《9.2-二重積分的計算省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《9.2-二重積分的計算省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件.ppt（31頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 二重積分計算法二重積分計算法第1頁引例引例:曲頂柱體體積計算曲頂柱體體積計算設(shè)曲頂柱底為設(shè)曲頂柱底為任取任取平面平面故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為截面積為截面積為截柱體截柱體一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分第2頁一樣一樣,曲頂柱底為曲頂柱底為則其體積可按以下兩次積分計算則其體積可按以下兩次積分計算第3頁且在且在D上連續(xù)時上連續(xù)時,由曲頂柱體體積計算可知由曲頂柱體體積計算可知,若若D為為 X 型區(qū)域型區(qū)域 則則若若D為為

2、Y 型區(qū)域型區(qū)域則則第4頁說明說明:(1)若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域,為計算方便為計算方便,可可選擇積分序選擇積分序,必要時還能夠必要時還能夠交換積分序交換積分序.則有則有(2)若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域,則則 第5頁例例.計算計算其中其中D 是直線是直線 y1,x2,及及yx 所圍閉區(qū)域所圍閉區(qū)域.解法解法1.將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域,則則解法解法2.將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域,則則第6頁例例.計算計算其中其中D 是拋物線是拋物線所圍成閉區(qū)域所圍成閉區(qū)域.解解:為計算簡便為計算簡便,先對

3、先對 x 后對后對 y 積分積分,及直線及直線則則 第7頁解解2:先對先對 y 后對后對 x 積分積分,例例.計算計算其中其中D 是拋物線是拋物線所圍成閉區(qū)域所圍成閉區(qū)域.及直線及直線第8頁 例例.計算計算其中其中D 是直線是直線 所圍成閉區(qū)域所圍成閉區(qū)域.解解:由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,所以取所以取D 為為X 型域型域:先對先對 x 積分不行積分不行,第9頁解解說明說明:有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便,還需交換積分次還需交換積分次序序.第10頁例例.交換以下積分次序交換以下積分次序解解:積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:視為視為Y型區(qū)域型區(qū)域,則則第11頁解解例例

4、計算積分計算積分第12頁二重積分在二重積分在直角坐標(biāo)下直角坐標(biāo)下計算公式計算公式X型型Y型型（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）第13頁第14頁對應(yīng)有對應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下,用同心圓用同心圓 r=常數(shù)常數(shù)則除包含邊界點小區(qū)域外則除包含邊界點小區(qū)域外,小區(qū)域面積小區(qū)域面積在在內(nèi)取點內(nèi)取點及射線及射線 =常數(shù)常數(shù),分劃區(qū)域分劃區(qū)域D 為為第15頁即即第16頁設(shè)設(shè)則則尤其尤其,對對第17頁若若 f 1 則可求得則可求得D 面積面積思索思索:以下各圖中域以下各圖中域 D 分別與分別與 x,y 軸相切于原點軸相切于原點,試

5、試答答:問問 改變范圍是什么改變范圍是什么?(1)(2)第18頁例例.計算計算其中其中解解:在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下原式原式原函數(shù)不是初等函數(shù)原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角故本題無法用直角因為因為故故坐標(biāo)計算坐標(biāo)計算.第19頁注注:利用上例可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上利用上例可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用反常積分公式非常有用反常積分公式實際上實際上,當(dāng)當(dāng)D 為為 R2 時時,利用上例結(jié)果利用上例結(jié)果,得得故故式成立式成立.第20頁 例例.求球體求球體被圓柱面被圓柱面所截得所截得(含在柱面內(nèi)含在柱面內(nèi))立體體積立體體積.解解:設(shè)設(shè)由對稱性可知由對稱性可知第21頁解解第

6、22頁第23頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)二重積分在二重積分在直角坐標(biāo)下直角坐標(biāo)下計算公式計算公式X型型Y型型（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）第24頁則則極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為第25頁計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域畫出積分域 選擇坐標(biāo)系選擇坐標(biāo)系 確定積分序確定積分序 寫出積分限寫出積分限 計算要簡便計算要簡便積分域分塊要少積分域分塊要少累次積好算為妙累次積好算為妙圖示法圖示法不等式不等式充分利用對稱性充分利用對稱性應(yīng)用換元公式應(yīng)用換元公式第26頁解：解：原式原式1.給定給定改變積分次序改變積分次序.第27頁2.設(shè)設(shè)且且求求提醒提醒:交換積分次序后交換積分次序后,x,y交交換換第28頁3.計算計算其中其中D 為由圓為由圓所圍成所圍成及直線及直線解：解：平面閉區(qū)域平面閉區(qū)域.第29頁4.交換積分次序交換積分次序提醒提醒:積分域如圖積分域如圖第30頁例例.求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R 直角圓柱面所圍體積直角圓柱面所圍體積.解解:設(shè)兩個直圓柱方程為設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性利用對稱性,考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體頂為其曲頂柱體頂為則所求體積為則所求體積為第31頁