第6講　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 [基礎(chǔ)題組練] 1．函數(shù)y＝sin在區(qū)間上的簡圖是(　　) 解析：選A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C. 2．(2020·溫州瑞安七中高考模擬)函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能的值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．0 D．－ 解析：選B.令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，則f＝sin＝sin，因為f為偶函數(shù)，所以＋φ＝kπ＋，所以φ＝kπ＋，k∈Z，所以當(dāng)k＝0時，φ＝.故φ的一個可能的值為.故選B. 3．(2020·湖州市高三期末考試)若把函數(shù)y＝f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，沿y軸向下平移1個單位，然后再把圖象上每個點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)保持不變)，得到函數(shù)y＝sin x的圖象，則y＝f(x)的解析式為(　　) A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1 C．y＝sin－1 D．y＝sin－1 解析：選B.函數(shù)y＝sin x的圖象，把圖象上每個點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)保持不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x，沿y軸向上平移1個單位，得到y(tǒng)＝sin 2x＋1，圖象沿x軸向右平移個單位，得到函數(shù)y＝sin＋1＝sin＋1.故選B. 4．(2020·寧波市余姚中學(xué)高三期中)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在x＝時取得最大值，且它的最小正周期為π，則(　　) A．f(x)的圖象過點 B．f(x)在上是減函數(shù) C．f(x)的一個對稱中心是 D．f(x)的圖象的一條對稱軸是x＝ 解析：選C.因為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期為π， 所以T＝＝π， 所以ω＝2，即函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)， 又因為函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)在x＝時取得最大值， 所以sin＝±1， 即2×＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)， 又因為－<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝Asin，其中A<0； 對于選項A，因為f(0)＝Asin＝≠， 所以選項A不正確； 對于選項B，因為函數(shù)f(x)＝Asin的單調(diào)遞增區(qū)間滿足＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ， 所以f(x)在上是增函數(shù)，所以選項B不正確； 對于選項C，因為f＝Asin＝0， 所以f(x)的一個對稱中心是，即選項正確； 對于選項D，因為f＝Asin＝0， 所以x＝不是f(x)圖象的一條對稱軸，即選項D錯誤．故選C. 5．(2020·杭州中學(xué)高三月考)將函數(shù)y＝2sin(ωx－)(ω>0)的圖象分別向左、向右各平移個單位后，所得的兩個圖象的對稱軸重合，則ω的最小值為(　　) A. B．1 C．2 D．4 解析：選C.把函數(shù)y＝2sin(ω>0)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 y1＝2sin＝2sin， 向右平移個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y2＝2sin＝2sin. 因為所得的兩個圖象對稱軸重合， 所以ωx＋π＝ωx－π①，或ωx＋π＝ωx－π＋kπ，k∈Z②. 解①得ω＝0，不合題意；解②得ω＝2k，k∈Z. 所以ω的最小值為2.故選C. 6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)＋ω圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：選D.由題圖可知＝－＝，所以T＝3π，又T＝，所以ω＝，所以f(x)＝2sin，因為f(x)的圖象過點，所以2sin＝2，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．又因為|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，則函數(shù)y＝f(x)＋圖象的對稱中心的坐標(biāo)為(k∈Z)． 7．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<，f(x)的最小正周期為π，且f(0)＝，則ω＝________，φ＝________． 解析：由原函數(shù)的最小正周期為π，得到ω＝2(ω>0)，又由f(0)＝且|φ|<得到φ＝. 答案：2　 8．某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復(fù)出現(xiàn)．下表是今年前四個月的統(tǒng)計情況： 月份x 1 2 3 4 收購價格y(元/斤) 6 7 6 5 選用一個函數(shù)來近似描述收購價格y(元/斤)與相應(yīng)月份x之間的函數(shù)關(guān)系為________． 解析：設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由題意得A＝1，B＝6，T＝4，因為T＝， 所以ω＝，所以y＝sin＋6. 因為當(dāng)x＝1時，y＝6，所以6＝sin＋6， 結(jié)合表中數(shù)據(jù)得＋φ＝2kπ，k∈Z， 可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cosx. 答案：y＝6－cosx 9．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的圖象如圖所示，已知圖象經(jīng)過點A(0，1)，B，則f(x)＝________． 解析：因為圖象經(jīng)過點A(0，1)，B， A，B兩個點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，從點A到點B經(jīng)過半個周期，所以＝＝，解得ω＝3. 又因為圖象經(jīng)過點A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)， 所以1＝2sin φ，即sin φ＝， 所以由0<φ<π及函數(shù)的圖象可得φ＝， 所以f(x)＝2sin. 答案：2sin 10．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N分別是最高點、最低點，O為坐標(biāo)原點，且·＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是________． 