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1、二階微分方程的 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習題課(二)二、微分方程的應用二、微分方程的應用 解法及應用 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 第七章 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 1.可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法令令逐次積分求解 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法 歐拉方程練習題練習題:P327 題 2;3(6),(7);4(2)；8機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示P327 題題2 求以為通解的微分方程.提示提示:由通解式

2、可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P327 題題3 求下列微分方程的通解提示提示:(6)令則方程變?yōu)闄C動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思思 考考若(7)中非齊次項改為提示提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P327 題題4(2)求解提示提示:令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時正負號如何確定正負號如何確定?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P327 題題8 設(shè)函數(shù)在 r 0內(nèi)滿足拉普拉斯方程二階可導,且試將方程化為以 r 為自變量的常微分方程,并求

3、 f(r).提示提示:利用對稱性,即(歐拉方程歐拉方程)原方程可化為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解初值問題:則原方程化為 通解:利用初始條件得特解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特征根:例例1.求微分方程提示提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定 A,B,得得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問題的解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.且滿足方程提示提示:則問題化為解初值問題:最后求得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:設(shè)提示提示:對積分換元,則有解初值問題:答案:機動 目錄 上頁 下頁

4、 返回 結(jié)束 的解.例例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)試將 xx(y)所滿足的微分方程 變換為 yy(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件 數(shù),且解解:上式兩端對 x 求導,得:(1)由反函數(shù)的導數(shù)公式知(03考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 代入原微分方程得 (2)方程的對應齊次方程的通解為 設(shè)的特解為 代入得 A0,從而得的通解:題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由初始條件 得故所求初值問題的解為 二、微分方程的應用二、微分方程的應用 1.建立數(shù)學模型 列微分方程問題建立微分方程(共性)利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條

5、件(個性)初始條件邊界條件可能還要銜接條件2.解微分方程問題3.分析解所包含的實際意義 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.解解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球 引力,初始速度應不小于第二宇宙速度,試計算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m,地球質(zhì)量為 M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為 h,由牛頓第二定律得:(G 為引力系數(shù))則有初值問題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 代入原方程,得兩邊積分得利用初始條件,得因此注意到 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為使因為當h=R(在地面上)時,引力=重力,即代入即得這說明第二宇宙速度為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

6、束 求質(zhì)點的運動規(guī)例例5.上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時間 t 成正比(比例系數(shù)提示提示:兩邊對 s 求導得:牛頓第二定律為 k),開方如何定開方如何定+?已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點作直線運動,作用在質(zhì)點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子 8 m,另一端離釘子 12 m,如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力,求鏈條滑下來所需的時間.解解:建立坐標系如圖.設(shè)在時刻 t,鏈條較長一段下垂 x m,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時鏈條受力由牛頓第二定律,得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由初始條件得故定解問題的解為解得當 x=20 m 時,(s)微分方程通解:思考

7、思考:若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量,定解問題的數(shù)學模型是什么?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 時的數(shù)學模型為不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為此時鏈條滑下來所需時間為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習題練習題從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正 比,比例系數(shù)為 k(k 0),試建立 y 與 v 所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式 y=y(v).(95考研

8、考研)提示提示:建立坐標系如圖.質(zhì)量 m體積 B由牛頓第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 初始條件為用分離變量法解上述初值問題得質(zhì)量 m體積 B 作業(yè)作業(yè) P317 5 ,6 ;P327 3(8);4(2),(4)8;*11(1)得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 有特而對應齊次方程有解微分方程的通解.解解:故所給二階非齊次方程為方程化為1.設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故再積分得通解復習:一階線性微分方程通解公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.(1)驗證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和.解解:(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(02考研考研)所以(2)由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方程:特征根:齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通解為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 代入初始條件可得故所求級數(shù)的和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束