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1、線代全冊完整教學(xué)課件線代全冊完整教學(xué)課件第一節(jié) 矩陣及其運算一、矩陣的定義一、矩陣的定義二、矩陣的運算二、矩陣的運算第一章三、矩陣的分塊三、矩陣的分塊四、分塊矩陣的運算規(guī)則四、分塊矩陣的運算規(guī)則 一、矩陣的定義 由由 個數(shù)個數(shù)排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表稱為稱為 矩陣矩陣.簡稱簡稱 矩陣矩陣.簡記為簡記為元素都是實數(shù)的矩陣稱為元素都是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣實矩陣元素都是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素都是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣?yán)缋缡且粋€是一個 實矩陣實矩陣,是一個是一個 矩陣矩陣,是一個是一個 矩陣矩陣.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣(1)(1)行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為

2、，稱為 階階方陣方陣.也可記作也可記作例如例如是一個是一個3 階方陣階方陣.主對角線主對角線次（副）對角線次（副）對角線特殊地，主對角線以下全為特殊地，主對角線以下全為0的方陣稱為的方陣稱為上三角形矩陣上三角形矩陣主對角線以上全為主對角線以上全為0的方陣稱為的方陣稱為下三角形矩陣下三角形矩陣只有一列的矩陣只有一列的矩陣稱為稱為列矩陣列矩陣(或或列向量列向量).).稱為稱為對角對角對角對角矩陣矩陣矩陣矩陣(或或?qū)顷噷顷噷顷噷顷嚕?（3）形如形如 的方陣的方陣,不全為不全為0記作記作(2)(2)只有一行的矩陣只有一行的矩陣稱為稱為行矩陣行矩陣(或或行向量行向量).(4)方陣方陣稱為稱為單位

3、矩陣單位矩陣（或（或單位陣單位陣）.全為全為1 （5）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零零矩陣記作矩陣記作 或或 .注意注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.2.2.兩個矩陣兩個矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并且并且對應(yīng)元素相等對應(yīng)元素相等,即即則稱則稱矩陣矩陣 相等相等,記作記作例如例如為為同型矩陣同型矩陣.同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念 1.1.兩個矩陣的行數(shù)相同兩個矩陣的行數(shù)相同,列數(shù)相同時列數(shù)相同時,稱為稱為同型同型矩陣矩陣.例例 設(shè)設(shè)解解矩矩陣陣運運算算加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置

4、矩陣對稱陣與反對稱陣對稱陣與反對稱陣共軛矩陣共軛矩陣二、矩陣的運算、定義、定義（一）矩陣的加法設(shè)有兩個設(shè)有兩個 矩陣矩陣 那么矩陣那么矩陣 與與 的和記作的和記作 ，定義為，定義為即對應(yīng)元素相加即對應(yīng)元素相加.說明說明 只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例例2 2、矩陣加法的運算規(guī)律矩陣加法的運算規(guī)律1 1、定義、定義（二）數(shù)與矩陣相乘此運算稱為矩陣的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘此運算稱為矩陣的數(shù)量乘積，簡稱數(shù)乘2 2、數(shù)乘運算的運算規(guī)律、數(shù)乘運算的運算規(guī)律矩陣的加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的矩陣的加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算線性運算.（設(shè)（設(shè) 為為 矩

5、陣，矩陣，為數(shù)）為數(shù)）、定義、定義并把此乘積記作并把此乘積記作（三）矩陣與矩陣相乘設(shè)設(shè) 是一個是一個 矩陣，矩陣，是一個是一個 矩陣，那么規(guī)定矩陣矩陣，那么規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個是一個 矩陣矩陣 ，其中，其中注意注意只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如例如不存在不存在.例例設(shè)設(shè)例例2 2求求ABAB.故故解解、矩陣乘法的運算規(guī)律、矩陣乘法的運算規(guī)律（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）;若若A是是 階方陣，則階方陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 注意注意 矩陣一般不滿足交換律，即

