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1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)全冊(cè)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)全冊(cè)完整教學(xué)課件完整教學(xué)課件醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)函數(shù) 極限極限 研究的主要對(duì)象研究的基礎(chǔ)和方法函數(shù)與極限 函數(shù)是變量之間相互聯(lián)系、相互制約關(guān)系的抽象表示，是事物運(yùn)動(dòng)、變化及相互影響的復(fù)雜關(guān)系在數(shù)量方面的反映；極限刻畫了變量的變化趨勢(shì)，是研究函數(shù)的重要方法本章內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限和函數(shù)的連續(xù)性等基本概念，以及它們的主要性質(zhì)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)二、二、初等函數(shù)初等函數(shù) 三、分段函數(shù)三、分段函數(shù) 一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念第一節(jié) 函數(shù)四、函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)四、函數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì) 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念 變量：變量：在過(guò)程中可取不同數(shù)值的量。在過(guò)

2、程中可取不同數(shù)值的量。常量：常量：在某過(guò)程中始終保持同一數(shù)值的量。在某過(guò)程中始終保持同一數(shù)值的量。常用字母常用字母 表示。表示。常用字母常用字母 表示。表示。例如：例如：人的身高，在研究少兒發(fā)育成長(zhǎng)的過(guò)程中是人的身高，在研究少兒發(fā)育成長(zhǎng)的過(guò)程中是變量，而在研究成人的健康狀況時(shí)通常認(rèn)為是常量變量，而在研究成人的健康狀況時(shí)通常認(rèn)為是常量 注意：注意：一個(gè)量究竟是常量還是變量，不是絕對(duì)的，一個(gè)量究竟是常量還是變量，不是絕對(duì)的，要根據(jù)具體過(guò)程和具體條件來(lái)確定要根據(jù)具體過(guò)程和具體條件來(lái)確定 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)函數(shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史最早提出函數(shù) 概念的是17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家 萊布尼茨萊布尼茨:“函數(shù)”一詞表

3、示冪，如 1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士數(shù)學(xué)家伯努利伯努利把函數(shù)定義為“由某個(gè)變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量?！辈鶑?qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)函數(shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史 1755年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉歐拉把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！薄Ｔ跉W拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)需要用公式表示了。他認(rèn)為“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線”。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在者一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨這而確

4、定時(shí)，則將最初的表示叫自變量，其他各表示叫做函數(shù)?！焙瘮?shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的的定義：“的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每一個(gè) 都有確定的值，并且隨著 一起變化。函數(shù)可以由解析式給出，也可以由幾個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法。函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的。”，這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性要性，利用這個(gè)關(guān)系，可以來(lái)求出每一個(gè) 的對(duì)應(yīng)值。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立 與 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是無(wú)關(guān)緊要的，所以他的定義是

5、：“如果 對(duì)于 的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則 是 的函數(shù)?！?，這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，因此，這個(gè)定義曾被比較長(zhǎng)期的使用著。醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 自從德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾康托爾的集合論被大家接受后，用集合對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)定義函數(shù)概念競(jìng)賽現(xiàn)在課本里用的了。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)按照一定的規(guī)律定義域自變量因變量則稱 是 的函數(shù),記為因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律稱為函數(shù)關(guān)系;所有函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。與自變量的值相對(duì)應(yīng)的因變量的值稱為函數(shù)值;定義定義1-1 設(shè)是同一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，如果對(duì) 于變量 的每一個(gè)允許的取值，變量 總有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 在實(shí)

6、際問(wèn)題中的定義域是由實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義決定的。(2)定義域：定義域：(3)對(duì)應(yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:公式法、圖像法、列表法。使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.(1)函數(shù)的兩個(gè)要素：函數(shù)的兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)律.注意：注意：例例11 在出生后16個(gè)月期間內(nèi)，正常嬰兒的體重近似滿足以下關(guān)系式：公式法式法醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例1 12 2監(jiān)護(hù)儀自動(dòng)記錄了某患者一段時(shí)間內(nèi)體溫 的變化曲線，如下圖（圖像法）所示例例13 某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了某年112月中當(dāng)?shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率，見表1-1（表格法）37t（月份）123456789101112Y（）16.6 8.3 7.16.57.0 10.02.53.55

