專題10 二次函數(shù)背景下的與圓有關(guān)的問(wèn)題-2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題突破之二次函數(shù)(解析版).docx
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1、備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)壓軸題之二次函數(shù)專題10 二次函數(shù)背景下的與圓有關(guān)的問(wèn)題 【方法綜述】圓和二次函數(shù)都是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí),是壓軸題中的常見(jiàn)題目。而二次函數(shù)與圓的結(jié)合則常常是高難度的壓軸題。以二次函數(shù)為背景的問(wèn)題中,圓的知識(shí)常常以圓的基本知識(shí)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系、構(gòu)造圓和隱形圓為考察內(nèi)容。解答要點(diǎn)是結(jié)合相關(guān)知識(shí),對(duì)于已知條件進(jìn)行數(shù)形結(jié)合。【典例示范】類型一 圓的基本性質(zhì)應(yīng)用例1:(2018-2019學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū))如圖,在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a(x-52)2+98與M交于A,B,C,D四點(diǎn),點(diǎn)A,B在x軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,-2)(1)求a值及A,B兩點(diǎn)坐標(biāo);(2)點(diǎn)P(m,n)
2、是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)CPD為銳角時(shí),請(qǐng)求出m的取值范圍;(3)點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn),M沿CD所在直線平移,點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C,D,順次連接A,C,D,E四點(diǎn),四邊形ACDE(只要考慮凸四邊形)的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)圓心M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)A(1,0),B(4,0)(2)m0或1m4或m5(3)存在M(17582,-2)【解析】解:(1)拋物線y=a(x-52)2+98經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-2),-2=a(0-52)2+98,a=-12,y=-12(x-52)2+98,當(dāng)y=0時(shí),-12(x-52)2+98=0,x1=4,x2=1,A、B在x軸上,A(1
3、,0),B(4,0)(2)由(1)可知拋物線解析式為y=-12(x-52)2+98,C、D關(guān)于對(duì)稱軸x=52對(duì)稱,C(0,-2),D(5,-2),如圖1中,連接AD、AC、CD,則CD=5,A(1,0),C(0,-2),D(5,-2),AC=5,AD=25,AC2+AD2=CD2,CAD=90,CD為M的直徑,當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),CPD為銳角,m0或1m4或m5(3)存在如圖2中,將線段CA平移至DF,則AF=CD=CD=5,A(1,0),F(xiàn)(6,0),作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EE正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,拋物線頂點(diǎn)(52,98),直線CD為y=-2,E(52,-418
4、),連接EF交直線CD于H,AE,CD是定值,AC+ED最小時(shí),四邊形ACDE的周長(zhǎng)最小,AC+DE=FD+DE=FD+EDEF,則當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合時(shí),四邊形ACDE的周長(zhǎng)最小,設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b,E(52,-418),F(xiàn)(6,0),可得y=4128x-12314,當(dāng)y=-2時(shí),x=19041,H(19041,-2),M(52,-2),DD=5-19041=1541,52-1541=17582,M(17582,-2)針對(duì)訓(xùn)練1(江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū))已知二次函數(shù)yax22axc(a0)的圖像與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線BC與它的對(duì)稱軸交于點(diǎn)F,且C
5、F:FB1:3(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若COB的內(nèi)心I在對(duì)稱軸上,求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;(3)在(2)的條件下,Q(m,0)是x軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線,與直線BC交于點(diǎn)M,與拋物線交于點(diǎn)N,連接CN,將CMN沿直線CN翻折,M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,是否存在點(diǎn)Q,使得M恰好落在y軸上?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)B(4,0),A(2,0);(2)y=-38x2+34x+3;(3)存在,Q(23,0)或Q(223,0)【解析】(1)如圖所示:對(duì)稱軸為:直線x=-2a2a=1, OE=1,OCEF,CFFB=OEEB=13, EB=3,由對(duì)稱性得:BE=AE=
6、3,A(2,0),B(4,0);(2)如圖,I是OBC的內(nèi)切圓,過(guò)點(diǎn)I作IDOC于點(diǎn)D,OD=OE=1, 設(shè)CD=x,則OC=x+1,BC=x+3,在RtOCB中,OB=4,OC2+OB2=BC2, 即x+12+42=x+32,解得x=2, OC=3, C(0,3),c=3,把A(2,0), C(0,3)代入拋物線y=ax2-2ax+c中得:c=34a+4a+c=0 解得:a=-38c=3, 拋物線的解析式為:y=-38x2+34x+3;(3)如圖,由題意MCN=NCB,MNOM,MCN=CNM,CNM =NCB,MN=CM,直線BC解析式為y=-34x+3, M(m,-34m+3),N(m,
7、-38m2+34m+3),作MEOC于E,sinBCO=EMMC=BOBC, mCM=45, CM=54m, 當(dāng)N在直線BC上方時(shí),-38m2+34m+3-(-34m+3)=54m, 解得:m=23或0(舍棄),Q(23,0),當(dāng)N在直線BC下方時(shí), -34m+3-(-38m2+34m+3)=54m,解得m=223或0(舍棄),Q(223,0)綜上所述:點(diǎn)Q坐標(biāo)為 (23,0)或Q(223,0).2(2018-2019學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P,Q和圖形G,給出如下定義:點(diǎn)P,Q都在圖形G上,且將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到點(diǎn)Q,則稱點(diǎn)P,Q是
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