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1、1.向量的概念向量的概念 (1)把既有把既有大小大小又有又有方向方向的量叫做向量的量叫做向量. (2)把只有大小把只有大小,沒(méi)有方向的量沒(méi)有方向的量(如年齡如年齡 身高身高 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 面積面積 體積體積 質(zhì)量等質(zhì)量等),稱為稱為數(shù)量數(shù)量. (3)向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度長(zhǎng)度(或?；蚰?.長(zhǎng)度為零長(zhǎng)度為零的向量叫零向的向量叫零向量量,記作記作0,零向量的方向零向量的方向任意任意,規(guī)定零向量與任意向量規(guī)定零向量與任意向量平行平行(共線共線). (4)相等向量是指相等向量是指大小相等大小相等,方向相同方向相同的向量的向量;相反向量是指相反向量是指大大小相等小相等,方向相反方向相反

2、的向量的向量,規(guī)定零向量的相等向量是規(guī)定零向量的相等向量是0,零向零向量的相反向量是量的相反向量是0. (5)方向相同或相反的向量叫方向相同或相反的向量叫平行向量平行向量,也叫也叫共線向量共線向量.長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的向量叫做的向量叫做單位向量單位向量. 2.向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算 (1)向量加法的定義向量加法的定義 已知向量已知向量a b,如圖如圖,平面內(nèi)任取一點(diǎn)平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作作 b,再作再作 則則 叫做叫做a與與b的和的和,記作記作a+b. ,ABa BC,ACAC即即 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法加法. .abABBCAC (2)向量求和的三角形法

3、則向量求和的三角形法則 利用向量加法的定義求兩個(gè)向量和的作圖法則利用向量加法的定義求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求叫做向量求和的和的三角形三角形法則法則.在運(yùn)用此法則時(shí)在運(yùn)用此法則時(shí),要注意要注意“首尾相接首尾相接”,即即兩個(gè)向量的和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量?jī)蓚€(gè)向量的和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)終點(diǎn)的向量的向量. (3)向量求和的平行四邊形法則向量求和的平行四邊形法則 已知兩個(gè)不共線向量已知兩個(gè)不共線向量a b,作作 對(duì)對(duì)A B D三點(diǎn)三點(diǎn)不共線不共線,以以AB AD為鄰邊作為鄰邊作平行四邊形平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上則對(duì)角線上的向量是的向量是 =a+b,這

4、個(gè)法則叫做兩向量求和的這個(gè)法則叫做兩向量求和的平行四平行四邊形邊形法則法則. ,ABa ADbAC (4)向量的減法向量的減法 向量向量a加上向量加上向量b的的相反向量相反向量叫做叫做a與與b的差的差,記作記作a-b,若若 則則 (5)實(shí)數(shù)與向量積的定義實(shí)數(shù)與向量積的定義: 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與向量與向量a的積是一個(gè)的積是一個(gè)向量向量,記作記作a,|a|=|a|,當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí),a與與a方向方向相同相同;0時(shí)時(shí),a的方向與的方向與a的方向相同的方向相同;當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí),a的方向與的方向與a的方向相反的方向相反;當(dāng)當(dāng)=0時(shí)時(shí),a=0.由此可由此可見(jiàn)見(jiàn),總有總有a與與a平行平行;(2)運(yùn)算律運(yùn)算律:(ua)=(u)

5、a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b. 1()4.:MAB,.O2OMOAOB線段中點(diǎn)的向量表示 若是線段的中點(diǎn)是平面內(nèi)任一點(diǎn) 則2,DEABCABAC,MNDEBC,ab,.BCa BDbDE CEMN【典例 】如圖所示、 分別是中、邊的中點(diǎn)、 分別是、的中點(diǎn)已知試用 、分別表示、 和1.211,.2211.22112211DE1.424BCDEBCDEaCECBBDDEabaabMNMDDBBNEDDBBCabaab 解由三角形中位線定理知 故即反思感悟反思感悟在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中中,選用從同一頂點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的基本向量或首