6、：矩陣一般不滿足交換律，即：例例 設(shè)設(shè)則則說明說明但也有例外，例如但也有例外，例如則有則有稱為稱為純量矩陣純量矩陣（或（或數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣）矩陣多項式解解例例4 4由此歸納出由此歸納出用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)當(dāng) 時，顯然成立時，顯然成立.假設(shè)假設(shè) 時成立，則時成立，則 時，時，所以對于任意的所以對于任意的 都有都有定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 例例、轉(zhuǎn)置矩陣(transpose matrix)（四）矩陣的其它運算轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)例例5 5 已知已知解法解法1解法解法22、對稱(矩)

7、陣與反對稱(矩)陣定義定義設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即那么那么 稱為對稱稱為對稱(矩矩)陣陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等 說明說明例例6 6 證明任一證明任一 階矩陣階矩陣 都可表示成對稱陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和與反對稱陣之和.證明證明 所以所以C為對稱矩陣為對稱矩陣.所以所以B為反對稱矩陣為反對稱矩陣.命題得證命題得證.3 3、共軛矩陣、共軛矩陣當(dāng)當(dāng) 為復(fù)矩陣時，用為復(fù)矩陣時，用 表示表示 的共軛的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為復(fù)數(shù)，記，稱為 的共軛矩陣的共軛矩陣.定義定義運算性質(zhì)運算性質(zhì)（設(shè)（設(shè) 為復(fù)矩陣，為復(fù)矩陣，為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù),且運算都是可行的）且運算都

8、是可行的）:三、矩陣的分塊對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 ，為了簡化運算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算.一個矩陣可以有多種不同的分塊方法.具體做法：將矩陣 用若干條縱線和橫線分成若干小塊，每一小塊也可以看成一個矩陣（稱為 的子矩陣），以子矩陣為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.例例四、分塊矩陣的運算規(guī)則例例1 設(shè)設(shè)解解則則又又于是于是例例2其中其中其中其中矩矩陣陣運運算算加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與反對稱陣對稱陣與反對稱陣共軛矩陣共軛矩陣（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的

9、行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘，且矩陣相乘不滿足交換律兩個矩陣才能相乘，且矩陣相乘不滿足交換律.（1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.五、小結(jié)(1)加法加法(2)數(shù)乘數(shù)乘(3)乘法乘法分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似(4)轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置(5)分塊對角陣（準(zhǔn)對角陣）分塊對角陣（準(zhǔn)對角陣）思考題成立的充要條件是什么成立的充要條件是什么?故故 成立的充要條件為成立的充要條件為解解第二節(jié) 行列式第一章第一章一、一、n n 階行列式的定義階行列式的定義三、三、行列式按行行列式按行(列列)展開展開二、行列式的性

10、質(zhì)二、行列式的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié)一、二階行列式的概念一、二階行列式的概念定義定義二階行列式二階行列式二階行列式二階行列式主對角線主對角線副對角線副對角線數(shù)數(shù) aij(i,j=1,2)表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.對角線法則對角線法則對角線法則對角線法則說明說明 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式二、三階行列式二、三階行列式其中其中 aij(i,j=1,2,3)表示第表示第 i 行第行第 j 列的元素列的元素.三階行列式三階行列式三階行列式三階行列式三階行列式的計算可如下圖三階行列式的計算可如下圖:定義定義 +三、排列與逆序數(shù)三、排列與逆序

11、數(shù) 為了得到為了得到 n 階行列式的定義和討論其性質(zhì)階行列式的定義和討論其性質(zhì),先引入排列和逆序數(shù)的概念先引入排列和逆序數(shù)的概念.由由自自然然數(shù)數(shù) 1,2,n 組組成成的的一一個個有有序序數(shù)數(shù)組組，稱稱為為一一個個 n n n n 級級級級排排排排列列列列.其其中中若若某某兩兩數(shù)數(shù)之之間間前前面面的的數(shù)數(shù)大大于于后后面面的的數(shù)數(shù),則則稱稱它它們們構(gòu)構(gòu)成成一一個個逆逆逆逆序序序序.一一個個排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù).n 級級排排列列(i1 i2in)的的逆逆序序數(shù)數(shù)記記為為(i i1 1i i2 2i in n),簡簡記記

