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1、第四第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定函數(shù)的函數(shù)及由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù) 一、一、隱函數(shù)的求函數(shù)的求導(dǎo)法法則 這種種對應(yīng)關(guān)系可以有多種表示方式關(guān)系可以有多種表示方式.1、隱函數(shù)的定函數(shù)的定義常常見的表示方式的表示方式為上述函數(shù)稱上述函數(shù)稱為顯式函數(shù)式函數(shù).體體現(xiàn).可以確定函數(shù)可以確定函數(shù) 1.定定義隱函數(shù)函數(shù).因因?yàn)樽ⅲ鹤ⅲ翰⒉皇撬械姆匠潭伎梢源_定并不是所有的方程都可以確定隱函數(shù)的函數(shù)的.一個方程能確定一個方程能確定隱函數(shù)是需要函數(shù)是需要滿足一定條件的足一定條件的.例如例如2.部分部分隱函數(shù)可以函數(shù)可以顯化化，即從方程中解出，即從方程中解出 y(x)的表達(dá)式的表達(dá)式.但但許多多隱函數(shù)不易

2、或者不能函數(shù)不易或者不能顯化化.例如：例如：問題:如何求如何求隱函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？數(shù)？（這里假里假設(shè)隱函數(shù)存在且可函數(shù)存在且可導(dǎo)，至于，至于隱函數(shù)存在且函數(shù)存在且可可導(dǎo)所需的條件，下學(xué)期學(xué)所需的條件，下學(xué)期學(xué)習(xí).）情形情形1:隱函數(shù)可以函數(shù)可以顯化化,顯化后求化后求導(dǎo)即可即可.情形情形2:隱函數(shù)無法函數(shù)無法顯化化,應(yīng)用用隱函數(shù)求函數(shù)求導(dǎo)法法則求求導(dǎo).3.例例1 1解解上述方程兩上述方程兩邊關(guān)于關(guān)于x求求導(dǎo)，得，得4.例例1 1解解 上述上述過程亦可如下表述：程亦可如下表述：方程兩方程兩邊關(guān)于關(guān)于x求求導(dǎo)，注意注意y是是x的函數(shù)的函數(shù)5.隱函數(shù)求函數(shù)求導(dǎo)法法則思想思想:從中解出從中解出 即即可可

3、.應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法法則直接直接對方程關(guān)于方程關(guān)于x進(jìn)行求行求導(dǎo)，例例2 2解解方程兩方程兩邊關(guān)于關(guān)于x求求導(dǎo)（注意注意y是是x的函數(shù)的函數(shù))，得，得解得解得 6.例例3 3解解所以所求切所以所求切線方程方程為：方程兩方程兩邊關(guān)于關(guān)于x求求導(dǎo)，得，得7.例例4 4解解 由例由例2 2得，得，8.例例4 4另解另解 原方程兩原方程兩邊關(guān)于關(guān)于x求求導(dǎo)，得，得上式兩上式兩邊繼續(xù)關(guān)于關(guān)于x求求導(dǎo)，得，得9.二、二、對數(shù)求數(shù)求導(dǎo)法法方法方法：先先對函數(shù)兩函數(shù)兩邊取取對數(shù)數(shù),利用利用對數(shù)性數(shù)性質(zhì)化化簡,然后然后應(yīng)用用隱函數(shù)求函數(shù)求導(dǎo)的方法求得的方法求得導(dǎo)數(shù)數(shù).回回顧對數(shù)性數(shù)性質(zhì)：對數(shù)恒等式數(shù)

4、恒等式10.例例5 5解解 等式兩等式兩邊取取對數(shù)數(shù),化化簡11.所以所以說明：明：12.例例5 5解解 等式兩等式兩邊取取對數(shù)數(shù),化化簡得得13.例例6 6解解等式兩等式兩邊取取對數(shù)數(shù),化化簡14.例例5 5解解等式兩等式兩邊取取對數(shù)數(shù),化化簡注意注意：需把：需把 y 換回成原來表達(dá)式回成原來表達(dá)式.勿勿丟15.例例6 6本本題常常見問題：1 1、為取取對數(shù)而取數(shù)而取對數(shù)數(shù),沒有任何化沒有任何化簡.比原式更繁比原式更繁.2 2、雖然然進(jìn)行了化行了化簡,但沒有化但沒有化簡到最到最簡單,就急著求就急著求導(dǎo).16.例例7 7解解等式兩等式兩邊取取對數(shù)得數(shù)得另解另解對數(shù)恒等式數(shù)恒等式17.例例8 8

5、解解等式兩等式兩邊取取對數(shù)得數(shù)得18.19作作業(yè)19.20知知識回回顧1、隱函數(shù)求函數(shù)求導(dǎo)法法則從中解出從中解出 即即可可.求求導(dǎo)法法則直接直接對方程關(guān)于方程關(guān)于x進(jìn)行求行求導(dǎo),得包含得包含 的方程，的方程，2、對數(shù)求數(shù)求導(dǎo)法法方法方法：先先對函數(shù)兩函數(shù)兩邊取取對數(shù)數(shù),利用利用對數(shù)性數(shù)性質(zhì)化化簡,然后然后應(yīng)用用隱函數(shù)求函數(shù)求導(dǎo)的方法求得的方法求得導(dǎo)數(shù)數(shù).適用適用題型型：由多個初等函數(shù)通由多個初等函數(shù)通過乘、除、乘方、開方運(yùn)乘、除、乘方、開方運(yùn)算所構(gòu)成的復(fù)算所構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)和函數(shù)和冪指函數(shù)指函數(shù).20.21例例9 9解解等式兩等式兩邊取取對數(shù)得數(shù)得21.三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法法則可得可得即即則稱此函數(shù)稱此函數(shù)為由參數(shù)方程確定的由參數(shù)方程確定的參數(shù)式函數(shù)參數(shù)式函數(shù).22.即即勿勿丟注：注：書上那個很復(fù)上那個很復(fù)雜的公式不用去的公式不用去記憶.23.例例1010解解則是是錯解，因解，因?yàn)檫@樣是是對參數(shù)參數(shù) t 求求導(dǎo)而非而非對自自變量量 x 求求導(dǎo).24.25例例1111解解25.例例1212解解 所求切所求切線方程方程為26.