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1、第3章 場論與張量運(yùn)算簡介,2007年9月,傳遞過程原理,2,本章內(nèi)容,流體力學(xué)基本概念一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量場論二階張量運(yùn)算流體力學(xué)本構(gòu)方程小結(jié),3,流體力學(xué)基本概念,連續(xù)介質(zhì)假設(shè)和微團(tuán),真實(shí)流體所占有的空間可近似看作是由“流體質(zhì)點(diǎn)”連續(xù)地?zé)o空隙地充滿著的。,1. 空間尺度（microscope, mesoscope, macroscope),2. 時(shí)間尺度（飛秒、皮秒 、納秒、微秒、毫秒、秒）,4,流體力學(xué)基本概念,拉格朗日方法,著眼點(diǎn)：尋求質(zhì)點(diǎn)位置變化規(guī)律,5,流體力學(xué)基本概念,歐拉方法,著眼點(diǎn)：尋求空間中每個(gè)點(diǎn)上描述流體運(yùn)動隨時(shí)間的變化狀態(tài),6,流體力學(xué)基本概念,泰勒展開(Taylor

2、 Series),一維：,三維：,7,流體力學(xué)基本概念,歐拉方法表達(dá)加速度,v 泰勒展開：,8,流體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律速度類型,平移速度旋轉(zhuǎn)速度變形速度,例子：A. 速度均勻的平移流動B. 平行剪流C. 簡單的環(huán)形流動D. 流線是圓形的無旋流動,9,流體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律剛體運(yùn)動,：角速度,10,流體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律旋度,旋度幾何意義：設(shè)想一向量場,每一點(diǎn)都有一個(gè)向量,則在有旋度的點(diǎn)處周圍很小的空間里,會有向量繞成一個(gè)閉合的平面旋渦狀,像水的旋渦, 這一點(diǎn)的很小的一個(gè)空間里的平均的向量旋轉(zhuǎn)角速度稱為旋度。,旋度物理意義：剛體旋轉(zhuǎn)時(shí)的2倍旋轉(zhuǎn)角速度,11,流

3、體力學(xué)基本概念,流體速度分解定律,S：變形速度張量,12,流體力學(xué)基本概念,渦量, =rot v,13,流體力學(xué)基本概念,體力 單位體積流體上受到的力,g,面力 流體單位面積上受到的力,與面有關(guān)，張量描述,14,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量,張量的物理概念（Tensor),1. 是矢量2. 是面力，與作用面有關(guān),標(biāo)量、矢量、n 階張量的關(guān)系,15,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量,壓力張量,1. 面力2. 各向同性,16,一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量,剪應(yīng)力張量,xy:剪應(yīng)力的 y 分量作用于 x 面上的力,17,場論,定義： 設(shè)在空間中的某個(gè)區(qū)域內(nèi)定義標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)，則稱定義在此空間內(nèi)的函數(shù)為場,18,場論場

4、的分類,標(biāo)量場（溫度場、密度場）矢量場（力場、電磁場、速度場）,均勻場不均勻場,定態(tài)場（不隨時(shí)間改變）非定態(tài)場,無源場（管式場）散度為零無旋場（勢場） 旋度為零,19,場論標(biāo)量、矢量和張量表示,s =標(biāo)量（不加黑的斜體字母）v =矢量（加黑的斜體字母） =張量（加黑的希臘字母）,20,矢量的定義,矢量定義：具有一定的量值和方向的量,矢量相等：量值相等、方向相同（可以是非共線、非同一作用原點(diǎn)),21,矢量加減法,矢量加減法,交換率 v + w = w + v結(jié)合率 ( v + w )+u = v + ( w +u ),22,矢量乘法矢量和標(biāo)量,矢量和標(biāo)量的乘法,交換率（OK）： sv = vs結(jié)