12、為為.例例如如六六級級排排列列 243516 中中,2 與與 1,4 與與 1,3 與與 1,5與與 1,4 與與 3 均構(gòu)成逆序均構(gòu)成逆序,故故(243516)=5.定理定理奇奇、偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列偶排列偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列奇排列奇排列.如四級排列如四級排列 2314 是偶排列，而六級排列是偶排列，而六級排列 243516 為奇排列為奇排列.對對換換：將將一一個個排排列列某某兩兩個個數(shù)數(shù)的的位位置置互互換換而而其其余余的的數(shù)不動數(shù)不動,則稱對該排列作了一次則稱對該排列作了一次對換對換對換對換.如

13、如排排列列 31524 是是排排列列 21534 經(jīng)經(jīng)過過 2 與與 3 對對換換而而得得,而而(21534)=3,(31524)=4,即即經(jīng)經(jīng)過過對對換換后后排列的奇偶性改變了排列的奇偶性改變了.一次對換改變排列的奇偶性一次對換改變排列的奇偶性.四、四、n n 階行列式的定義階行列式的定義利用排列與逆序數(shù)的概念利用排列與逆序數(shù)的概念,可以看出三階行列式可以看出三階行列式中共中共 3!=6 項項,其中一半帶正號其中一半帶正號,一半帶負號一半帶負號.(123)=0(312)=2(231)=2(321)=3(132)=1(213)=1三階行列式可記為三階行列式可記為其中其中 是對所有三級排列是對所

14、有三級排列(j1 j2 j3)求和求和.其中其中 是對所有二級排列是對所有二級排列(j1 j2)求和求和.同樣同樣,二階行列式二階行列式仿此仿此,可得可得定義定義n n n n 階行列式階行列式階行列式階行列式其中其中 是對所有是對所有 n 級排列級排列(j1 j2jn)求和求和 由由定定義義可可知知,n 階階行行列列式式是是所所有有取取自自不不同同行行不不同同列列的的 n 個個元元素素乘乘積積的的代代數(shù)數(shù)和和,共共有有 n!項項,其其中中一一半半帶帶正正號號,一一半半帶帶負負號號.例例1 1 計算計算上上三角行列式三角行列式展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有所以不

15、為零的項只有解解計算下列計算下列 n 階行列式階行列式(稱為稱為下下三角行列式三角行列式)由由定定義義，D 中中取取自自不不同同行行不不同同列列的的 n 個個元元素素的的乘乘積積，除除了了 a11 a22 ann 外外，其其余余全全為為 0，而而 a11 a22 ann 的的 列列下標(biāo)的排列為下標(biāo)的排列為 (12 n),(1 2 n)=0,D=(1)0 a11 a22 ann故故=a11 a22 ann例例2 2解解作為例作為例 2 的的 特例，可知下面的特例，可知下面的 n 階行列式階行列式(稱為對角行列式稱為對角行列式)計算計算 n 階行列式階行列式例例3 3 取取 D 中中不不在在同同一

16、一行行不不在在同同一一 列列的的 n 個個元元素素的的乘乘積積，除除 a1n a2,n-1 an1 外外，其其余余全全為為 0，而而 a1n a2,n-1 an1 的列下標(biāo)的排列為的列下標(biāo)的排列為(n,n 1,1),故故由例由例 3立即可知立即可知解解 在在 n 階階行行列列式式的的定定義義中中，為為了了確確定定每每一一項項的的符符號號，把把 n 個個元元素素的的行行下下標(biāo)標(biāo)均均按按自自然然順順序序排排列列.事事實實上上，數(shù)數(shù)的的乘乘法法是是可可交交換換的的，因因而而這這 n 個個元元素素相相乘乘時時次次序序可可以以是是任任意意的的，故故有有定理定理n 階行列式的定義也可寫成階行列式的定義也可