7、.7 10.017.17.0醫(yī)用高等數(shù)學(xué)二、函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單特性二、函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單特性1有界性有界性 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)，使對(duì)所有的，恒有，則稱函數(shù) 在內(nèi)是有界的如果不存在這樣的正數(shù)，則稱 在內(nèi)是無(wú)界的 有界有界M-Myxoy=f(x)bay無(wú)界無(wú)界M-Mxoba醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例如：例如：在（一，+）內(nèi)是有界的；在（1，+）內(nèi)是有界的，但在（o，1）內(nèi)是無(wú)界的2單調(diào)性單調(diào)性設(shè) 是函數(shù) 的定義區(qū)間 內(nèi)的任意兩點(diǎn)，且 若，則稱 在 內(nèi)是單調(diào) 遞增的；若，則稱 在 內(nèi)是單調(diào)遞 減的 xyoabxyoba增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例如例如：在（一，）內(nèi)是單調(diào)遞增的；在（，

8、）內(nèi)是單調(diào)遞減的，而在（0，）內(nèi)是單調(diào)遞增的3奇偶性奇偶性如果對(duì)于函數(shù) 定義域內(nèi)的任意點(diǎn)，恒有，則稱 是偶函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù) 定義域內(nèi)的任意點(diǎn)，恒有，則稱 為 奇函數(shù)偶函數(shù)的圖像是關(guān)于 軸對(duì)稱的，而奇函數(shù)的圖 像是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)yxox-xyxox-x偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)例如：例如：都是偶函數(shù)；而 都是奇函數(shù) 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4 4周期性周期性對(duì)于函數(shù)，如果存在正的常數(shù)，使得 恒成立，則稱 為周期函數(shù)，滿足這個(gè)等式的最小正數(shù)，稱為函數(shù)的周期 例如例如：都是周期函數(shù)，周期為 也都是周期函數(shù)，周期為 周期為 周期為醫(yī)用高等數(shù)學(xué)(5).反函數(shù)反函數(shù)（inverse function

9、）的反函數(shù)記成,其反函數(shù)(減)(減).1)yf(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增 性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)反三角函數(shù)講解醫(yī)用高等數(shù)學(xué)三、初等函數(shù)三、初等函數(shù) 1基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)（1）常數(shù)函數(shù)（為任意實(shí)數(shù)），（2）冪函數(shù)（為任意實(shí)數(shù)），（3）指數(shù)函數(shù)（4）對(duì)數(shù)函數(shù)（5）三角函數(shù) （6）反三角函數(shù) 等。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)三角函數(shù)中常用公式三角函數(shù)中常用公式和差化積公式：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)積化和差公式注：在后面的極限及微積分計(jì)算中可能會(huì)用到。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)2 2、

10、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù)定義定義1-2設(shè)變量 是變量 的函數(shù)，變量 又是變量的函數(shù)，即 如果變量 的某些值通過(guò)變量 可以確定變量 的值，則稱 是 的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)，記為 變量 稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)的概念可以推廣到由多個(gè)函數(shù)，通過(guò)多個(gè)中間變量傳遞而構(gòu)成的情形。例例14試通過(guò)，求 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)關(guān)于 的復(fù)合函數(shù) 解：解：自變量、中間變量依次代入得例例1 15 5 設(shè) 試求：解：解：醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 如果由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域?yàn)榭占?，則此復(fù)合函數(shù)無(wú)意義（或稱它們不能復(fù)合）例如例如，由，復(fù)合而成的函數(shù) 因，其定義域?yàn)榭占?，即函?shù) 無(wú)意義 在后面的很多計(jì)算問(wèn)題中，往往需要把復(fù)合函數(shù)的中間變量找出來(lái)，把

11、它“分解”為若干個(gè)基本初等函數(shù)或由它們通過(guò)四則運(yùn)算而得到的簡(jiǎn)單函數(shù)簡(jiǎn)單函數(shù)形式，以便于利用公式進(jìn)行計(jì)算醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例16 將下列復(fù)合函數(shù)“分解”為簡(jiǎn)單函數(shù)：解解:醫(yī)用高等數(shù)學(xué)練習(xí)練習(xí)將下列復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 解解 (1)最外層是二次方，即 次外層是正弦，即從外向里第三層是冪函數(shù) 最里層是多項(xiàng)式，即 所以，分解得 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)最外層是對(duì)數(shù)，即 次外層是正切，即 從外向里第三層是指數(shù)函數(shù)，即 最里層是簡(jiǎn)單函數(shù)，即 所以，分解得 醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 3 3初等函數(shù)初等函數(shù) 定義定義1-2 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及函數(shù)復(fù)合所得到的僅用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱為初等