6、尾相連的向量選用從同一頂點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的基本向量或首尾相連的向量,運(yùn)運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解,即充分利用相等即充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系向量、相反向量和線段的比例關(guān)系,運(yùn)用三角形、平行四運(yùn)用三角形、平行四邊形法則邊形法則,充分利用三角形中的中位線充分利用三角形中的中位線,相似三角形對(duì)應(yīng)邊相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的平面幾何的性質(zhì)成比例的平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解有直接關(guān)系的向量來(lái)求解. 類型三類型三 數(shù)乘向量與共線向量定理的應(yīng)用數(shù)乘向量與共線向量定理的應(yīng)用 解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:(1)

7、向量共線是指存在實(shí)數(shù)向量共線是指存在實(shí)數(shù)使兩向量互相表示使兩向量互相表示. (2)向量共線的充要條件中向量共線的充要條件中,通常只有非零向量才能表示與之通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想. (3)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線才能得出三點(diǎn)共線. 3ab,1:A,28 ,B D.2k,kabak.3().bABab BCab

8、CDab【典例 】設(shè)兩個(gè)非零向量 與 不共線若求證 三點(diǎn)共線試確定實(shí)數(shù)使和共線 ,28 ,3(),283()28335()5 1,B,ABD.ABab BCab CDabBDBCCDabababababABAB BD解、 共線 又它們有公共點(diǎn)、 、 三點(diǎn)共線 (2)ka+b與與a+kb共線共線, 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù),使使ka+b=(a+kb), 即即ka+b=a+kb. (k-)a=(k-1)b. a、b是不共線的兩個(gè)非零向量是不共線的兩個(gè)非零向量. k-=k-1=0,k2-1=0. k=1. 反思感悟反思感悟(1)向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)

9、,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想. (2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)共線才能得到三點(diǎn)共線. 錯(cuò)源一錯(cuò)源一 忽視零向量性質(zhì)致誤忽視零向量性質(zhì)致誤 【典例典例1】下列敘述錯(cuò)誤的是下列敘述錯(cuò)誤的是_. 若若ab,bc,則則ac; 若非零向量若非零向量a與與b方向相同或相反方向相同或相反,則則a+b與

10、與a、b之一的方之一的方向相同向相同; |a|+|b|=|a+b|a與與b方向相同方向相同; 向量向量b與向量與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得使得b=a; 若若a=b,則則a=b. 0;ABBA 剖析剖析忽視零向量的特殊性是本題出錯(cuò)的主要原因忽視零向量的特殊性是本題出錯(cuò)的主要原因,本題前四本題前四個(gè)結(jié)論都與此有關(guān)個(gè)結(jié)論都與此有關(guān);另外兩個(gè)相反向量的和是一個(gè)零向量另外兩個(gè)相反向量的和是一個(gè)零向量,不是實(shí)數(shù)零不是實(shí)數(shù)零;最后一個(gè)結(jié)論可能忽視了最后一個(gè)結(jié)論可能忽視了=0的情況的情況. 正解正解這六個(gè)命題都是錯(cuò)誤的這六個(gè)命題都是錯(cuò)誤的,因?yàn)閷?duì)于因?yàn)閷?duì)于,當(dāng)

11、當(dāng)b=0,a不一定與不一定與c平行平行; 對(duì)于對(duì)于,當(dāng)當(dāng)a+b=0時(shí)時(shí),其方向任意其方向任意,它與它與a、b的方向都不相同的方向都不相同; 對(duì)于對(duì)于,當(dāng)當(dāng)a、b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立; 對(duì)于對(duì)于,當(dāng)當(dāng)a=0,且且b=0,有無(wú)數(shù)個(gè)值有無(wú)數(shù)個(gè)值;當(dāng)當(dāng)a=0但但b0,不存在不存在. 對(duì)于對(duì)于,由于兩個(gè)向量之和得到的仍是一個(gè)向量由于兩個(gè)向量之和得到的仍是一個(gè)向量,所以所以 對(duì)于對(duì)于,當(dāng)當(dāng)=0時(shí)時(shí),不管不管a與與b的大小與方向如何的大小與方向如何,都有都有a=b,此此時(shí)不一定有時(shí)不一定有a=b. 0.ABBA 答案答案 評(píng)析評(píng)析零向量的特殊性零向量的特殊性 零向量是向量中最特殊

