《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)（二十五）第三章 圓錐曲線的方程 3.2.2 第2課時(shí) 雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用（含解析）新人教A版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)（二十五）第三章 圓錐曲線的方程 3.2.2 第2課時(shí) 雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用（含解析）新人教A版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、二十五雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(15分鐘30分)1已知m1且m0，則二次曲線1與1必有()A不同的頂點(diǎn) B不同的焦距C相同的離心率 D相同的焦點(diǎn)【解析】選D.若m0，則1mm0，則二次曲線1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，此時(shí)c2a2b21m(m)1，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1，0)，因此與橢圓1具有相同的焦點(diǎn)當(dāng)0<m<1時(shí)，1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線c21mm1，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)和(1，0)，也與1有相同焦點(diǎn)2已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)(3，0)是E的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為N(12，15)，則E的方程為()A1 B1C1 D1【解析】選B.由已知條件

2、易得直線l的斜率k1，設(shè)雙曲線E的方程為1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，x1x224，y1y230，由得，從而1，又因?yàn)閍2b2c29，故a24，b25，所以E的方程為1.3設(shè)F是雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作斜率為3的直線l與雙曲線左、右支均相交，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，)C(，) D(，)【解析】選C.雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，由斜率為3的直線l過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，則3，即b29a2，c210a2，可得e.4(2019·全國(guó)卷)雙曲線C：1

3、的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|PF|，則PFO的面積為()A B C2 D3【解析】選A.由雙曲線的方程1可得一條漸近線方程為yx；在PFO中|PO|PF|，過(guò)點(diǎn)P作PHOF.因?yàn)閠an POF，OF，OHOF，所以PH；所以SPFO××.5(2020·天津高二檢測(cè))已知雙曲線1的兩條漸近線分別為直線l1，l2，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F且垂直于l1的直線l分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)，且2，求該雙曲線的離心率【解析】雙曲線的漸近線的方程為y±x.不妨設(shè)直線l的方程為y，由可得，所以A.由可得，所以B，因?yàn)?，故，整理得到c22a22b

4、2，即3c24a2，故e.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1(2020·池州高二檢測(cè))與橢圓C：1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax21 By22x21C1 Dx21【解析】選C.設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，根據(jù)題意得解得a2b22，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2(2020·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))設(shè)點(diǎn)M，N均在雙曲線C：1上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則的最小值為()A2 B4C2 D以上都不對(duì)【解析】選B.由題意，設(shè)O為F1F2的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算，可得2，又由N為雙曲線C：1上的動(dòng)點(diǎn)，可得a，所以22a4，即的最小值

5、為4.3(2020·沈陽(yáng)高二檢測(cè))若圓x2(y)2r2與雙曲線1沒(méi)有公共點(diǎn)，則半徑r的取值范圍是()A0<r< B0<r<C0<r< D0<r<【解析】選C.若圓x22r2與雙曲線1沒(méi)有公共點(diǎn)，則半徑r小于雙曲線上的點(diǎn)到圓心距離的最小值，設(shè)雙曲線上任意點(diǎn)P，圓心A，當(dāng)y時(shí)，的最小值為，所以半徑r的取值范圍是0<r<.4(2020·全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|2，則PF1F2的面積為()A B3 C D2【解析】選B.由已知，不妨設(shè)F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)

6、，則a1，c2，因?yàn)閨OP|2|F1F2|，所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，即F1F2P是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，又|PF1|PF2|2a2，所以4|PF1|PF2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|162|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|6，所以SF1F2P|PF1|PF2|3.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5(2020·泰安高二檢測(cè))已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)且漸近線為y±x，則下列結(jié)論正確的是()AC的方程為y21BC的離心

7、率為C曲線yex21經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)D直線xy10與C有兩個(gè)公共點(diǎn)【解析】選AC.對(duì)于選項(xiàng)A：由已知y±x，可得y2x2，從而設(shè)所求雙曲線方程為x2y2，又由雙曲線C過(guò)點(diǎn)，從而×32()2，即1，從而選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由雙曲線方程可知a，b1，c2，從而離心率為e，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，滿(mǎn)足yex21，從而選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：聯(lián)立，整理，得y22y20，由(2)24×20，知直線與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤6(2020·濟(jì)南高二檢測(cè))若雙曲線C：1(a>0，b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為

8、F，則下列結(jié)論正確的是()AC的漸近線上的點(diǎn)到F距離的最小值為4BC的離心率為CC上的點(diǎn)到F距離的最小值為2D過(guò)F的最短的弦長(zhǎng)為【解析】選AC.由題意知，2a6，2c10，即a3，c5，因?yàn)閎2c2a2，所以b225916，解得b4，所以右焦點(diǎn)為F，雙曲線C的漸近線方程為y±x，對(duì)于選項(xiàng)A：由點(diǎn)F向雙曲線C的漸近線作垂線時(shí)，垂線段的長(zhǎng)度即為C的漸近線上的點(diǎn)到F距離的最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，d4，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閍3，c5，所以雙曲線C的離心率為e，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)雙曲線C上的點(diǎn)為其右頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)雙曲線C上的點(diǎn)到F的距離最小為2，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選

9、項(xiàng)D：過(guò)點(diǎn)F且斜率為零的直線與雙曲線的交點(diǎn)為A，B，此時(shí)過(guò)點(diǎn)F的最短弦為AB6，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤三、填空題(每小題5分，共10分)7如果雙曲線1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_.【解析】如圖，因?yàn)镺AAF，F(xiàn)(c，0)，所以xA，因?yàn)锳在右支上且不在頂點(diǎn)處，所以>a，所以e>2.答案：(2，)8已知雙曲線C的方程為1(a0)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且AFBF，則ABF的面積為_(kāi)【解析】雙曲線C的方程為1(a0)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且AFBF

10、，設(shè)AFm，BFn，可得mn2a，m2n24c2，可得：m2n22mn4a2，可得：mnc2a2b29.答案：9四、解答題(每小題10分，共20分)9已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，虛軸長(zhǎng)為4.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)過(guò)點(diǎn)(0，1)，傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OAB的面積【解析】(1)依題意可得解得a1，b2，c，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)直線l的方程為yx1，聯(lián)立消去y得3x22x50，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2，x1x2，則|AB|x1x2|×，原點(diǎn)到

11、直線l的距離為d，所以SOAB·|AB|·d××.所以O(shè)AB的面積為.10已知雙曲線C：1.(1)求與雙曲線C有共同的漸近線，且實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)P為雙曲線C右支上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，0)，求|PA|的最小值【解析】(1)由題可設(shè)所求雙曲線的方程為(0)，當(dāng)0時(shí)，方程為1，令4得，即雙曲線方程為1，當(dāng)0時(shí)，方程為1，令3得3，即雙曲線方程為1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)P(x0，y0)(x02)，滿(mǎn)足1，|PA|.則當(dāng)x0時(shí)，|PA|有最小值，為.【創(chuàng)新遷移】1已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

12、F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi).【解析】由雙曲線定義知|PF1|PF2|2a，又已知|PF1|4|PF2|，所以|PF1|a，|PF2|a，在PF1F2中，由余弦定理得cos F1PF2e2，要求e的最大值，即求cos F1PF2的最小值，因?yàn)閏os F1PF21，所以cos F1PF2e21，解得e，即e的最大值為.答案：2已知橢圓C1的方程為y21，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求雙曲線C2的方程(2)若直線l：ykx與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且·2，求k的取值范圍【解析】(1)設(shè)雙曲線C2的方程為1(a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故雙曲線C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得所以k21且k2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又因?yàn)?#183;2，即x1x2y1y22，所以2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范圍為.