12、函數(shù)初等函數(shù).初等函數(shù)？醫(yī)用高等數(shù)學(xué)四、分段函數(shù)四、分段函數(shù)對(duì)于其定義域內(nèi)自變量 不同的值，要用兩個(gè)或兩個(gè)以 上解析式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例18設(shè)求：解：解：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)稱為符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù).它的定義域?yàn)?,值域 .例例1-9 1-9 函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)1-1函數(shù)圖像醫(yī)用高等數(shù)學(xué)主要內(nèi)容主要內(nèi)容.常量變量常量變量 函數(shù)的概念函數(shù)的概念.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 分段函數(shù)分段函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù).函數(shù)的性質(zhì)：有界性單調(diào)性奇偶性周期性函數(shù)的性質(zhì)：有界性單調(diào)性奇偶性周期性作業(yè)：作業(yè)：思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1（1,3）3.4.醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 反三角函數(shù)

13、反三角函數(shù)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)(1)什么樣的函數(shù)有反函數(shù)什么樣的函數(shù)有反函數(shù)?一一對(duì)應(yīng)函數(shù)有反函數(shù)一一對(duì)應(yīng)函數(shù)有反函數(shù)沒有沒有,因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)(2)互為反函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系互為反函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系關(guān)于直線關(guān)于直線y=x對(duì)稱對(duì)稱(4)正弦函數(shù)y=sinx在 上有反函數(shù)嗎？(3)正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx,余弦函數(shù)y=cosx,正切函數(shù)y=tanx在定義域上有反函數(shù)嗎在定義域上有反函數(shù)嗎?余弦函數(shù)y=cosx在0，上有反函數(shù)嗎？正切函數(shù)y=tanx在 上有反函數(shù)嗎？醫(yī)用高等數(shù)學(xué)xyo-2-2 3 4 1-1 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？沒有沒有,因?yàn)樗?/p>

14、不是一一對(duì)應(yīng)函數(shù)，因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng)同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng) 許多角。許多角。正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？有有,因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角。同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、反正弦函數(shù)一、反正弦函數(shù) 1、定義：、定義：正弦函數(shù)正弦函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù) 叫反正弦函數(shù)，記作叫反正弦函數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù))習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù))醫(yī)用高等數(shù)學(xué)理解和掌握 符號(hào)（1）、）、表示一個(gè)角表示一個(gè)角（2）、這個(gè)角的范圍是）、這個(gè)角的范圍是（

15、3）、這個(gè)角的正弦值是）、這個(gè)角的正弦值是即即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-11231-12、反正弦函數(shù)、反正弦函數(shù)y=arcsinx,x-1，1的圖象與性質(zhì)：的圖象與性質(zhì)：(1)定義域定義域:-1，1。(2)值域值域:(3)奇偶性奇偶性:是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，(4)單調(diào)性單調(diào)性:是增函數(shù)是增函數(shù)。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例1、求下列各式的值：、求下列各式的值：解：解：設(shè)設(shè)則則醫(yī)用高等數(shù)學(xué)xyo-2-2 3 4 1-1 沒有沒有,因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng)同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng) 許多

16、角。許多角。余弦函數(shù)余弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？余弦函數(shù)余弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？有有,因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角。同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)二、反余弦函數(shù)二、反余弦函數(shù) 1、定義：、定義：余弦函數(shù)余弦函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù) 叫反余弦函數(shù)，記作叫反余弦函數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù))習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù))醫(yī)用高等數(shù)學(xué)理解和掌握 符號(hào)（1）、）、表示一個(gè)角表示一個(gè)角（2）、這個(gè)角的范圍是）、這個(gè)角的范圍是（3）、這個(gè)角的余弦值是）、這個(gè)角的余弦值是即即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)54.543.532.521.51

17、0.5-0.5-1-4-3-2-11234y=cosx,x0，y-1，1y=arccosx,x-1，1y0，-112、反余弦函數(shù)、反余弦函數(shù)y=arccosx,x-1，1的圖的圖象與性質(zhì)象與性質(zhì)(1)定義域：定義域：-1，1。(2)值域值域:0，。(3)奇偶性奇偶性:非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)(4)單調(diào)性單調(diào)性:是減函數(shù)。是減函數(shù)。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)證明：證明：證明：證明：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)找錯(cuò)題找錯(cuò)題醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 沒有沒有,因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，因?yàn)樗皇且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng)同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對(duì)應(yīng) 許多角。許多角。正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有

