《高等數(shù)學(xué)微分方程總結(jié)課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)微分方程總結(jié)課件.ppt（23頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、求解流程圖求解流程圖微分方程微分方程求解求解總結(jié)總結(jié)1.折線積分折線積分2.湊全微分湊全微分3.定積分定積分轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)為z的一階線性的一階線性關(guān)于關(guān)于u一階一階二階變系數(shù)二階二階一階二階常系數(shù)解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)P338P348一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1.一階一階標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵:辨別方程類型辨別方程類型,掌握求解步驟掌握求解步驟2.一階一階非標(biāo)準(zhǔn)非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解類型方程求解(1)變量代換法變量代換法 代換代換自變量自變量代換代換因變量因變量代換代換某組合式某組合式(2)積分因子法積分因子法 選積分因子選積分因子,解

2、全微分方程解全微分方程四個標(biāo)準(zhǔn)類型四個標(biāo)準(zhǔn)類型:可分離變量方程可分離變量方程,齊次方程齊次方程,線性方程線性方程,全微分方程全微分方程 例例1.1.求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示:(1)故為分離變量方程故為分離變量方程:通解通解1、一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程兩邊同除以方程兩邊同除以 x 即為齊次方程即為齊次方程,令令 y=u x,化為分化為分離變量方程離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位調(diào)換自變量與因變量的地位調(diào)換自變量與因變量的地位調(diào)換自變量與因變量的地位 ,用線性方程通解公式求解用線性方程通解公式求解.化為化為方法方法 1 這是一個齊次方程這是一個齊次方程.

3、方法方法 2 化為微分形式化為微分形式 故這是一個全微分方程故這是一個全微分方程.例例2.2.求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示:(1)令令 u=x y,得得(2)將方程改寫為將方程改寫為(伯努利方程伯努利方程)(分離變量方程分離變量方程)原方程化為原方程化為二、非標(biāo)準(zhǔn)類型：令 y=u t(齊次方程齊次方程)令 t=x 1,則則可分離變量方程求解可分離變量方程求解化方程為化方程為變方程為變方程為兩邊乘積分因子兩邊乘積分因子用湊微分法得通解用湊微分法得通解:例例例例3.3.3.3.設(shè)設(shè)F(x)f(x)g(x),其中函數(shù)其中函數(shù) f(x),g(x)在在(,+

4、)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:(1)求求F(x)所滿足的一階微分方程所滿足的一階微分方程;(2)求出求出F(x)的表達(dá)式的表達(dá)式.解解:(1)所以所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程滿足的一階線性非齊次微分方程:(2)由一階線性微分方程解的公式得由一階線性微分方程解的公式得于是于是 二、兩類二階微分方程的解法二、兩類二階微分方程的解法二、兩類二階微分方程的解法二、兩類二階微分方程的解法 1.可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法令令逐次積分求解逐次積分求解 2.2.2.2.二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形

5、常系數(shù)情形齊次齊次非齊次非齊次代數(shù)法代數(shù)法二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:(1)(1)寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程(2)(2)求出特征方程的兩個根求出特征方程的兩個根(3)(3)根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況,按照下列按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解規(guī)則寫出微分方程的通解求解二階常系數(shù)線性方程求解二階常系數(shù)線性方程非齊非齊通解通解齊次通解齊次通解非齊特解非齊特解難點：難點：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.(3).(3).上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的

6、情形.解答提示解答提示解答提示解答提示P353 題題2 求以求以為通解的微分方程為通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根為由通解式可知特征方程的根為故特征方程為故特征方程為因此微分方程為因此微分方程為P353 題題3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示:(6)令則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)樘卣鞲卣鞲卣鞲卣鞲?齊次方程通解齊次方程通解:令非齊次方程特解為令非齊次方程特解為代入方程可得代入方程可得思思 考考若若(7)中非齊次項改為中非齊次項改為提示提示:原方程通解為原方程通解為特解設(shè)法有何變化特解設(shè)法有何變化?P354 P354 題題4(2)4(2)求解求解求解求解提示提示:令則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)榉e分得積分得利用利用再解再解并利用并利用定常數(shù)思考思考若問題改為求解若問題改為求解則求解過程中得則求解過程中得問開方時問開方時正負(fù)號如何確定正負(fù)號如何確定?思考思考:設(shè)提示提示:對積分換元對積分換元,則有解初值問題解初值問題:答案答案:知識回顧知識回顧Knowledge Knowledge ReviewReview祝您成功！