《2018高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章算法初步統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第4節(jié)相關(guān)性最玄乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例教師用書(shū)文北師大版.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章算法初步統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第4節(jié)相關(guān)性最玄乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例教師用書(shū)文北師大版.doc（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 考綱傳真1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相 關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求 22 列聯(lián)表)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.了解回歸分析 的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 1相關(guān)性 (1)線性相關(guān) 若兩個(gè)變量 x 和 y 的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，則稱變量間是 線性相關(guān)的 (2)非線性相關(guān) 若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動(dòng)，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān) 的 (3)不相關(guān) 如果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒(méi)有顯示任何關(guān)系，則稱變量

2、間是不相關(guān)的 2最小二乘估計(jì) (1)最小二乘法 如果有 n 個(gè)點(diǎn)( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)可以用下面的表達(dá)式來(lái)刻畫(huà)這些點(diǎn)與 直線 y a bx 的接近程度： y1( a bx1)2 y2( a bx2)2 yn( a bxn)2. 使得上式達(dá)到最小值的直線 y a bx 就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘 法 (2)線性回歸方程 方程 y bx a 是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)( x1， y1)，( x2， y2)， ，( xn， yn)的線性回歸方程，其中 a， b 是待定參數(shù) 3回歸分析 (1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一

3、種常用方法 (2)樣本點(diǎn)的中心 對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)中，( ， )稱為x y 樣本點(diǎn)的中心 (3)相關(guān)系數(shù) r r ； n i 1xiyi nx yn i 1x2i nx2 n i 1y2i ny2 當(dāng) r0 時(shí)，稱兩個(gè)變量正相關(guān) 當(dāng) r2.706 時(shí)，有 90%的把握判定變量 A， B 有關(guān)聯(lián)； (3)當(dāng) 23.841 時(shí)，有 95%的把握判定變量 A， B 有關(guān)聯(lián)； (4)當(dāng) 26.635 時(shí)，有 99%的把握判定變量 A， B 有關(guān)聯(lián) 1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“” ，錯(cuò)誤的打“”) (1)“名師出高徒”

4、可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系() (2)某同學(xué)研究賣(mài)出的熱飲杯數(shù) y 與氣溫 x()之間的關(guān)系，得回歸方程 2.352 x147.767，則氣溫為 2時(shí)，一定可賣(mài)出 143 杯熱飲()y (3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢 驗(yàn)() (4)若事件 A， B 關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的 2的值越小() 答案(1)(2)(3)(4) 2(2017南昌一模)已知變量 x 與 y 正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù) 3， 3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()x y A y0.4 x2.3 B y2 x2.4 C y2

5、x9.5 D y0.3 x4.4 A因?yàn)樽兞?x 和 y 正相關(guān)，排除選項(xiàng) C，D.又樣本中心(3,3.5)在回歸直線上，排除 B，選項(xiàng) A 滿足 3(2015全國(guó)卷)根據(jù)下面給出的 2004 年至 2013 年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位： 萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是() 圖 941 A逐年比較，2008 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B2007 年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C2006 年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D2006 年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) D對(duì)于 A 選項(xiàng)，由圖知從 2007 年到 2008 年二氧化硫排放量下降得最多，故 A 正 確對(duì)于 B

6、 選項(xiàng)，由圖知，由 2006 年到 2007 年矩形高度明顯下降，因此 B 正確對(duì)于 C 選項(xiàng)，由圖知從 2006 年以后除 2011 年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以 C 正 確由圖知 2006 年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選 D. 4為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了 100 位居民進(jìn) 行調(diào)查，經(jīng)過(guò)計(jì)算 20.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說(shuō)法正確的是 () A有 99%的人認(rèn)為該電視欄目?jī)?yōu)秀 B有 99%的人認(rèn)為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C有 99%的把握認(rèn)為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D沒(méi)有理由認(rèn)為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系

7、 D只有 26.635 才能有 99%的把握認(rèn)為“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系” ， 而即使 26.635 也只是對(duì)“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個(gè)論斷成立的可能性 大小的結(jié)論，與是否有 99%的人等無(wú)關(guān)，故只有 D 正確 5(教材改編)若 8 名學(xué)生的身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表： 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重/kg 48 57 54 64 61 43 59 第 3 名學(xué)生的體重漏填，但線性回歸方程是 0.849 x85.712，則第 3 名學(xué)生的體重y 估計(jì)為_(kāi)kg. 50設(shè)第 3 名學(xué)生的體重為 a