5、合率（OK）： r (s v ) = ( r s ) v 分配率（OK）： ( q + r + s ) v = q v + r v + s v,23,矢量乘法點(diǎn)乘,兩個(gè)矢量標(biāo)量積（點(diǎn)乘、點(diǎn)積）,交換率（OK）： u v = v u結(jié)合率（NA）： ( u v ) w u ( w v ) 分配率（OK）： u v + w = u v + u wv v = ? 幾何意義？,24,矢量乘法叉乘,兩個(gè)矢量矢量積（叉乘、叉積）,交換率（NA）： 結(jié)合率（NA）： 分配率（OK）：,幾何意義？,25,張量乘的階數(shù)計(jì)算,張量乘的階數(shù),標(biāo)量0階張量； 矢量 1階張量； 張量本課通指2階張量,26,標(biāo)量、矢量和

6、張量乘結(jié)果的表示,標(biāo)量、矢量和張量乘結(jié)果的表示,27,以分量表示的矢量運(yùn)算,克羅內(nèi)克符號(Kronecker Delta）符號ij,交錯(cuò)單位張量 ijk,28,ij 和 ijk 的關(guān)系,ij和ijk的關(guān)系,三階行列式 的分量表示法,29,單位矢量的點(diǎn)乘,右手坐標(biāo),單位矢量的點(diǎn)乘,30,單位矢量的叉乘,單位矢量叉乘,31,矢量以分量方式展開,矢量以分量展開,矢量的量值,32,以分量表示的矢量運(yùn)算,矢量加減法,矢量的點(diǎn)乘,矢量的叉乘,33,多重矢量的乘法例1,幾何意義：計(jì)算u,v,w 組成平行六面體的體積,34,多重矢量的乘法例2,35,矢量的微分運(yùn)算,哈密爾頓(Hamilton)算符（nabla

7、/del）,直角坐標(biāo)系中的表達(dá),36,標(biāo)量場的梯度（gradient ）,定義：,又稱為：grad s,37,矢量場的散度（divergence）,定義：,又記為：div v,38,矢量場的旋度（rotation ),定義：,又記為：rot v 或者 curl v,39,標(biāo)量場的Laplace算符,定義：,稱為Laplace算子,直角坐標(biāo)系中,40,標(biāo)量場的隨體導(dǎo)數(shù),隨體導(dǎo)數(shù)定義：,標(biāo)量場的隨體導(dǎo)數(shù)：,41,矢量場的隨體導(dǎo)數(shù),標(biāo)量場的隨體導(dǎo)數(shù)：,只在直角坐標(biāo)系成立,42,二階張量,定義和符號,張量的量值,43,并矢量,并矢量可以看成矢量 v 和矢量 w 的轉(zhuǎn)置的行列式乘積,幷矢量定義,44,單

8、位幷矢量及張量的分量表示,單位幷矢量,.,張量的分量表示（并矢量表示）,直角坐標(biāo)系中的意義,45,單位并矢量的基本運(yùn)算,單位幷矢量的乘法,46,張量的運(yùn)算,張量的加法,張量和標(biāo)量的乘法,47,張量的運(yùn)算,張量間的點(diǎn)乘（）,48,張量的運(yùn)算,張量的雙點(diǎn)乘（：）,49,張量的運(yùn)算,張量和矢量的點(diǎn)乘,50,張量的運(yùn)算,張量和矢量的叉乘,51,張量的微分運(yùn)算,微分并矢量V,52,張量的微分運(yùn)算,張量場的散度,53,張量的微分運(yùn)算,54,張量運(yùn)算恒等式, 為對稱張量,55,張量運(yùn)算恒等式的證明, 為對稱張量,56,張量不變量和張量的幾何表示,張量的主值和主軸,矢量 a 的方向?yàn)閺埩康闹鬏S方向 稱為張量的

