《2018高考數(shù)學一輪復習第9章算法初步統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第4節(jié)相關(guān)性最玄乘估計與統(tǒng)計案例教師用書文北師大版.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018高考數(shù)學一輪復習第9章算法初步統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第4節(jié)相關(guān)性最玄乘估計與統(tǒng)計案例教師用書文北師大版.doc-匯文網(wǎng)（11頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例 考綱傳真1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相 關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 3.了解獨立性檢驗(只要求 22 列聯(lián)表)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.了解回歸分析 的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用 1相關(guān)性 (1)線性相關(guān) 若兩個變量 x 和 y 的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是 線性相關(guān)的 (2)非線性相關(guān) 若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān) 的 (3)不相關(guān) 如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量

2、間是不相關(guān)的 2最小二乘估計 (1)最小二乘法 如果有 n 個點( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)可以用下面的表達式來刻畫這些點與 直線 y a bx 的接近程度： y1( a bx1)2 y2( a bx2)2 yn( a bxn)2. 使得上式達到最小值的直線 y a bx 就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘 法 (2)線性回歸方程 方程 y bx a 是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)( x1， y1)，( x2， y2)， ，( xn， yn)的線性回歸方程，其中 a， b 是待定參數(shù) 3回歸分析 (1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一

3、種常用方法 (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)中，( ， )稱為x y 樣本點的中心 (3)相關(guān)系數(shù) r r ； n i 1xiyi nx yn i 1x2i nx2 n i 1y2i ny2 當 r0 時，稱兩個變量正相關(guān) 當 r2.706 時，有 90%的把握判定變量 A， B 有關(guān)聯(lián)； (3)當 23.841 時，有 95%的把握判定變量 A， B 有關(guān)聯(lián)； (4)當 26.635 時，有 99%的把握判定變量 A， B 有關(guān)聯(lián) 1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“” ，錯誤的打“”) (1)“名師出高徒”

4、可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關(guān)關(guān)系() (2)某同學研究賣出的熱飲杯數(shù) y 與氣溫 x()之間的關(guān)系，得回歸方程 2.352 x147.767，則氣溫為 2時，一定可賣出 143 杯熱飲()y (3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢 驗() (4)若事件 A， B 關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的 2的值越小() 答案(1)(2)(3)(4) 2(2017南昌一模)已知變量 x 與 y 正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù) 3， 3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()x y A y0.4 x2.3 B y2 x2.4 C y2

5、x9.5 D y0.3 x4.4 A因為變量 x 和 y 正相關(guān)，排除選項 C，D.又樣本中心(3,3.5)在回歸直線上，排除 B，選項 A 滿足 3(2015全國卷)根據(jù)下面給出的 2004 年至 2013 年我國二氧化硫年排放量(單位： 萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是() 圖 941 A逐年比較，2008 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B2007 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C2006 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) D對于 A 選項，由圖知從 2007 年到 2008 年二氧化硫排放量下降得最多，故 A 正 確對于 B

6、 選項，由圖知，由 2006 年到 2007 年矩形高度明顯下降，因此 B 正確對于 C 選項，由圖知從 2006 年以后除 2011 年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以 C 正 確由圖知 2006 年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，故選 D. 4為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了 100 位居民進 行調(diào)查，經(jīng)過計算 20.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是 () A有 99%的人認為該電視欄目優(yōu)秀 B有 99%的人認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C有 99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系

7、 D只有 26.635 才能有 99%的把握認為“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系” ， 而即使 26.635 也只是對“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個論斷成立的可能性 大小的結(jié)論，與是否有 99%的人等無關(guān)，故只有 D 正確 5(教材改編)若 8 名學生的身高和體重數(shù)據(jù)如下表： 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48 57 54 64 61 43 59 第 3 名學生的體重漏填，但線性回歸方程是 0.849 x85.712，則第 3 名學生的體重y 估計為_kg. 50設(shè)第 3 名學生的體重為 a

8、，則 (4857 a5464614359) 18 0.849 (165165157170175165155170)85.712. 18 解得 a50. 相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)(2015湖北高考)已知變量 x 和 y 滿足關(guān)系 y0.1 x1，變量 y 與 z 正 相關(guān)下列結(jié)論中正確的是() A x 與 y 正相關(guān)， x 與 z 負相關(guān) B x 與 y 正相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) C x 與 y 負相關(guān)， x 與 z 負相關(guān) D x 與 y 負相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) (2)x 和 y 的散點圖如圖 942 所示，則下列說法中所有正確命題的序號為_ 圖 942 x， y 是負相關(guān)關(guān)系； 在該

