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1、應(yīng)應(yīng) 用用 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)（06級融資理財級融資理財1班）班）主講：彭如海教授主講：彭如海教授 嶺嶺 南南 學(xué)學(xué) 院院 江江 蘇蘇 科科 技技 大大 學(xué)學(xué)第第9講講 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所隱函數(shù)及由參數(shù)方程所 確定的函確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、授課時間：一、授課時間：20074173、4節(jié)節(jié)二、教學(xué)目的要求：二、教學(xué)目的要求：在復(fù)習(xí)鞏固上節(jié)在復(fù)習(xí)鞏固上節(jié)顯函數(shù)顯函數(shù) 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運算法則的基礎(chǔ)上，講述并要求掌握數(shù)運算法則的基礎(chǔ)上，講述并要求掌握隱函數(shù)隱函數(shù)與與參數(shù)方程確定的函數(shù)參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法。的求導(dǎo)方法。三、教學(xué)重點：三、教學(xué)重點：隱函數(shù)與參數(shù)方程確定的函數(shù)的隱函數(shù)與參數(shù)方程確

2、定的函數(shù)的求導(dǎo)；求導(dǎo)；教學(xué)難點：教學(xué)難點：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。四、課型、教學(xué)方法：講述為主，講練結(jié)合。四、課型、教學(xué)方法：講述為主，講練結(jié)合。五、教學(xué)手段：多媒體適當(dāng)板書。五、教學(xué)手段：多媒體適當(dāng)板書。繼續(xù)繼續(xù)【22】課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：習(xí)題習(xí)題22）2（14）復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1 1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)

3、和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）2 2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則注：以上公式與法則是針對注：以上公式與法則是針對 顯函數(shù)而言的。顯函數(shù)而言的。易知函數(shù)用解析法表示的方法有：【1】顯函數(shù)（上節(jié)已講其求導(dǎo)公式與法則）顯函數(shù)（上節(jié)已講其求導(dǎo)公式與法則）【2】隱函數(shù)隱函數(shù)【3】用參數(shù)方程表示的函數(shù)，即用參數(shù)方程表示的函數(shù)，即問：對問：對【2】、【3】表示的函數(shù)如何求導(dǎo)？表示的函數(shù)如何求導(dǎo)？第第9講講 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所隱函數(shù)及由參數(shù)方程

4、所 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【1】23隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【2】總結(jié)總結(jié)【3】課堂練習(xí)課堂練習(xí)【1 1】2 23 3隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的二、由參數(shù)方程所確定的二、由參數(shù)方程所確定的二、由參數(shù)方程所確定的 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分三、對數(shù)微分法三、

5、對數(shù)微分法三、對數(shù)微分法三、對數(shù)微分法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義:隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則:用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).例例1 1解解解得解得課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 1 1 1例例例例2 2 2 2。30303030設(shè)設(shè)方方程程 x2+y2=R2(R 為為常常數(shù)數(shù))確確定定函函數(shù)數(shù) y=y(x)，解解 將方將程兩邊求導(dǎo)，可得將方將程兩邊求導(dǎo)，可得 當(dāng)當(dāng) y 0 時時或或例例 2 設(shè)方程設(shè)方程 y+x exy=0 確定了函

6、數(shù)確定了函數(shù) y=y(x)，解解 方程兩邊求導(dǎo)，得方程兩邊求導(dǎo)，得當(dāng)當(dāng) 1-xexy 0 時時，解得，解得即即例例 3 求求曲曲線線 x2+y4=17 在在 x=4 處處對對應(yīng)應(yīng)于于曲曲線上的點的切線方程線上的點的切線方程.解解 方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得 即即對對應(yīng)應(yīng)于于 x=4 有有兩兩個個縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)，這這就就是是說說曲曲線線上上有有兩兩個個點點 P1(4,1)和和 P2(4,-1).將將 x=4 代入方程，得代入方程，得 y=1.在在 P1 處的處的切線斜率切線斜率 y|(4,1)=-2，y 1=-2(x-4)即即 y+2x 9=0在點在點 P2 處的切線方程為處的切線方

7、程為y+1=2(x-4)，即即 y-2x+9=0 在在 P2 處處切切線線的的斜率斜率 y|(4,-1)=2.所以，在點所以，在點 P1 處的切線方程為處的切線方程為【再用隱函數(shù)求導(dǎo)法補證反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式再用隱函數(shù)求導(dǎo)法補證反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式】設(shè)設(shè) y=arcsin x，則，則 x=sin y，兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得cos y 取取正號，正號，二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如例如消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得例例 4設(shè)參數(shù)方程設(shè)參數(shù)

8、方程 (橢圓方程橢圓方程)確確定了函數(shù)定了函數(shù) y=y(x)，解解 所以所以例例5 5解解 所求切線方程為所求切線方程為例例 6 設(shè)炮彈與地平線成設(shè)炮彈與地平線成 a a 角，初速為角，初速為 v0 0 射出，射出，如果不計空氣阻力，以發(fā)射點為原點，如果不計空氣阻力，以發(fā)射點為原點，地平線為地平線為 x 軸，過原點垂直軸，過原點垂直 x 軸方向上的直線為軸方向上的直線為 y 軸軸(如圖如圖).).由物理學(xué)知道它的運動方程為由物理學(xué)知道它的運動方程為求求(1)炮彈在時刻炮彈在時刻 t 時的速度大小與方向，時的速度大小與方向，(2)如如果果中中彈彈點點與與以以射射點點同同在在一一水水平平線線上上，

9、求求炮炮彈彈的的射射程程.yOx中彈點中彈點解解 (1)炮彈的水平方向速度為炮彈的水平方向速度為 炮彈的垂直方向速度為炮彈的垂直方向速度為yOx中彈點中彈點VxVy所以，在所以，在 t 時炮彈速度的大小為時炮彈速度的大小為它它的的位位置置是是在在 t 時時所所對對應(yīng)應(yīng)的的點點處處的的切切線線上上，且且沿沿炮炮彈的前進(jìn)方向，其斜率為彈的前進(jìn)方向，其斜率為(2)令令 y=0，得中彈點所對應(yīng)的時刻得中彈點所對應(yīng)的時刻 三、對數(shù)求導(dǎo)法三、對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù)上述函數(shù)的求導(dǎo)方法采用上述函數(shù)的求導(dǎo)方法采用對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法：先對方程兩邊取對數(shù)先對方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)

10、方法求出導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍:例例7 7解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得例例8 8解解等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得一般地一般地課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)2 2 2 2解解兩邊取對數(shù)，得兩邊取對數(shù)，得兩邊求導(dǎo)，兩邊求導(dǎo)，例例 9 設(shè)設(shè)3所以所以【2】總結(jié)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則總結(jié)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則(6)參變量函

11、數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則1 1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）2 2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍:(5)(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).(6)(6)參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則【3】課堂練習(xí)與課外作業(yè)課堂練習(xí)與課外作業(yè)課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：習(xí)題習(xí)題23）1（5）、）、3、7（3）課外作業(yè)：課外作業(yè)：習(xí)題習(xí)題23）1（2）（）（6）、）、2、4（1）（）（4）、）、7（1）