17、寫成由上述定理可知，若將列下標(biāo)按自然順序排列，由上述定理可知，若將列下標(biāo)按自然順序排列，則有則有小結(jié)小結(jié):n 階行列式的定義有三種形式：階行列式的定義有三種形式：由此可得行列式的下列性質(zhì)由此可得行列式的下列性質(zhì)由此可得行列式的下列性質(zhì)由此可得行列式的下列性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1行列互換，行列互換，行列式行列式的值不變的值不變.由性質(zhì)由性質(zhì) 1 可知可知上三角行列式上三角行列式下三角行列式下三角行列式 按按定定義義計計算算行行列列式式較較麻麻煩煩,因因此此有有必必要要討討論論行行列列式式的的性質(zhì)以簡化行列式的計算性質(zhì)以簡化行列式的計算.行列互換，行列互換，行列式行列式的值不變的值不變.即即五、行列式的

18、性質(zhì)五、行列式的性質(zhì)說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)性質(zhì)1 1交換交換行列式的任意兩行行列式的任意兩行(列列),行列式僅改變符號行列式僅改變符號.即即如二階行列式如二階行列式而而兩者異號兩者異號.性質(zhì)性質(zhì)2 2這是因為行列式這是因為行列式 D 的這兩行互換后得的這兩行互換后得 D =D,從而從而 D =0.推論推論1 1若若 n 階行列式有兩行階行列式有兩行(列列)的對應(yīng)元素相同的對應(yīng)元素相同,則行列式為零則行列式為零.性質(zhì)性質(zhì)3 3把行列式的某行把行列式的某行(列

19、列)的所有元素同乘以的所有元素同乘以數(shù)數(shù) k,等于該行列式乘以數(shù)等于該行列式乘以數(shù) k.即即 由性質(zhì)由性質(zhì) 3 可知可知,若行列式某行若行列式某行(列列)有公因式則有公因式則可提出來可提出來.結(jié)合性質(zhì)結(jié)合性質(zhì) 2 2 和性質(zhì)和性質(zhì) 3,3,有有推論推論2 2推論推論3 3證證證證=右右行列式行列式 D 有兩行有兩行(列列)各元素對應(yīng)成比例，則各元素對應(yīng)成比例，則 D=0 行列式行列式 D 有某行有某行(列列 )各元素全為零，則各元素全為零，則 D=0.若若n n 階行列式的某行階行列式的某行(列列)的各元素是兩個數(shù)的和的各元素是兩個數(shù)的和,則該行列式等于兩個行列式的和則該行列式等于兩個行列式的

20、和.即即性質(zhì)性質(zhì)4 4 把把 n 階行列式的某行階行列式的某行(列列)的各元素乘以數(shù)的各元素乘以數(shù) k 后后加到另一行加到另一行(列列)的對應(yīng)元素上去的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變行列式的值不變.即即性質(zhì)性質(zhì) 5 可由性質(zhì)可由性質(zhì) 4 及性質(zhì)及性質(zhì) 3 的推論的推論 2 得出得出.性質(zhì)性質(zhì)5 5小結(jié)：小結(jié)：2.交換行列式的兩行交換行列式的兩行(列列)，行列式，行列式僅僅變號變號;3.行列式某行行列式某行(列列)的公因式可提出；的公因式可提出；4.行列式某行行列式某行(列列)的元素均為兩數(shù)之和，的元素均為兩數(shù)之和，則原行列式等于另兩行列式之和；則原行列式等于另兩行列式之和；5.行列式某行行列式某

21、行(列列)的各元素乘以數(shù)的各元素乘以數(shù) k 后加到后加到 另一行另一行(列列)對應(yīng)元素上去，行列式的值不變對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.行列式有行列式有五條性質(zhì)五條性質(zhì)：1.行列互換，行列互換，行列式行列式的值不變的值不變.行列式還有行列式還有三條推論三條推論：1.行列式行列式 D 有兩行有兩行(列列)各元素對應(yīng)相同，則各元素對應(yīng)相同，則 D=0；2.行列式行列式 D 有兩行有兩行(列列)各元素對應(yīng)成比例，則各元素對應(yīng)成比例，則 D=0；3.行列式行列式 D 有某行有某行(列列 )各元素全為零，則各元素全為零，則 D=0.由前面例由前面例 2 可知上（下）三角形行列式簡單易求可知上（下）三角形