9、相關(guān)關(guān)系中，若用 y c1ec2x 擬合時的相關(guān)系數(shù)的平方為 r ，用 y bx a 擬合21 時的相關(guān)系數(shù)的平方為 r ，則 r r ；2 21 2 x， y 之間不能建立線性回歸方程 (1)C(2)(1)因為 y0.1 x1 的斜率小于 0，故 x 與 y 負相關(guān)因為 y 與 z 正相關(guān)，可設(shè) z by a， b0，則 z by a0.1 bx b a，故 x 與 z 負相關(guān) (2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此 x， y 是負相關(guān)關(guān)系，故 正確；由散點圖知用 y c1ec2x 擬合比用 y bx a 擬合效果要好，則 r r ，故正確；21 2 x， y 之間可以建立線

10、性回歸方程，但擬合效果不好，故錯誤 規(guī)律方法1.利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡便的方法若 所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關(guān)的 2判斷兩個變量正相關(guān)還是負相關(guān)，有三種方法： (1)利用散點圖 (2)利用相關(guān)系數(shù) r 的符號當 r0 時，正相關(guān)； r0 時，負相關(guān) (3)在已知兩變量線性相關(guān)時，也可以利用回歸方程 y a bx.當 b0 時，兩變量是 正相關(guān)，當 b0 時，兩變量是負相關(guān) 變式訓練 1某公司利潤 y 與銷售總額 x(單位：千萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)： x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3

11、.3 判斷 y 與 x 之間是否具有相關(guān)關(guān)系 解散點圖如下： 由散點圖可以看出各點在一條直線附近且利潤隨銷售總額的增加而增大，它們之間不 僅具有相關(guān)關(guān)系，而且呈正相關(guān). 線性回歸方程及應(yīng)用 (2016全國卷)下圖是我國 2008 年至 2014 年生活垃圾無害化處理量(單位： 億噸)的折線圖 圖 943 注：年份代碼 17 分別對應(yīng)年份 20082014. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 與 t 的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立 y 關(guān)于 t 的回歸方程(系數(shù)精確到 0.01)，預測 2016 年我國生活垃圾無害化處 理量 參考數(shù)據(jù)： yi9.32， tiyi40.17

12、， 0.55， 2.646. 7 i 1 7 i 1 7 i 1 yi y 2 7 參考公式：相關(guān)系數(shù) r ，回歸方程 y a bt n i 1 ti t yi y n i 1 ti t 2 n i 1 yi y 2 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為 b ， a b . n i 1 ti t yi y n i 1 ti t 2 y t 解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得 4， (ti )228， 0.55，2 分t 7 i 1 t 7 i 1 yi y 2 (ti )(yi ) tiyi yi40.1749.322.89， 7 i 1 t y 7 i 1 t 7 i 1 所以 r

13、 0.99. 2.890.5522.646 因為 y 與 t 的相關(guān)系數(shù)近似為 0.99，說明 y 與 t 的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用 線性回歸模型擬合 y 與 t 的關(guān)系. 5 分 (2)由 1.331 及(1)得y 9.327 b 0.103. 8 分 7 i 1 ti t yi y 7 i 1 ti t 2 2.8928 a b 1.3310.10340.92.y t 所以 y 關(guān)于 t 的回歸方程為 y0.920.10 t. 10 分 將 2016 年對應(yīng)的 t9 代入回歸方程得 y0.920.1091.82. 所以預測 2016 年我國生活垃圾無害化處理量約為 1.82 億噸.

14、 12 分 規(guī)律方法1.在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來 確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計算相關(guān)系數(shù) r 進行判斷若具有線性相關(guān)關(guān) 系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值 2(1)正確運用計算 b， a 的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵(2)回歸 直線 y bx a 必過樣本點的中心( ， )x y 變式訓練 2(2014全國卷)某地區(qū) 2007 年至 2013 年農(nóng)村居民家庭人均純收入 y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代號 t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收

15、入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程； (2)利用(1)中的回歸方程，分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的 變化情況，并預測該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： b ， a b . n i 1 ti t yi y n i 1 ti t 2 y t 解(1)由所給數(shù)據(jù)計算得 (1234567)4，t 17 (2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，y 17 (ti )2941014928，3 分 7 i 1 t (ti )(yi )(

