第8講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例 [基礎(chǔ)題組練] 1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10°　　　　　　　 B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80° 解析：選D.由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°. 2.如圖，在塔底D的正西方A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，在它的南偏東60°的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，AB的距離是84 m，則塔高CD為　　(　　) A．24 m B．12 m C．12 m D．36 m 解析：選C.設(shè)塔高CD＝x m，則AD＝x m，DB＝x m．在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2x2cos 150°，解得x＝±12(負(fù)值舍去)，故塔高為12 m. 3．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為(　　) A.海里/小時(shí) B．34海里/小時(shí) C.海里/小時(shí) D．34海里/小時(shí) 解析：選C.如圖所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，∠MPN＝120°， 由正弦定理，得＝，所以MN＝34， 所以該船的航行速度為海里/小時(shí)． 4.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：選B.依題意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)， 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝ ＝ ＝＝， 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°. 5．(2020·杭州調(diào)研)據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，則該碼頭處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為(　　) A．9 h B．10 h C．11 h D．12 h 解析：選B.記碼頭為點(diǎn)O，熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點(diǎn)位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45°，根據(jù)余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求時(shí)間為10＋5－10＋5＝10(h)，故選B. 6．(2020·紹興一中高三期中)以BC為底邊的等腰三角形ABC中，AC邊上的中線長(zhǎng)為6，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，腰AB長(zhǎng)為(　　) A．6 B．6 C．4 D．4 解析：選D.如圖所示，設(shè)D為AC的中點(diǎn)， 由余弦定理得cos A＝＝， 在△ABD中，BD2＝b2＋－2×b××， 可得2a2＋b2＝144， 設(shè)BC邊上的高為h，所以S＝ah＝a ＝a＝ ＝ ， 所以，當(dāng)a2＝32時(shí)，S有最大值，此時(shí)，b2＝144－2a2＝80，解得b＝4，即腰長(zhǎng)AB＝4.故選D. 7．如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補(bǔ)，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______km. 解析：由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7. 答案：7 8．(2020·嘉興高三模擬)如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站 A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與觀測(cè)站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北θ(0°<θ<45°)的C處，且cos θ＝.已知A、C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為_(kāi)_______海里/小時(shí)． 解析：因?yàn)閏os θ＝，0°<θ<45°，所以sin θ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20×10×＝340，所以BC＝2，所以該貨船的船速為4海里/小時(shí)． 答案：4 9．在距離塔底分別為80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C處，依次測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，則塔高為_(kāi)_______． 解析：設(shè)塔高為h m．依題意得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝.因?yàn)棣粒拢茫?0°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝＝＝1，所以·tan γ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高為80 m. 答案：80 m 10．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，則山高M(jìn)N＝________m. 解析：根據(jù)題圖，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝?AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60°， 所以MN＝100×＝150(m)． 答案：150 11．(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，成等差數(shù)列． (1)求角A的值； (2)若a＝，b＋c＝5，求△ABC的面積． 解：(1)因?yàn)?，，成等差?shù)列， 所以＝＋， 整理可得＝， 所以sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A， 即2sin Ccos A＝sin(A＋B)＝sin C， 解得cos A＝，所以A＝. (2)因?yàn)閍＝，b＋c＝5， 所以由余弦定理可得a2＝10＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc，可解得bc＝5， 所以S△ABC＝bcsin A＝×5×＝. 12．如圖，平面四邊形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°. (1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的長(zhǎng)； (2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范圍． 解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°， 在△ABC中，＝?BC＝5. 因?yàn)锳C∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°， 在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD， 所以DB＝AB＝10. 在△BCD中，CD＝＝5. (2)AC＋AB>BC＝10， cos 60°＝?(AB＋AC)2－100＝3AB·AC， 而AB·AC≤， 所以≤， 解得AB＋AC≤20， 故AB＋AC的取值范圍為(10，20]． [綜合題組練] 1.A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°、B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為(　　) A．1小時(shí) B．2小時(shí) C．(1＋)小時(shí) D.小時(shí) 解析：選A.由題意知AB＝5(3＋)海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°， 所以∠ADB＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得＝， 所以DB＝＝ ＝10(海里)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20海里， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×10×20×＝900， 所以CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))． 2.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD. 已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長(zhǎng)度為(　　) A．50 米 B．50 米 C．50米 D．50 米 解析：選B.設(shè)該扇形的半徑為r米，連接CO. 由題意，得CD＝150(米)，OD＝100(米)，∠CDO＝60°， 在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2， 即1502＋1002－2×150×100×＝r2， 解得r＝50 . 3．(2020·瑞安四校聯(lián)考)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且acos B－bcos A＝c，當(dāng)tan(A－B)取最大值時(shí)，角B的值為_(kāi)_______． 解析：由acos B－bcos A＝c及正弦定理，得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)，整理得sin Acos B＝3cos Asin B，即tan A＝3tan B，易得tan A＞0，tan B＞0，所以tan(A－B)＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝3tan B，即tan B＝時(shí)，tan(A－B)取得最大值，所以B＝. 答案： 4．如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：在△ABD中，設(shè)BD＝x，則 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA， 即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°， 整理得x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)． 在△BCD中，由正弦定理：＝， 所以BC＝·sin 30°＝8. 答案：8 5.為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問(wèn)題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣象觀測(cè)．如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比B地晚秒．在A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H處的仰角為30°.(已知聲音的傳播速度為340米/秒) (1)求A，C兩地的距離； (2)求這種儀器的垂直彈射高度HC. 解：(1)設(shè)BC＝x，由條件可知 AC＝x＋×340＝x＋40， 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos ∠BAC， 即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×，解得x＝380， 所以AC＝380＋40＝420米， 故A，C兩地的距離為420米． (2)在△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°， 由正弦定理，可得＝，即＝， 所以HC＝＝140，故這種儀器的垂直彈射高度為140米． 6．某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個(gè)集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6 km處，B位于O的北偏東60°方向10 km處． (1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離； (2)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開(kāi)辟水上航線．勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3 km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行．請(qǐng)確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短． 解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°， 根據(jù)余弦定理得 AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120° ＝62＋102－2×6×10×＝196， 所以AB＝14. 故集鎮(zhèn)A，B間的距離為14 km. (2)依題意得，直線MN必與圓O相切． 設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC(圖略)，則OC⊥MN. 設(shè)OM＝x，ON＝y(tǒng)，MN＝c， 在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°， 得×3c＝xysin 120°，即xy＝2c， 由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝6時(shí)，c取得最小值6. 所以碼頭M，N與集鎮(zhèn)O的距離均為6 km時(shí)，M，N之間的直線航線最短，最短距離為6 km. 9