22、行列式簡單易求,因此因此對任一行列式對任一行列式,可利用行列式的性質(zhì)可利用行列式的性質(zhì),將其化為將其化為 一個與之相一個與之相等的上（下）三角形行列式等的上（下）三角形行列式,從而簡化行列式的計算從而簡化行列式的計算.為表達簡捷為表達簡捷,計算行列式時計算行列式時,以以 ri 表示表示第第 i 行行,ci以以 k 加到第加到第 i 行記作行記作 ri+krj.將第將第 j 行乘行乘交換交換 i,j 兩行記作兩行記作表表示示第第 i 列列r3+4r2r4 8r2計算行列式計算行列式解解解解例例1 1解解解解計算計算 n 階行列式階行列式(i 1)例例2 2原式原式原式原式解解解解計算計算 n 階

23、行列式階行列式ri+r1(i 1)例例3 3六、行列式按行六、行列式按行六、行列式按行六、行列式按行(列列列列)展開展開展開展開 計算行列式時計算行列式時,除將其化為三角行列式外除將其化為三角行列式外,還可考慮將高階還可考慮將高階行列式化為低階行列式直至二階行列式行列式化為低階行列式直至二階行列式,因為二階行列式的因為二階行列式的計算極為簡單計算極為簡單,為此引入余子式和代數(shù)余子式的概念為此引入余子式和代數(shù)余子式的概念.在在 n 階階行行列列式式中中,去去掉掉 aij(i,j=1,2,n)所所在在的的行行與與所所在在列列后后剩剩下下的的 n 1 階階行行列列式式稱稱為為元元素素 aij 的的余

24、余余余子子子子式式式式,記記為為 Mij.余余子子式式 Mij 帶帶上上符符號號(1)i+j 則則稱稱為為元元素素 aij 的的代代數(shù)余子式數(shù)余子式,記為記為 Aij,即即 Aij=(1)i+j Mij .元素元素 a11=1的余子式的余子式如三階行列式如三階行列式中中,定義定義和代數(shù)余子式分別為和代數(shù)余子式分別為元素元素 a12=2 的余子式和代數(shù)余子式分別為的余子式和代數(shù)余子式分別為而元素而元素 a13=3 的余子式和代數(shù)余子式分別為的余子式和代數(shù)余子式分別為元素元素 a11=1的余子式的余子式如三階行列式如三階行列式中中,和代數(shù)余子式分別為和代數(shù)余子式分別為通過直接計算可知通過直接計算可

25、知而而兩者相等兩者相等,這個現(xiàn)象不是偶然的這個現(xiàn)象不是偶然的.事實上事實上,有有 (Laplace 展開定理展開定理)行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.D=或或D=即即定理定理1 1 Laplace 展展開開定定理理又又稱稱為為行行行行列列列列式式式式按按按按行行行行(列列列列)展展展展開開開開的的的的法法法法則則則則.利利用用這這一一法法則則并并結(jié)結(jié)合合行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì),可可把把高高階階行行列列式式的的計計算算化為低階行列式的計算化為低階行列式的計算,從而簡化計算從而簡化計算.用用 Laplace

26、 展開定理解例展開定理解例 1.c1 2c3c4+c3解解解解例例4 4計算計算 n 階行列式階行列式將其直接按第一列展開將其直接按第一列展開,得得解解解解例例5 5證明證明范德蒙范德蒙范德蒙范德蒙 (Vandermonde)(Vandermonde)(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式行列式行列式其中其中 n 2,稱為連乘號稱為連乘號,這里表示所有可能的這里表示所有可能的 xi xj (1 j i n)的乘積的乘積.證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例6 6解解解解原式原式=此為四階范德蒙行列式此為四階范德蒙行列式,于是于是求四階行列式求四階行列式例例8 8證明：證明