16、3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7) 7 i 1 t y 00.110.520.931.614， b 0,5， 7 i 1 ti t yi y 7 i 1 ti t 2 1428 a b 4.30.542.3，y t 所求回歸方程為 y0.5 t2.3. 6 分 (2)由(1)知， b0.50，故 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增 加，平均每年增加 0.5 千元. 9 分 將 2015 年的年份代號 t9 代入(1)中的回歸方程，得 y0.592.36.8， 故預測該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入為 6.8 千元. 12 分 獨立性檢驗 (2017

17、鄭州調(diào)研)某高校共有學生 15 000 人，其中男生 10 500 人， 女生 4 500 人為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收 集 300 位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時) (1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這 300 個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖 944 所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,10)， 10,12)估計該校學生每周平均體育運動時間超過 4 小時的概率； 圖 944 (3)在樣本數(shù)據(jù)中，有 60 位女生的每周平均體育運動時間超過 4 小時，請完

18、成每周平 均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有 95%的把握認為“該校學生的每周平均體育 運動時間與性別有關(guān)”. P( 2 x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 附： 2 . n ad bc 2 a b c d a c b d 解(1)利用分層抽樣，300 90，所以應(yīng)收集 90 位女生的樣本數(shù)據(jù). 4 50015 000 4 分 (2)由頻率分布直方圖得 12(0.0250.100)0.75.所以該校學生每周平均體育運 動時間超過 4 小時的概率的估計值為 0.75. 8 分 (3)由(2)知，300 位學生中有 300

19、0.75225 人的每周平均體育運動時間超過 4 小時， 75 人的每周平均體育運動時間不超過 4 小時. 10 分 又因為樣本數(shù)據(jù)中有 210 份是關(guān)于男生的，90 份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運 動時間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計 每周平均體育運動時間不超過 4 小時 45 30 75 每周平均體育運動時間超過 4 小時 165 60 225 總計 210 90 300 將 22 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得 2的值 2 4.7623.841. 300 4560 16530 27522521090 10021 所以，有 95%的把握認為“該校

20、學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”. 12 分 規(guī)律方法1.在 22 列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足 ad bc0.| ad bc|越小，說明兩個變量之間關(guān)系越弱；| ad bc|越大，說明兩個變量之 間關(guān)系越強 2解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論獨立性檢驗 的一般步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成 22 列聯(lián)表； (2)根據(jù)公式 2 計算 2的值； n ad bc 2 a b a c b d c d (3)比較 2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷 變式訓練 3(2017濟南聯(lián)考)某市地鐵即將于 2017 年 6 月開始運營，為此召開了 一個價格聽證會，擬定

21、價格后又進行了一次調(diào)查，隨機抽查了 50 人，他們的收入與態(tài)度如 下； 月收入(單位：百元) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 贊成定價者人數(shù) 1 2 3 5 3 4 認為價格偏高者人數(shù) 4 8 12 5 2 1 (1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價者” 與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留 2 位小數(shù))； (2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面 22 列聯(lián)表，分析是否有 99%的把握認為“月收入以 55 百 元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”. 月收入不低于 55 百元的人數(shù) 月收入低于 55 百

22、元的人數(shù) 總計 認為價格偏高者 贊成定價者 總計 附： 2 . n ad bc 2 a b c d a c a d P( 2 x0) 0.05 0.01 x0 3.841 6.635 解(1)“贊成定價者”的月平均收入為 x1 201 302 403 505 603 7041 2 3 5 3 4 50.56. “認為價格偏高者”的月平均收入為 x2 204 308 4012 505 602 7014 8 12 5 2 1 38.75， “贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是 x1 x250.5638.7511.81(百元). 5 分 (2)根據(jù)條件可得 22 列聯(lián)表如下： 月收

23、入不低于 55 百元的人數(shù) 月收入低于 55 百元的人數(shù) 總計 認為價格偏高者 3 29 32 贊成定價者 7 11 18 總計 10 40 50 2 6.276.635， 50 311 729 210401832 沒有 99%的把握認為“月收入以 55 百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”. 12 分 思想與方法 1回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學方法主要解決：(1)確定特定量之間是 否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預測變量 的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程 2根據(jù) 2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度 易錯與防范 1回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈 線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義根據(jù) 回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值 2獨立性檢驗中統(tǒng)計量 2的計算公式很復雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代 入公式時出錯，而導致整個計算結(jié)果出錯