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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中國傳媒大學 2010 學年第 一 學期 數(shù)學建模與數(shù)學實驗 課程數(shù)學建模與數(shù)學實驗 題 目 Pristine湖污染問題的建模與求解 學生姓名 學 號 班 級 學生所屬學院 任課教師 教師所屬學院 成 績 Pristine湖污染問題的建模與求解摘要 本文討論了湖水污染濃度變化趨勢的預(yù)測問題。 通過分析水流輸入輸出湖泊的過程，建立了湖水污染濃度隨時間變化的含參變量的微分方程模型，在河水污染濃度恒定和自然凈化速率呈線性關(guān)系的情況下，求得其精確解，帶入具體數(shù)據(jù)得到結(jié)論：在PCA聲稱的河水污染濃度下，湖的環(huán)境不會惡化；在工作人員實地測得的河水濃度下，湖的環(huán)境將會惡化。 同時建

2、立了計算機模擬模型，帶入具體數(shù)值，運用時間步長法來仿真模擬了在湖水污染濃度穩(wěn)定以前湖水每天的變化情況，輸出自PCA建廠以來每年的湖水污染濃度，得到與微分方程模型相同的結(jié)論。 在全停產(chǎn)和半停產(chǎn)時，通過前面的兩個模型可以計算湖水污染濃度在自然凈化影響下的恢復(fù)到凈化指標所需的年限。并可得到結(jié)論：在半停產(chǎn)狀態(tài)下，在選定的自然凈化速率常數(shù)的約束下，只有當河水污染濃度降至原來的3.15%（自然凈化速率呈線性關(guān)系），4.7%（自然凈化速率呈指數(shù)關(guān)系），才有可能使河水在100年內(nèi)恢復(fù)至0.001mol/l，然后給出整改建議。1、 問 題 重 述 Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。50年前PCA公司

3、在此河旁建起一個生產(chǎn)設(shè)施并投入運行。PCA將為處理的湖水排入河中，導致Pristine湖被污染。PCA公司聲稱：已排放的廢水的標準多年從未改變切不會對湖的環(huán)境有影響?，F(xiàn)已知：Pristine湖的湖容量為L，流入（流出）的水流速度為L/年。PCA公司聲稱河水污染濃度僅為0.001mol/L，自工廠以來沒有改變過。討論下列問題：（1） 建立數(shù)學模型用PCA提供的公開數(shù)據(jù)判斷湖的環(huán)境是否會惡化；（2） 以目前湖水污染濃度0.03mol/L，和河水污染濃度0.05mol/L為新數(shù)據(jù)判斷湖的環(huán)境是否會惡化；2、 模型的合理假設(shè)和符號系統(tǒng)2.1 模型的合理假設(shè)（1）降水量和增發(fā)量相等；（2）湖中流入量和流

4、出量相等且一直未變；（3）污水量遠小于河水注入量，且污水與河水混合均勻；（4）湖水混合均勻，且流入污水的擴散速度無限大；（5）湖內(nèi)除Pure河外，無其他污染源；2.2 符號系統(tǒng) ：河水污染濃度mol/L； ：湖水污染物濃度mol/L； ：湖泊容量L； ：自然凈化速率mol/（L。年） ：流入（流出）的水流速度L/年； ：從PCA建廠至考察時刻的時間段。 三、問題的分析3.1 問題分析： 對于問題中幾個詞語的理解：1. 是否會惡化湖的環(huán)境惡化即湖水污染濃度大于0.001mol/L，要判斷其是否會惡化，則需計算在某一污染物積累速度（分析影響此速度的因素）下，湖水能達到的最大污染濃度和其變化趨勢，以

5、及湖水經(jīng)幾年超過0.001mol/L，經(jīng)過幾年達到最大污染濃度。2. 自然凈化自然凈化是獨立的生態(tài)系統(tǒng)進行自我調(diào)節(jié)的方式之一，是在空氣，陽光，水和細菌的參與下，進行包括物理沉降，化學反應(yīng)和生物轉(zhuǎn)化三大方面的活動，其最終作用是將污染物轉(zhuǎn)化為無害物質(zhì)，從而凈化生態(tài)系統(tǒng)。當河水輸入湖泊并均勻混合之后，影響湖水污染濃度的唯一因素便是自然凈化速度。湖水污染問題水流的動態(tài)流程圖：此問題中，我們考察對象是湖水污染濃度的變化趨勢：1. 在整改之前，其增加的趨勢，超過凈化指標0.001ml/L（即湖水惡化）的可能性和時限；2. 在全停產(chǎn)（無污染物輸入）和半停產(chǎn)的情況下，其降低的趨勢，達到凈化指標的時限。3. 在