27、：例例7 7證明證明推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證證 (Laplace 展開定理展開定理)行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.同理同理相同相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)方陣的行列式方陣的行列式定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或運算性質(zhì)運算性質(zhì) (行列式中行與列具

28、有同等行列式中行與列具有同等的地位的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立成立).計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義(兩種兩種);(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而求得行列式的值求得行列式的值七、小結(jié)七、小結(jié)行列式的行列式的5個性質(zhì)個性質(zhì)思考題思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解：解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第三節(jié) 克拉默法則第一章第一章二、二、幾個重要定理幾個重要定理一、克拉默法則一、克

29、拉默法則三、小結(jié)三、小結(jié)一、克拉默法則如果線性方程組如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表為可以表為證明證明再把再把 個方程依次相加，得個方程依次相加，得由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是于是當(dāng)當(dāng) 時時,方程組方程組 有唯一的一個解有唯一的一個解由于方程組由于方程組 與方程組與方程組 等價等價,故故也是方程組也是方

30、程組 的解的解.二、重要定理定理定理1 1 如果線性方程組如果線性方程組 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則則 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .定理定理2 2 如果線性方程組如果線性方程組 無解或有兩個不同的無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零解，則它的系數(shù)行列式必為零.設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組則稱此方程組為則稱此方程組為非齊次線性方程組非齊次線性方程組;此時稱方程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念對于齊次對于齊次線性方程組線性方程組定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組則齊次線性方程

31、組 只有零解（沒有只有零解（沒有非零解）非零解）.定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 有非零解有非零解,則它則它的系數(shù)行列式必為零的系數(shù)行列式必為零.這個解稱為齊次線性方程組的這個解稱為齊次線性方程組的零解零解例例1 用克拉默法則解方程組用克拉默法則解方程組解解解解齊次方程組有非零解，則齊次方程組有非零解，則所以所以 或或 時齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.例例2 問問 取何值時，齊次方程組有非零解？取何值時，齊次方程組有非零解？1.1.用克拉默法則解方程組的兩個條件用克拉默法則解方程組的兩個條件(1)(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);(2)(2)系數(shù)行列

32、式不等于零系數(shù)行列式不等于零.2.2.克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要適用于理論推它主要適用于理論推導(dǎo)導(dǎo).三、小結(jié)思考題思考題當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時,能否用克拉默能否用克拉默法則解方程組法則解方程組?此時方程組的解為何此時方程組的解為何?不能不能,此時方程組的解為無解或有無窮多解此時方程組的解為無解或有無窮多解.思考題解答思考題解答第四節(jié) 逆矩陣第一章第一章三、小結(jié)三、小結(jié)一、逆矩陣的概念和性質(zhì)一、逆矩陣的概念和性質(zhì)二、逆矩陣的求法二、逆矩陣的求法一、逆矩陣的概

33、念和性質(zhì) 定義定義 對于對于 階矩陣階矩陣 ，若存在一個，若存在一個 階矩陣階矩陣 則稱矩陣則稱矩陣 是是可逆可逆的，并把矩陣的，并把矩陣 稱為稱為 的的逆矩陣逆矩陣.使得使得例例 設(shè)設(shè)說明說明 若若 是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則 的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的.若設(shè)若設(shè) 和和 是是 的可逆矩陣，的可逆矩陣，則有則有可得可得所以所以 的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的,即即定理定理1 1 矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且 證明證明若若 可逆，可逆，稱為矩陣稱為矩陣 的的伴隨矩陣伴隨矩陣按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得證畢證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義奇異矩陣與非奇異矩陣的定義推論推論證明證明說明：說明：證明證明逆矩陣的運算性質(zhì)逆矩陣的運算性質(zhì):證明證明例例1 1 設(shè)設(shè)解解設(shè)設(shè) 是是 的逆矩陣的逆矩陣,則則利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法二、逆矩陣的求法二、逆矩陣的求法例例2