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1、. .小學六年級奧數(shù)教案：行程問題第一講 行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量：距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等;速度在單位時間內(nèi)(例如1小時內(nèi))行走或移動的距離;時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離=速度時間很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學上說，這是一種最基本的數(shù)量關系，在小學的應用題中，這樣的數(shù)量關系也是最常見的，例如總量=每個人的數(shù)量人數(shù).工作量=工作效率時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學的

2、應用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數(shù)學、物理的學習中，也是一個重點內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及與相遇有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離= 甲的速度時間-乙的速度時間=(甲的速度-乙的速度)時

3、間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米?解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=96=1.5(小時).小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是面包車速度是 54-6=48(千米/小時).城門離學校的距離是481.5=72(千米).答：學校到城門的距離是72

4、千米.例2 小X從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠?解一：可以作為“追及問題”處理.假設另有一人，比小X早10分鐘出發(fā).考慮小X以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50 10(75- 50)= 20(分鐘)?因此，小X走的距離是75 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕

5、.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上;如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少?解一：自行車1小時走了301-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離速度差1小時與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15= 20(千米/小時).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家

6、4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分?解：畫一X簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 124=3(倍).按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行83=24(千米).但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王

7、從甲地到乙地，小X從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質上是小王和小X一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度時間+乙的速度時間=(甲的速度+乙的速度)時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小X從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇?解：走同樣長的距離，小X花費的時間是小王花費時間的 3612=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小X步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小X走了1段，小X花費的時間是

8、36(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小X從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一X示意圖離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小X走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小X比小王多走了2千米小X比小王每小時多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2(5-4)=2(小時).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實質上卻要考慮“小X比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點嗎?對小

9、學的應用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一X行程示意圖如下設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發(fā)后的相遇時間

10、，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵.下面的考慮重點轉向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點(或E點)相遇所用時間是285= 5.6(小時).比C點相遇少用 6-5.6=0.4(小時).甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是120.4=30(千米/小時).同樣道理，乙的速度是160.4=40(千米/小時).A到

11、B距離是(30+ 40)6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小X和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：(1)小X和小王分別從A， D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米?解：(1)小X從 A到 B需要 1660= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5660= 25(分鐘);當小王到達 C點時，

12、小X已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1= 2(千米)由小X和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是2 (4+ 4)60= 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時間是25+ 15= 40 (分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1260=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點.小X走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走小X離終點還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小X和小王相遇.小王到達終點時，小X離終點還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關.例9 小X和小王各

13、以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小X和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小X的速度是多少米/分?(2)小X和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小X跑多少圈后才能第一次追上小王?解：(1 )75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小X的速度是5001.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小X要追上小王，就是小X比小王多跑一圈(一個周長)，因此需要的時間是500(220-180)=12.5(分).22012.5500=5.5(圈).答：(1)小X的速度是220米/分;(2)小X跑5.5圈

14、后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小X在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米;在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長;第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是803=240(米).240-60=180(米).1802=360(米).答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小X與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小X和小王的速度各是多少?解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40360=2(小時).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小X已走了62-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是小X 102