8、，則 (4857 a5464614359) 18 0.849 (165165157170175165155170)85.712. 18 解得 a50. 相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)(2015湖北高考)已知變量 x 和 y 滿足關(guān)系 y0.1 x1，變量 y 與 z 正 相關(guān)下列結(jié)論中正確的是() A x 與 y 正相關(guān)， x 與 z 負(fù)相關(guān) B x 與 y 正相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) C x 與 y 負(fù)相關(guān)， x 與 z 負(fù)相關(guān) D x 與 y 負(fù)相關(guān)， x 與 z 正相關(guān) (2)x 和 y 的散點(diǎn)圖如圖 942 所示，則下列說(shuō)法中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi) 圖 942 x， y 是負(fù)相關(guān)關(guān)系； 在該

9、相關(guān)關(guān)系中，若用 y c1ec2x 擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)的平方為 r ，用 y bx a 擬合21 時(shí)的相關(guān)系數(shù)的平方為 r ，則 r r ；2 21 2 x， y 之間不能建立線性回歸方程 (1)C(2)(1)因?yàn)?y0.1 x1 的斜率小于 0，故 x 與 y 負(fù)相關(guān)因?yàn)?y 與 z 正相關(guān)，可設(shè) z by a， b0，則 z by a0.1 bx b a，故 x 與 z 負(fù)相關(guān) (2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此 x， y 是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故 正確；由散點(diǎn)圖知用 y c1ec2x 擬合比用 y bx a 擬合效果要好，則 r r ，故正確；21 2 x， y 之間可以建立線

10、性回歸方程，但擬合效果不好，故錯(cuò)誤 規(guī)律方法1.利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡(jiǎn)便的方法若 所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，則稱變量間是線性相關(guān)的 2判斷兩個(gè)變量正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，有三種方法： (1)利用散點(diǎn)圖 (2)利用相關(guān)系數(shù) r 的符號(hào)當(dāng) r0 時(shí)，正相關(guān)； r0 時(shí)，負(fù)相關(guān) (3)在已知兩變量線性相關(guān)時(shí)，也可以利用回歸方程 y a bx.當(dāng) b0 時(shí)，兩變量是 正相關(guān)，當(dāng) b0 時(shí)，兩變量是負(fù)相關(guān) 變式訓(xùn)練 1某公司利潤(rùn) y 與銷(xiāo)售總額 x(單位：千萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3

11、.3 判斷 y 與 x 之間是否具有相關(guān)關(guān)系 解散點(diǎn)圖如下： 由散點(diǎn)圖可以看出各點(diǎn)在一條直線附近且利潤(rùn)隨銷(xiāo)售總額的增加而增大，它們之間不 僅具有相關(guān)關(guān)系，而且呈正相關(guān). 線性回歸方程及應(yīng)用 (2016全國(guó)卷)下圖是我國(guó) 2008 年至 2014 年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位： 億噸)的折線圖 圖 943 注：年份代碼 17 分別對(duì)應(yīng)年份 20082014. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 與 t 的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明； (2)建立 y 關(guān)于 t 的回歸方程(系數(shù)精確到 0.01)，預(yù)測(cè) 2016 年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處 理量 參考數(shù)據(jù)： yi9.32， tiyi40.17

12、， 0.55， 2.646. 7 i 1 7 i 1 7 i 1 yi y 2 7 參考公式：相關(guān)系數(shù) r ，回歸方程 y a bt n i 1 ti t yi y n i 1 ti t 2 n i 1 yi y 2 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為 b ， a b . n i 1 ti t yi y n i 1 ti t 2 y t 解(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得 4， (ti )228， 0.55，2 分t 7 i 1 t 7 i 1 yi y 2 (ti )(yi ) tiyi yi40.1749.322.89， 7 i 1 t y 7 i 1 t 7 i 1 所以 r

13、 0.99. 2.890.5522.646 因?yàn)?y 與 t 的相關(guān)系數(shù)近似為 0.99，說(shuō)明 y 與 t 的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用 線性回歸模型擬合 y 與 t 的關(guān)系. 5 分 (2)由 1.331 及(1)得y 9.327 b 0.103. 8 分 7 i 1 ti t yi y 7 i 1 ti t 2 2.8928 a b 1.3310.10340.92.y t 所以 y 關(guān)于 t 的回歸方程為 y0.920.10 t. 10 分 將 2016 年對(duì)應(yīng)的 t9 代入回歸方程得 y0.920.1091.82. 所以預(yù)測(cè) 2016 年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為 1.82 億噸.

