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1、1,第四節(jié) 高階線性微分方程,線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),小結(jié) 思考題 作業(yè),二階線性微分方程,線性,(higher-order linear ordinary differential equation),第十二章 微分方程,2,二階,二階線性齊次微分方程,二階線性非齊次微分方程,微分方程,形如,一、二階線性微分方程,線性,微分方程,n階,線性,3,定理1,？,證,疊加原理,一定是通解,(1),二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu),解,1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu),齊次,4,線性無關(guān),定義,線性相關(guān).,否則稱,線性無關(guān).,如,線性相關(guān),恒等式成立,如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù),使得當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi),那末稱這n個(gè)函

2、數(shù)在區(qū)間I內(nèi),為定義在區(qū)間I內(nèi)的n個(gè)函數(shù).,5,特別地,如,線性無關(guān).,定理2,通解,為了求,只要求它的兩個(gè)線性無關(guān)的特解.,線性無關(guān),的特解,那末,也是(1)的,齊次,線性方程的通解,若在I上有,通解.,6,定理2,推論,是n 階齊次,線性方程,的n 個(gè)線性無關(guān)的解,那么, 此方程的通解為,其中,為任意常數(shù).,可推廣到n 階齊次線性方程.,7,2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu),定理3,的一個(gè)特解,為了求,非齊次線性方程的一個(gè)特解,和對(duì)應(yīng)齊次線性方程,只要求得:,的通解.,非齊次,(2),非齊次,線性方程的通解,Y 是與(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的通解,是二階非齊次線性微分方程(2)的,通解.

3、,是二階非齊次線性微分方程,8,已知,的通解.,又容易驗(yàn)證,是所給方程的一個(gè)特解.,是非齊次方程的通解.,如,是二階非齊次線性方程,是對(duì)應(yīng)齊次方程,9,解的疊加原理,定理4,之和,的特解,那么,就是原方程的特解.,定理3和定理4也可推廣到n 階非齊次線性方程.,10,求解,解,的通解是,再考慮兩個(gè)方程,分別是上述兩個(gè)方程的特解.,所以原方程的通解為,例,11,線性微分方程解的結(jié)構(gòu),線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念,三、小結(jié),線性微分方程的概念,12,思考題,北方交大93級(jí)考題(7分),都是微分方程:,求此方程的通解.,的解,13,證,齊次方程的特解.,非齊次線性方程的兩個(gè)特解之差,是對(duì)應(yīng),結(jié)論,所以,非齊次線性方程的兩個(gè)特解,則,是齊次方程的解.,14,方程的通解為,或,或,因而,齊次線性方程的通解,解,都是微分方程:,求此方程的通解.,的解,線性無關(guān).,所以,15,作 業(yè),習(xí)題12-7(300頁）,1. (1) (3) (5) 2. 3. 4. (2)(4)(6),