9、主值,57,張量不變量和張量的幾何表示,不變量,展開得：,其中：,58,張量不變量和張量的幾何表示,不變量和 的關(guān)系,第一不變量：,第二不變量：,第三不變量：,59,張量不變量和張量的幾何表示,張量分解定理,二階張量可以唯一地分解成一個(gè)對稱張量 S 和一個(gè)反對稱張量 A 之和。,60,張量不變量和張量的幾何表示,二階對稱張量的性質(zhì),S的對稱性不因坐標(biāo)變換而改變二階對稱張量3個(gè)主值都是實(shí)數(shù)、且存在3個(gè)相互垂直的主軸二階對稱張量S在主軸坐標(biāo)系中具有最簡單的形式二階對稱張量的幾何表示橢球面,61,矢量與張量的積分運(yùn)算,奧高（Ostrogradski-Gauss)散度定理,62,矢量與張量的積分運(yùn)算,

10、斯托克斯（Stokes）旋度定理,63,矢量與張量的積分運(yùn)算,散度積分表達(dá)式,旋度積分表達(dá)式,64,矢量與張量的積分運(yùn)算,三維萊布尼茨（Leibniz）公式,Vs 任一曲面元的速度,65,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變換,66,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,柱坐標(biāo)系單位矢量,可通過導(dǎo)數(shù)推導(dǎo),67,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,柱坐標(biāo)系微商,可通過偏導(dǎo)數(shù)鏈規(guī)則推導(dǎo),68,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,球坐標(biāo)系坐標(biāo)變換,69,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,球坐標(biāo)系單位矢量,可通過導(dǎo)數(shù)推導(dǎo),70,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,球坐標(biāo)系微商,可通過偏導(dǎo)數(shù)鏈規(guī)則推導(dǎo),71,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,孤元素和拉梅系

11、數(shù),直角坐標(biāo)系：,柱坐標(biāo)系：,球坐標(biāo)系：,72,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,三種坐標(biāo)系的拉梅系數(shù),73,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,梯度、散度、旋度的通用表達(dá)式,74,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,拉普拉斯算子的通用表達(dá)式,75,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,柱坐標(biāo)系的單位矢量微分,76,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,柱坐標(biāo)系的nabla算符,77,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,柱坐標(biāo)系下的矢量微分的表達(dá)式,78,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,球坐標(biāo)系的單位矢量微分,79,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,球坐標(biāo)系的nabla算符,80,曲線坐標(biāo)系中的矢量和張量,球坐標(biāo)系下的矢量微分的表達(dá)式,81,流體力學(xué)本構(gòu)方程,三維牛頓

12、粘性定律,多少情況下： = 0,82,流體力學(xué)本構(gòu)方程,速度變形張量,83,流體力學(xué)本構(gòu)方程,本構(gòu)方程,對不可壓縮流體：,84,流體力學(xué)本構(gòu)方程,本構(gòu)方程,張量：,帶入得：,85,本章小結(jié),基本概念,歐拉法、場標(biāo)量、矢量和張量（并矢量）單位矢量、單位張量Nabla算符、散度、旋度、拉普拉斯變換三維牛頓粘性定律、本構(gòu)方程,86,本章小結(jié),矢量的基本運(yùn)算,羅克內(nèi)克符號、交錯(cuò)單位張量加減、點(diǎn)乘、叉乘,張量的基本運(yùn)算,加減、點(diǎn)乘、叉乘、雙點(diǎn)乘、并矢量,87,本章小結(jié),矢量和張量的微分運(yùn)算,矢量和張量的積分運(yùn)算,奧高散度定理、Stokes旋度定理、萊布尼茨公式,Nabla算符（哈密頓算符）、散度、旋度、拉普拉斯變換,88,本章小結(jié),矢量和張量的微分運(yùn)算,矢量和張量的積分運(yùn)算,奧高散度定理、Stokes旋度定理、萊布尼茨公式,Nabla算符（哈密頓算符）、散度、旋度、拉普拉斯變換,曲線坐標(biāo)系,柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系坐標(biāo)變換,