6、整改之后，其增加的趨勢，未定與凈化指標之下某一水平的時限、在前假設(shè)條件的基礎(chǔ)之上，湖水容量不變，出河水外無其他的污染源，故我們可將湖泊作為一個封閉的生態(tài)系統(tǒng)，其簡化的湖水被污染的動態(tài)過程為：受污河輸入湖泊，河水與湖水均勻混合，受污河水進行自我的凈化，湖水數(shù)出湖泊。湖中污染物的量直接決定了湖水污染濃度，而污染物的量受到以下兩方面因素的影響：1.河水的污染濃度及其流入速度（根據(jù)已知此速度不變），2.湖水的自然凈化速度，前者使其增加，后者使其減少（負增加）。問題一、二、三的實質(zhì)都是要分析污染濃度的變化趨勢，其去表便在于前一因素的不同。問題一中，河水污染濃度不變，恒為0.001mol/L；問題二中，河

7、水污染濃度可能會變化，受PCA效益的影響而按一定規(guī)律波動；問題三中，在全停產(chǎn)或半停產(chǎn)的情況下，和碩污染濃度為0或減為問題二中的一部分。后一因素（自然凈化速度）在三個問題中的作用都是相同的。根據(jù)微積分的知識可知，在適當短的時間段之內(nèi)，通過建立微分方程，可以將連續(xù)的過程離散化，從而可以得到湖水污染濃度與時間之間的關(guān)系式。利用時間步長發(fā)，縮小步長值（從年到月到天），并與微分方程所得的精確解做出比較。四、模型建立與求解問題一：根據(jù)PCA的公開申明和所提供數(shù)據(jù)，可認為：河水污染濃度恒為0.001mol/L。從存在自然凈化和不存在自然凈化兩個方面考慮：（1） 在不考慮自然凈化的情況下：由于假設(shè)湖中流入量和

8、流出量相等，而在經(jīng)過與湖水均勻混合后，流出湖水污染濃度明顯減小，故流出污染物的量小于流出污染物的量，污染物將在湖中沉積，從而使湖水污染濃度增加，當其增加至于輸入的河水污染濃度相等時，河水污染濃度達到最大，并穩(wěn)定在這一數(shù)值，不在增加。建立湖水污染濃度隨時間變化的微分方程模型：設(shè)在極短時間，湖水污染濃度增加，在將湖水被污染這一連續(xù)動態(tài)過程簡化為離散的瞬間靜止狀態(tài)（如問題分析中所述）之后，根據(jù)湖中剩余量=輸入量輸出量，我們可以列微分方程如下：化簡可得： ······（1）帶入L，L/年和mol/L的數(shù)據(jù)，我們可得到和的關(guān)系式如下： 通過此關(guān)

9、系式我們可知，當時，湖水污染濃度將趨近與0.001mol/L，即湖的環(huán)境不會惡化。建立計算機模擬模型：湖水污染濃度的變化時有湖中污染物隨時間的積累而引起的，這個逐步積累的過程我們可以用計算機進行仿真模擬，其實質(zhì)為完成一個循環(huán)累加的過程，并可改變時間步長，如一年一年的累積，一月一月的累積，一天一天的累積，從而使我們的模擬值逐步精確，可與微分方程求得精確解比較，分析誤差。為提高模擬結(jié)果的精確性和運算的效率，我們采用了逐天累加，數(shù)出年污染濃度的方式。模擬程序見附件一，從后面的分析中我們可知：在此河水污染濃度恒定，無自然凈化的最簡單的情況下建立的模型是以后問題的基礎(chǔ)，后面的問題只是改變條件或數(shù)據(jù)，其實

10、質(zhì)是不變的，故我們在此程序中加入了多個選擇語句，在不同德條件或數(shù)據(jù)下執(zhí)行不同的命令，從而用一個程序解決全部的模擬問題。模擬所得的數(shù)據(jù)如下表1：年份135810 1.734.356.147.828.51年份1520304050 9.439.789.979.9959.999根據(jù)模擬數(shù)據(jù)所作的湖水污染濃度變化趨勢圖如下圖1：模擬所得的數(shù)據(jù)顯示：湖水污染 濃度將穩(wěn)定于0.001mol/L，這與分析微分方程所得的結(jié)果是相符的。（2） 在考慮自然凈化的情況下：A. 首先，我們應(yīng)該了解什么事自然凈化。根據(jù)資料顯示：湖水中的污染物可分為有機污染物和無機污染物兩大類，在多種環(huán)境因素（陽光，空氣，水，水中生物，水

