OE有最大值,最大值為,此時(shí)點(diǎn)P在(,0)處. (3)過點(diǎn)M作MF⊥x軸交BN于點(diǎn)F, ∵N(0,-3),B(3,0),∴直線的解析式為y=-3 m. 設(shè)M(m, m2-2 m-3),則MF=m2-3m, ∴△MBN的面積=OB·MF=( m2-3m) =( m-) 2 -. 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,-)時(shí),△MBN的面積存在最大值. 考向3 二次函數(shù)之等腰三角形問題 3.(2019·蘭州)二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)D,連接AC,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒. (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)連接BD,當(dāng)t=時(shí),求△DNB的面積; (3)在直線MN上存在一點(diǎn)P,當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí),求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo); (4)當(dāng)t=時(shí),在直線MN上存在一點(diǎn)Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求點(diǎn)Q的坐標(biāo). 解:(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2,∴a=,b=,∴; (2)設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b,將點(diǎn)B(4,0),C(0,2)代入解析式, 得: ,解得: ,∴BC的直線解析式為,當(dāng)t=時(shí),AM=3,∵AB=5,∴MB=2,∴M(2,0),N(2,1),D(2,3), ∴S△DNB =S△DMB -S△MNB =×MB×DM-×MB×MN=×2×2=2; (3)∵BM=5-2t,∴M(2t-1,0), 設(shè)P(2t-1,m),∵PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2, ∵PB=PC, ∴(2t-1)2+(m-2)2=(2t-5)2+m2,∴m=4t-5,∴P(2t-1,4t-5), ∵PC⊥PB,∴, ∴t=1或t=2,∴M(1,0)或M(3,0),∴D(1,3)或D(3,2); (4)當(dāng)t=時(shí),M(,0),∴點(diǎn)Q在拋物線對稱性x=上, 如圖,過點(diǎn)A作AC的垂線,以M為圓心AB為直徑構(gòu)造圓,圓與x=的交點(diǎn)分別為Q1與Q2, ∵AB=5, ∴AM=,∵∠AQ1C+∠OAC=90°,∠OAC+∠MAG=90°,∴∠AQ1C=∠MAG, 又∵∠AQ1C=∠CGA=∠MAG,∴Q1(,), ∵Q1與Q2關(guān)于x軸對稱,∴Q2(,), ∴Q點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,),(,). 考向4 二次函數(shù)之相似三角形問題 4.(2019·婁底)如圖(14),拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且過點(diǎn)D(2,-3).點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn). (1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí),求△POD面積的最大值. (3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)△OBE與△ABC相似時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo). 解:(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0), ∴設(shè)拋物線的解析式為.又∵拋物線過點(diǎn) D(2,-3), ∴,∴,∴. (2)如圖,設(shè)PD與y軸相交于點(diǎn)F,OD與拋物線相交于點(diǎn)G, 設(shè)P坐標(biāo)為(),則直線PD的解析式為,它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,-2m-3),則OF=2m+3. ∴ 由于點(diǎn)P在直線OD下方,所以. ∴當(dāng)時(shí),△POD面積的最大值; (3)①由得拋物線與y軸的交點(diǎn)C(0,-3),結(jié)合A(-1,0)得直線AC的解析式為,∴當(dāng)OE∥AC時(shí),△OBE與△ABC相似;此時(shí)直線OE的解析式為. 又∵的解為,; ∴Q的坐標(biāo)為和. ②如圖,作EN⊥y軸于N, 由A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)得AB=3-(-1)=4,BO=3,BC= 當(dāng)即時(shí) ,△OBE與△ABC相似;此時(shí)BE=. 又∵△OBC∽△ONE,∴NB=NE=2,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),直線OE的方程為. 又∵的解為,; ∴Q的坐標(biāo)為和. 綜上所述,Q的坐標(biāo)為,,,. 考向5 二次函數(shù)之特殊四邊形問題 5.(2019?廣安)如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)在的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,已知,,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與、重合).