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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案：行程問題第一講 行程問題走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量：距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等;速度在單位時(shí)間內(nèi)(例如1小時(shí)內(nèi))行走或移動(dòng)的距離;時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來(lái)表示：距離=速度×時(shí)間很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×時(shí)間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能

2、解其他類似的問題.當(dāng)然，行程問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及與相遇有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離

3、= 甲的速度×時(shí)間-乙的速度×時(shí)間=(甲的速度-乙的速度)×時(shí)間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米?解：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間.此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此所用時(shí)間=9÷6=1.5(小時(shí)).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說(shuō)明小轎車的速度是面包車速度

4、是 54-6=48(千米/小時(shí)).城門離學(xué)校的距離是48×1.5=72(千米).答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)?解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是50 ×10÷(75- 50)= 20(分鐘)?因此，小張走的距離是75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)

5、算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上;如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少?解一：自行車1小時(shí)走了30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是答：自行車速度是20千米/小時(shí).解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離÷速度差1小時(shí)與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請(qǐng)看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15= 20(千

6、米/小時(shí)).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分?解：畫一張簡(jiǎn)單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實(shí)上，

7、爸爸少用了8分鐘，騎行了4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度×時(shí)間+乙的速度×時(shí)間=(甲的速度+乙的速度)×時(shí)間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇?解：走同樣長(zhǎng)的距離，

8、小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說(shuō)，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相

9、遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時(shí)多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2÷(5-4)=2(小時(shí)).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎?對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡(jiǎn)單地說(shuō)這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬(wàn)不要“兩人面對(duì)面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米

10、，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來(lái)都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千

11、米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)(或E點(diǎn))相遇所用時(shí)間是28÷5= 5.6(小時(shí)).比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6=0.4(小時(shí)).甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.4=30(千米/小時(shí)).同樣道理，乙的速度是16÷0.4=40(千米/小時(shí)).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡(jiǎn)單地說(shuō)成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4

12、千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問：(1)小張和小王分別從A， D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米?解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發(fā)到

13、相遇的時(shí)間是25+ 15= 40 (分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)

14、小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王?解：(1 )75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來(lái)跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個(gè)周長(zhǎng))，因此需要的時(shí)間是500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)

15、80米;在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).解：第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半個(gè)周長(zhǎng);第二次相遇，兩個(gè)人合起來(lái)又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來(lái)走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少?解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是40×3÷60=2(小時(shí)).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