解析：由題圖可知，M，N(xN，－1)， 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0， 解得xN＝2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×＝3. 答案：3 11．如圖，某地一天6～14時的溫度變化曲線近似滿足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)． (1)求解析式； (2)若某行業(yè)在當(dāng)?shù)匦枰臏囟仍趨^(qū)間[20－5，20＋5 ]之間為最佳營業(yè)時間，那么該行業(yè)在6～14時，最佳營業(yè)時間為多少小時． 解：(1)由圖象知A＝10，·＝14－6， 所以ω＝，所以y＝10sin＋b.① ymax＝10＋b＝30，所以b＝20. 當(dāng)t＝6時，y＝10代入①得φ＝， 所以解析式為y＝10sin＋20，t∈[6，14]． (2)由題意得， 20－5≤10sin＋20≤20＋5， 即－≤sin≤， 所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z. 即8k－8≤t≤8k－4， 因為t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12， 所以最佳營業(yè)時間為12－8＝4小時． 12．已知函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)． (1)若α∈[0，π]且f(α)＝2，求α； (2)先將y＝f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象上所有點向右平行移動θ(θ>0)個單位長度，得到的圖象關(guān)于直線x＝對稱，求θ的最小值． 解：(1)f(x)＝sin x＋cos x ＝2＝2sin. 由f(α)＝2，得sin＝， 即α＋＝2kπ＋或α＋＝2kπ＋，k∈Z. 于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z. 又α∈[0，π]，故α＝. (2)將y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝2sin的圖象，再將y＝2sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)向右平行移動θ個單位長度，得到y(tǒng)＝2sin的圖象．由于y＝sin x的圖象關(guān)于直線x＝kπ＋(k∈Z)對稱，令2x－2θ＋＝kπ＋， 解得x＝＋θ＋，k∈Z. 由于y＝2sin的圖象關(guān)于直線x＝對稱，令＋θ＋＝， 解得θ＝－＋，k∈Z. 由θ>0可知，當(dāng)k＝1時，θ取得最小值. [綜合題組練] 1．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的最大值與最小正周期相同，則函數(shù)f(x)在[－1，1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為　　(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由T＝＝，又f(x)的最大值為2，所以＝2，即ω＝， 所以f(x)＝2sin. 當(dāng)2kπ－≤πx－≤2kπ＋， 即2k－≤x≤2k＋，k∈Z時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，則f(x)在[－1，1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為. 2．(2020·杭州市七校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝4sin，x∈的圖象與直線y＝m有三個交點，其交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3(x10)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四個實數(shù)根，則實數(shù)ω的取值范圍為________． 解析：因為f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四個實數(shù)根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四個實數(shù)根．故ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ，k∈Z.所以x＝＋或x＝＋，k∈Z.設(shè)直線y＝－1與y＝f(x)在(0，＋∞)上從左到右的第4個交點為A，第5個交點為B，則xA＝＋，xB＝＋.因為方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四個實數(shù)根，所以xA<π≤xB，即＋<π≤＋，計算得出<ω≤. 答案： 4．將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移個單位，再向下平移2個單位，得到g(x)的圖象，若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]，則2x1－x2的最大值為________． 解析：函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移個單位， 可得y＝2sin的圖象， 再向下平移2個單位， 得到g(x)＝2sin－2的圖象， 若g(x1)g(x2)＝16，且x1，x2∈[－2π，2π]， 則g(x1)＝g(x2)＝－4， 則2x＋＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝－＋kπ，k∈Z， 由x1，x2∈[－2π，2π]， 得x1，x2∈， 當(dāng)x1＝，x2＝－時，2x1－x2取最大值，故答案為. 答案： 5．(2020·溫州中學(xué)高三?？?已知函數(shù)f(x)＝sincos＋cos2. (1)求函數(shù)f(x)圖象對稱中心的坐標(biāo)； (2)如果△ABC的三邊a，b，c滿足b2＝ac，且邊b所對的角為B，求f(B)的取值范圍． 解：(1)f(x)＝sin＋＝sin＋cos＋＝sin＋， 由sin＝0即＋＝kπ(k∈Z)得x＝π，k∈Z， 即對稱中心為，k∈Z. (2)由已知b2＝ac，cos B＝＝≥＝，所以≤cos B<1，0，所以sin0，－<φ<)相鄰兩對稱軸間的距離為，若將f(x)的圖象先向左平移個單位，再向下平移1個單位，所得的函數(shù)g(x)為奇函數(shù)． (1)求f(x)的解析式，并求f(x)的對稱中心； (2)若關(guān)于x的方程3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)由題意可得＝＝， 所以ω＝2， f(x)＝sin(2x＋φ)＋b， 所以g(x)＝sin＋b－1 ＝sin(2x＋＋φ)＋b－1. 再結(jié)合函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，且b－1＝0，再根據(jù)－<φ<， 可得φ＝－，b＝1， 所以f(x)＝sin＋1，g(x)＝sin 2x. 令2x－＝nπ，n∈Z，可得x＝＋， 所以f(x)的對稱中心(n∈Z)． (2)由(1)可得g(x)＝sin 2x，在區(qū)間上，2x∈[0，π]，令t＝g(x)，則t∈[0，1]． 由關(guān)于x的方程3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0在區(qū)間上有兩個不相等的實根， 可得關(guān)于t的方程3t2＋m·t＋2＝0在區(qū)間(0，1)上有唯一解． 令h(t)＝3t2＋m·t＋2，因為h(0)＝2>0，則滿足h(1)＝3＋m＋2<0，或 解得m<－5或m＝－2. 11