*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分計算法 第11章 第1頁一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積計算可知,若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁當被積函數(shù)均非負均非負在D上變號變號時,所以上面討論累次積分法依然有效.因為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁說明說明:(1)若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序選擇積分序,必要時還能夠交換積分序交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁例例1.計算其中D 是直線 y1,x2,及yx 所圍閉區(qū)域.解法解法1.將D看作X型區(qū)域,則解法解法2.將D看作Y型區(qū)域,則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁例例2.計算其中D 是拋物線所圍成閉區(qū)域.解解:為計算簡便,先對 x 后對 y 積分,及直線則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁練習:11-2 1(1)(2)第7頁第8頁例例3.計算其中D 是直線 所圍成閉區(qū)域.解解:由被積函數(shù)可知,所以取D 為X 型域:先對 x 積分不行,說明說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分次序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁例例4.交換以下積分次序解解:積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域,則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁例例5.計算其中D 由所圍成.解解:令(如圖所表示)顯然,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁對應(yīng)有二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓 r=常數(shù)則除包含邊界點小區(qū)域外,小區(qū)域面積在內(nèi)取點及射線 =常數(shù),分劃區(qū)域D 為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁設(shè)則尤其尤其,對機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁若 f 1 則可求得D 面積思索思索:以下各圖中域 D 分別與 x,y 軸相切于原點,試答答:問 改變范圍是什么?(1)(2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁例例6.計算其中解解:在極坐標系下原式原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角因為故坐標計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁注注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用反常積分公式實際上,當D 為 R2 時,利用例6結(jié)果,得故式成立.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁例例7.求球體被圓柱面所截得(含在柱面內(nèi))立體體積.解解:設(shè)由對稱性可知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁定積分換元法*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理定理:變換:是一一對應(yīng),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁證證:依據(jù)定理條件可知變換 T 可逆.用平行于坐標軸 直線分割區(qū)域 任取其中一個小矩形,其頂點為經(jīng)過變換T,在 xoy 面上得到一個四邊形,其對應(yīng)頂點為則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁同理得當h,k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形,故其面積近似為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁所以面積元素關(guān)系為從而得二重積分換元公式:比如比如,直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁例例8.計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成閉域.解解:令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁例例9.計算由所圍成閉區(qū)域 D 面積 S.解解:令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁例例10.試計算橢球體解解:由對稱性令則D 原象為體積V.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分方法直角坐標系情形直角坐標系情形:若積分區(qū)域為則 若積分區(qū)域為則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁則(2)普通換元公式且則極坐標系情形極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁(3)計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應(yīng)盡可能多為坐標線被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對稱性應(yīng)用換元公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第28頁思索與練習思索與練習1.設(shè)且求提醒提醒:交換積分次序后,x,y交換機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁2.交換積分次序提醒提醒:積分域如圖機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁作業(yè)作業(yè)P144 2(2);3.(1)(2)(6);6(1)第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁解解：原式備用題備用題1.給定改變積分次序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第32頁2.計算其中D 為由圓所圍成及直線解解：平面閉區(qū)域.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第33頁11-2 第34頁第35頁第36頁11-2 練習題第37頁第38頁