11、中化學物質(zhì)，重力等）的作用下，通過物理沉降，化學反應(yīng)和生物轉(zhuǎn)化一系列復(fù)雜的活動，它們的量會發(fā)生變化。有機物在水環(huán)境中的遷移轉(zhuǎn)化過程如圖2：可以看出整個過程是相當復(fù)雜的，不僅過程多，而且在相同的過程中，不同的物質(zhì)有著不同的結(jié)果。此問題中沒有明確給出輸入湖中的污染物種類，也沒有對湖泊環(huán)境做任何描述，無疑給問題的解決增加了極大的難度。為是問題簡化，我們從一般的情況出發(fā)，假設(shè)：湖中所進行的反應(yīng)均為一級反應(yīng)，有機物的存在不會對環(huán)境參數(shù)造成改變，環(huán)境固定（自然凈化速率恒定），考慮湖泊生態(tài)系統(tǒng)中起主要作用的幾種過程作簡要分析：1. 物理沉降。不同物質(zhì)有著不同的沉降速度常數(shù)，沉降速率為；2. 揮發(fā)。不同物質(zhì)有

12、著不同的揮發(fā)速率常數(shù)，在有機物在水體上的大氣中的分壓為0的條件下，揮發(fā)速率為(為水體深度)3. 水解反應(yīng)。不同物質(zhì)有著不同的水解速率常數(shù)，在一級反應(yīng)的條件下，水解速率為；4. 生物降解反應(yīng)。不同物質(zhì)有著不同的降解速率常數(shù)，在一級反應(yīng)的條件下，生物降解速率；B.在最簡模擬程序的基礎(chǔ)上，從每天的積累量中減去每天的自然凈化量時間步長，重復(fù)循環(huán)可得到逐年湖水污染濃度的值，設(shè)。越大，湖水污染濃度將越快穩(wěn)定于一個更小的濃度值。模擬所得的數(shù)據(jù)如下表2：年份135810 1.5873.4374.3154.8784.984年份1520304050 5.0875.1035.1065.1065.106根據(jù)模擬數(shù)據(jù)所

13、作的湖水污染濃度變化趨勢圖如下圖3：C.進一步考慮自然凈化速率的影響。更貼近于實際的情況是，自然凈化速率與湖水污染濃度成指數(shù)關(guān)系，隨著的增加而增加，但增加的速率會逐漸減小，用關(guān)系式表達即可為：，A,B為與環(huán)境和污染物種類有關(guān)的常數(shù)。將此關(guān)系式帶入微分方程（2），得到一個新的微分方程，此方程無解。但是我們可以通過計算機模擬求得數(shù)值解。A的大小影響著最終穩(wěn)定濃度，B的大小影響著達到最終穩(wěn)定濃度的快慢。在前面達到線性關(guān)系的基礎(chǔ)上，在=0/。001mol/L處的值大小確定A至數(shù)量級，并穩(wěn)定年限定在1020年間，從而得到一組估計值：模擬所得數(shù)據(jù)如下表3：年份135810 1.4932.9713.5393

14、.8163.871年份1520304050 3.9033.9063.9063.9063.906根據(jù)模擬所得數(shù)據(jù)所作的湖水污染濃度變化趨勢圖如下圖4：觀察數(shù)據(jù)可知：無論自然凈化速率與污染濃度成線性關(guān)系還是指數(shù)關(guān)系，當河水污染濃度=0.001mol/L時，都將穩(wěn)定于一個小于0.001mol/L的值，也即：湖的環(huán)境不會惡化。問題二：根據(jù)實際情況，在此我們只考慮存在自然凈化的情況。（1） .河水污染濃度恒定為0.05mol/L:與問題一（2）相同，只是=0.05mol/L，沿用問題一（2）的微分方程模型和差分模擬模型，我們可以得到以下結(jié)果：A. 微分方程模型（自然凈化速率與湖水污染濃度成線性關(guān)系）：當時間時，即湖水污染濃度穩(wěn)定于一個與K有關(guān)的值。當=0.05mol/L時，如要穩(wěn)定于0.001mol/L則K值為。根據(jù)我們設(shè)定的可計算，湖水最終污染濃度=0.0317mol/L，超過凈化指標0.001mol/L，故在此條件下，湖的環(huán)