(1)求拋物線和直線的解析式; (2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方的拋物線上時(shí),過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn),作軸交直線于點(diǎn),求的最大值; (3)設(shè)為直線上的點(diǎn),探究是否存在點(diǎn),使得以點(diǎn)、,、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解:(1)將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得:,解得:, 故直線的表達(dá)式為:,將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式, 同理可得拋物線的表達(dá)式為:; (2)直線的表達(dá)式為:,則直線與軸的夾角為,即:則, 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn), , ,故有最大值,當(dāng)時(shí),其最大值為18; (3),①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí), 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn), 由題意得:,即:, 解得:或0或4(舍去, 則點(diǎn)坐標(biāo)為,或,或; ②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí),則的中點(diǎn)坐標(biāo)為,, 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、則點(diǎn), 、,、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則的中點(diǎn)即為中點(diǎn), 即:,,解得:或(舍去, 故點(diǎn);故點(diǎn)的坐標(biāo)為:,或,或或. 考向6 二次函數(shù)之角度存在性問題 6. (2019·泰安) 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、B(0,-2),且過點(diǎn)C(2,-2).(1)求二次函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),且S△PBA=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo); (3)在拋物線上(AB下方)是否存在點(diǎn)M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離;若不存在,請說明理由. 解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0,-2),∴c=-2,又∵拋物線過點(diǎn)(3,0)(2,-2)∴,解得,∴拋物線的表達(dá)式為; (2)連接PO,設(shè)點(diǎn)P();則S△PAB=S△POA+S△AOB-S△POB==,由題意得:m2-3m=4,∴m=4,或m=-1(舍去),∴=,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,). (3)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+n,∵直線AB過點(diǎn)A(3,0),B(0,-2),∴3k+n=0,n=-2,解之,得:k=,n=-2,∴直線AB的表達(dá)式為:y=x-2,設(shè)存在點(diǎn)M滿足題意,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,).過點(diǎn)M作ME⊥y軸,垂足為E,作MD⊥x軸交于AB于點(diǎn)D,則D的坐標(biāo)為(t,t-2),MD=,BE=||.又MD∥y軸,∴∠ABO=∠MDB,又∵∠ABO=∠ABM,∴∠MDB=∠ABM,∴MD=MB,∴MB=. 在Rt△BEM中,+t2=,解之,得:t=,∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為. 考向7 二次函數(shù)之新定義問題 7.(2019江西省)特例感知:(1)如圖1,對于拋物線,,下列結(jié)論正確的序號是 ; ①拋物線,,都經(jīng)過點(diǎn)C(0,1);②拋物線,的對稱軸由拋物線的對稱軸依次向左平移個(gè)單位得到;③拋物線,,與直線y=1的交點(diǎn)中,相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等. 形成概念:(2)把滿足(n為正整數(shù))的拋物線稱為“系列平移拋物線”. 知識(shí)應(yīng)用在(2)中,如圖2. ①“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為,,,…,,用含n的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo),并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式; ②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))”:,,,…,,其橫坐標(biāo)分別為-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k為正整數(shù)),判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等,若相等,直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離;若不相等,說明理由; ③在②中,直線y=1分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn),,,…,,連接,,判斷,是否平行?并說明理由. 解:(1)對于拋物線,,來說, ∵拋物線,,都經(jīng)過點(diǎn)C(0,1),∴①正確; ∵拋物線,,的對稱軸分別為:,,, ∴拋物線,的對稱軸由拋物線的對稱軸依次向左平移個(gè)單位得到,∴②正確; ∵拋物線,,與直線y=1的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為:-1、-2、-3, ∴拋物線,,與直線y=1的交點(diǎn)中,相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.∴③正確. 答案:①②③; (2)①由可知,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,), ∴該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式為; ②當(dāng)橫坐標(biāo)分別為-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k為正整數(shù)),對應(yīng)的縱坐標(biāo)為:,,,…,, ∴ , ,…, , ∴相鄰兩點(diǎn)的距離相等,且距離為:. ③將y=1代入可得,∴x=-n(0舍去), ∴點(diǎn)(-1,1),(-2,1),(-3,1),…,(-n,1). ∵當(dāng)橫坐標(biāo)分別為-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k為正整數(shù)),對應(yīng)的縱坐標(biāo)為:,,,…,, ∴點(diǎn)(-k-1,),(-k-2,),(-k-3,),…,(-k-n,).設(shè),的解析式分別為:y=px+q,y=mx+n, 則,, 解得p=k+n,m=k+n-1,∴p≠m,∴,不平行.展開閱讀全文
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