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1、1,第十二章 微分方程,differential equation,2,利用函數(shù)關(guān)系可以對(duì)客觀事物作定量分析.,但在許多實(shí)際問(wèn)題中,而根據(jù)問(wèn)題所服從的客觀,含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式,關(guān)系式稱(chēng)為,對(duì)它進(jìn)行研究確定出未知,實(shí)際上就解決了最,不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系,只能列出,把這樣的,牛頓和萊布尼茨,求解問(wèn)題.,微分方程.,規(guī)律,函數(shù)的過(guò)程就是,確定的微積分運(yùn)算的互逆性,簡(jiǎn)單的微分方程,解微分方程.,第十二章 微分方程,3,本章主要介紹微分方程的一些基本概念和幾種常用的微分方程的解法,1. 微分方程的基本概念;,2. 一階微分方程;,3. 幾種可積的高階微分方程;,4. 線性微分方程及

2、其通解的結(jié)構(gòu);,5. 常系數(shù)齊次線性方程;,6. 常系數(shù)非齊次線性方程.,討論如下幾個(gè)問(wèn)題:,第十二章 微分方程,4,問(wèn)題的提出,基本概念,小結(jié) 思考題 作業(yè),(differential equation),第一節(jié) 微分方程的基本概念,第十二章 微分方程,5,解,可直接積分的方程,例,一曲線通過(guò)點(diǎn),且在該曲線上任一點(diǎn),處的切線的斜率為,求這曲線的方程.,一、問(wèn)題的提出,設(shè)所求曲線為,所求曲線方程為,6,解,可直接積分的方程,例,列車(chē)在平直的線路上以,的速度行駛,當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度,問(wèn)開(kāi)始制動(dòng),后多少時(shí)間列車(chē)才能停住?,以及列車(chē)在這段時(shí)間,內(nèi)行駛了多少路程?,設(shè)制動(dòng)后 t 秒鐘行駛 s 米,

3、7,故,得到開(kāi)始制動(dòng)到列車(chē)完全停住共需時(shí)間,得到列車(chē)在這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程,8,我們所學(xué)習(xí)的不定積分,實(shí)際上就是求解,有些微分方程雖不象,但經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn), 可以變成以上的形式.,這些方程也可看作可直接積分的方程.,這樣簡(jiǎn)單,最簡(jiǎn)單的一類(lèi)微分方程.,9,如,二、基本概念,凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱(chēng),未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程為,方程中所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng),微分方程.,常微分方程;,未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程為,偏微分方程.,微分方程的階.,一階,一階,二階,一階,10,代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱(chēng)為,微分方程的解.,微分方程的解的分類(lèi),(1)通解,微分方程的解中含有任意常數(shù),且

4、任意,常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2) 特解,確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,如方程,通解,通解,特解,特解,11,初始條件,用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.,通解和特解是一般和特殊的關(guān)系.,曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2).,如前例,初值問(wèn)題(柯西問(wèn)題),求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.,解的圖象,通解的圖象,微分方程的積分曲線.,積分曲線族.,12,是過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;,一階,二階,是過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值,幾何意義,幾何意義,定值的積分曲線.,一般的n階微分方程為,已解出最高階導(dǎo)數(shù)的微分方程,今后討論,13,解,例,的表達(dá)式代入原方程,并求滿足初等條件,14,所求特解為,且為,通解.,

5、而,是原方程的解,15,試求下列微分方程在指定形式下的解:,例,解,得,得,代入微分方程中,得,得兩個(gè)解,16,例 求含有兩個(gè)任意常數(shù)C1, C2的曲線族,滿足的微分方程.,解,求導(dǎo)得,所求的微分方程,便得到,17,微分方程,微分方程的階,微分方程的解,通解,初始條件,特解,初值問(wèn)題,積分曲線,四、小結(jié),微分方程的基本概念:,18,思考題 (是非題),微分方程的通解是否包含它所有的解?,非,解答,微分方程的通解不一定否包含它所有的解.,例如, 微分方程,的通解為,其中C為任意常數(shù).,的通解為,但它不能包含方程的解:,這種解稱(chēng)為奇解,19,作 業(yè),習(xí)題12-1(263頁(yè)）,2.(3)(4) 3.(1) 4. (2) 5.(1)(2),