12、的向量零向量是向量中最特殊的向量,規(guī)定零向量的長(zhǎng)度為規(guī)定零向量的長(zhǎng)度為0,其方向其方向是任意的是任意的,零向量與任意向量都共線零向量與任意向量都共線.它在向量中的位置正它在向量中的位置正如實(shí)數(shù)中如實(shí)數(shù)中0的位置一樣的位置一樣,但有了它容易引起一些混淆但有了它容易引起一些混淆,稍微考稍微考慮不到就會(huì)出錯(cuò)慮不到就會(huì)出錯(cuò),考生應(yīng)給予足夠的重視考生應(yīng)給予足夠的重視. 錯(cuò)源二錯(cuò)源二 錯(cuò)用實(shí)數(shù)運(yùn)算律或運(yùn)算法則錯(cuò)用實(shí)數(shù)運(yùn)算律或運(yùn)算法則 |2,ABCD,abc_.| 1,| 2,ABADABaBCb BDc【典例 】如圖已知矩形設(shè)則 錯(cuò)解錯(cuò)解|a+b+c|=|a|+|b|+|c|= 剖析剖析上述解法受實(shí)數(shù)運(yùn)算

13、律和運(yùn)算法則的影響致錯(cuò)上述解法受實(shí)數(shù)運(yùn)算律和運(yùn)算法則的影響致錯(cuò). 35.| | | 2| 4. abcABBCBDABBDADADADAD正解由向量的三角形法則有 答案答案4 技法一技法一 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 【典例典例1】已知任意四邊形已知任意四邊形ABCD,O為其內(nèi)部一點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn),且滿足且滿足 試確定該點(diǎn)的位置試確定該點(diǎn)的位置. 解題切入點(diǎn)解題切入點(diǎn)條件中涉及四個(gè)向量的和的問(wèn)題條件中涉及四個(gè)向量的和的問(wèn)題,為了利用向量為了利用向量的加法法則的加法法則,我們可把四個(gè)向量之和的問(wèn)題我們可把四個(gè)向量之和的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為向量?jī)赊D(zhuǎn)化為向量?jī)蓛上嗉拥那樾蝸?lái)解決兩相加的情形來(lái)解決. 0,OA O

14、BOCOD 解解點(diǎn)點(diǎn)O是四邊形是四邊形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn),證明如下證明如下: 如圖如圖,以以O(shè)A、ODAODE,設(shè)設(shè)OE與與AD交于交于I;以以O(shè)B、OCBOCF,設(shè)設(shè)OF與與BC交于交于J,于是于是I、J分別是分別是AD與與BC的中點(diǎn)的中點(diǎn). 0,IOJ,OADBC.OABDC,O,0,.,OAOBOCODOAODOE OBOCOFOEOFOEOF由于又故即與長(zhǎng)度相同 方向相反 故 、 、 三點(diǎn)共線 即 在、的中點(diǎn)連線上同理可證 也在、的中點(diǎn)連線上 從而點(diǎn) 是四邊形對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)技法二技法二 分類討論思想分類討論思想 【典例典例2】已知向量已知向量a、b,求作向

15、量求作向量c,使使a+b+c=0,表示表示a、b、c的有向線段能構(gòu)成三角形嗎的有向線段能構(gòu)成三角形嗎? 解題切入點(diǎn)解題切入點(diǎn)本題需對(duì)兩已知向量本題需對(duì)兩已知向量a和和b的情形加以分類討論的情形加以分類討論. 解解當(dāng)當(dāng)a和和b中至少有一個(gè)是零向量時(shí)中至少有一個(gè)是零向量時(shí),作圖較簡(jiǎn)單作圖較簡(jiǎn)單,而且顯然它而且顯然它們不構(gòu)成三角形們不構(gòu)成三角形.以下假定以下假定a和和b都為非零向量都為非零向量: 若若ab,則分同向和異向作圖則分同向和異向作圖(略略),它們都不能構(gòu)成三角形它們都不能構(gòu)成三角形. ,(),ab,.,a,bc.ABa BCbACabCAabcAB BCCA 若 與 不平行 則作有向線段于是所以有向線段如圖由以上作圖可知 表示向量和 的有向線段、 和能構(gòu)成三角形