14、 12 分 規(guī)律方法1.在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái) 確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計(jì)算相關(guān)系數(shù) r 進(jìn)行判斷若具有線性相關(guān)關(guān) 系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值 2(1)正確運(yùn)用計(jì)算 b， a 的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵(2)回歸 直線 y bx a 必過(guò)樣本點(diǎn)的中心( ， )x y 變式訓(xùn)練 2(2014全國(guó)卷)某地區(qū) 2007 年至 2013 年農(nóng)村居民家庭人均純收入 y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代號(hào) t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收

15、入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程； (2)利用(1)中的回歸方程，分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的 變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： b ， a b . n i 1 ti t yi y n i 1 ti t 2 y t 解(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得 (1234567)4，t 17 (2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，y 17 (ti )2941014928，3 分 7 i 1 t (ti )(yi )(

16、3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7) 7 i 1 t y 00.110.520.931.614， b 0,5， 7 i 1 ti t yi y 7 i 1 ti t 2 1428 a b 4.30.542.3，y t 所求回歸方程為 y0.5 t2.3. 6 分 (2)由(1)知， b0.50，故 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增 加，平均每年增加 0.5 千元. 9 分 將 2015 年的年份代號(hào) t9 代入(1)中的回歸方程，得 y0.592.36.8， 故預(yù)測(cè)該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入為 6.8 千元. 12 分 獨(dú)立性檢驗(yàn) (2017

17、鄭州調(diào)研)某高校共有學(xué)生 15 000 人，其中男生 10 500 人， 女生 4 500 人為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收 集 300 位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí)) (1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？ (2)根據(jù)這 300 個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖 944 所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,10)， 10,12)估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò) 4 小時(shí)的概率； 圖 944 (3)在樣本數(shù)據(jù)中，有 60 位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò) 4 小時(shí)，請(qǐng)完

18、成每周平 均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有 95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育 運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”. P( 2 x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 附： 2 . n ad bc 2 a b c d a c b d 解(1)利用分層抽樣，300 90，所以應(yīng)收集 90 位女生的樣本數(shù)據(jù). 4 50015 000 4 分 (2)由頻率分布直方圖得 12(0.0250.100)0.75.所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn) 動(dòng)時(shí)間超過(guò) 4 小時(shí)的概率的估計(jì)值為 0.75. 8 分 (3)由(2)知，300 位學(xué)生中有 300

19、0.75225 人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò) 4 小時(shí)， 75 人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò) 4 小時(shí). 10 分 又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有 210 份是關(guān)于男生的，90 份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運(yùn) 動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計(jì) 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò) 4 小時(shí) 45 30 75 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò) 4 小時(shí) 165 60 225 總計(jì) 210 90 300 將 22 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 2的值 2 4.7623.841. 300 4560 16530 27522521090 10021 所以，有 95%的把握認(rèn)為“該校

20、學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”. 12 分 規(guī)律方法1.在 22 列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足 ad bc0.| ad bc|越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；| ad bc|越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之 間關(guān)系越強(qiáng) 2解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論獨(dú)立性檢驗(yàn) 的一般步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成 22 列聯(lián)表； (2)根據(jù)公式 2 計(jì)算 2的值； n ad bc 2 a b a c b d c d (3)比較 2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷 變式訓(xùn)練 3(2017濟(jì)南聯(lián)考)某市地鐵即將于 2017 年 6 月開(kāi)始運(yùn)營(yíng)，為此召開(kāi)了 一個(gè)價(jià)格聽(tīng)證會(huì)，擬定

21、價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了 50 人，他們的收入與態(tài)度如 下； 月收入(單位：百元) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 贊成定價(jià)者人數(shù) 1 2 3 5 3 4 認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù) 4 8 12 5 2 1 (1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者” 與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留 2 位小數(shù))； (2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面 22 列聯(lián)表，分析是否有 99%的把握認(rèn)為“月收入以 55 百 元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”. 月收入不低于 55 百元的人數(shù) 月收入低于 55 百

22、元的人數(shù) 總計(jì) 認(rèn)為價(jià)格偏高者 贊成定價(jià)者 總計(jì) 附： 2 . n ad bc 2 a b c d a c a d P( 2 x0) 0.05 0.01 x0 3.841 6.635 解(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為 x1 201 302 403 505 603 7041 2 3 5 3 4 50.56. “認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為 x2 204 308 4012 505 602 7014 8 12 5 2 1 38.75， “贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是 x1 x250.5638.7511.81(百元). 5 分 (2)根據(jù)條件可得 22 列聯(lián)表如下： 月收

23、入不低于 55 百元的人數(shù) 月收入低于 55 百元的人數(shù) 總計(jì) 認(rèn)為價(jià)格偏高者 3 29 32 贊成定價(jià)者 7 11 18 總計(jì) 10 40 50 2 6.276.635， 50 311 729 210401832 沒(méi)有 99%的把握認(rèn)為“月收入以 55 百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”. 12 分 思想與方法 1回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法主要解決：(1)確定特定量之間是 否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量 的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)；(3)求出線性回歸方程 2根據(jù) 2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度 易錯(cuò)與防范 1回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈 線性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無(wú)意義根據(jù) 回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值 2獨(dú)立性檢驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)量 2的計(jì)算公式很復(fù)雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代 入公式時(shí)出錯(cuò)，而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算結(jié)果出錯(cuò)