18、反函數(shù)嗎？有有,因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，因?yàn)樗且灰粚?duì)應(yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角。同一個(gè)三角函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)角。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)三、反正切函數(shù)三、反正切函數(shù) 1、定義：、定義：正切函數(shù)正切函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù) 叫反正切函數(shù)，記作叫反正切函數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù))習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù))醫(yī)用高等數(shù)學(xué)理解和掌握 符號(hào)（1）、）、表示一個(gè)角表示一個(gè)角（2）、這個(gè)角的范圍是）、這個(gè)角的范圍是（3）、這個(gè)角的正切值是）、這個(gè)角的正切值是即即醫(yī)用高等數(shù)學(xué)32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4-3-2-112342、反正切函數(shù)、反正切函數(shù)y=arc

19、tanx,xR的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì)(1)定義域定義域R(2)值域值域:(3)奇偶性奇偶性:是奇函數(shù)是奇函數(shù)arctan(-x)=-arctanx(xR)其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。(4)單調(diào)性單調(diào)性:是增函數(shù)是增函數(shù)醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第一章 一、極限的概念一、極限的概念第二節(jié)第二節(jié)極限的概念極限的概念醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第一章 一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第二節(jié)自變量變化過(guò)程的六種形式:二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:函數(shù)的極限 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)定義定義14 當(dāng)自變量 的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù) 無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，就稱

20、當(dāng) 趨于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù) 以 為極限(或收斂收斂于A)，記為或 注意：注意：和，當(dāng) 若時(shí)，函數(shù)不趨于某一個(gè)常數(shù)，此時(shí)我們就稱 時(shí)，函數(shù) 的極限不存在（或 稱為發(fā)散發(fā)散）例如函數(shù) 時(shí)，它們的極限不存在（或 發(fā)散）。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)解:(右圖)所以01yxx醫(yī)用高等數(shù)學(xué)單側(cè)極限單側(cè)極限 當(dāng)自變量 的變化沿 軸正方向無(wú)限增大（或沿 軸負(fù)方向絕對(duì)值無(wú)限增大）時(shí)，函數(shù) 無(wú)限趨近于一 個(gè)常數(shù)，則稱 為函數(shù) 的單側(cè)極限單側(cè)極限，記為 或 例例1-10 求求 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的單側(cè)極限時(shí)的單側(cè)極限.解：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)練習(xí)、當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的極限解：(右圖)當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，所以練習(xí)、當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的極限。解:(右圖)當(dāng)

21、時(shí)，當(dāng) 時(shí)，所以x0y y醫(yī)用高等數(shù)學(xué)前面的極限定義是用描述性語(yǔ)言,比較粗糙;醫(yī)用高等數(shù)學(xué)()考察函數(shù)考察函數(shù)y=xy=x2 2，當(dāng)，當(dāng)x x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于2 2時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)(1)圖象圖象 當(dāng)當(dāng)xxxx0 0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限醫(yī)用高等數(shù)學(xué)(2)列表列表 x2.52.12.012.0012.00012.00001y=x26.254.414.044.0044.00044.000042.250.410.040.0040.00040.00004x1.51.91.991.9991.999

22、91.99999y=x22.253.613.963.9963.99963.999961.750.390.040.0040.00040.00004醫(yī)用高等數(shù)學(xué)從任何一方面看，當(dāng)從任何一方面看，當(dāng) x2時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y yx x2 2的的 極限是極限是4 4記記作：作：強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：x2x2，包括分別從左、右兩側(cè)趨近于，包括分別從左、右兩側(cè)趨近于2 2 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)鄰域鄰域 在極限定義的過(guò)程中，鄰域是常用的一個(gè)概念設(shè) 是某一定點(diǎn)，是大于零的某實(shí)數(shù)，開區(qū)間（）稱為點(diǎn) 的 鄰域鄰域，點(diǎn) 稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑 定義定義15設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn) 可以除外），當(dāng)自變量 以

23、任意方式無(wú)限趨近于定點(diǎn) 時(shí)，若函數(shù) 無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，就稱當(dāng) 趨 近于 時(shí)，函數(shù) 以 為極限(或收斂收斂于A)，記為 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)或 如果當(dāng) 時(shí)，不趨近一個(gè)常數(shù)，則稱當(dāng) 時(shí)，的極限不存在（或稱為發(fā)散發(fā)散）例如 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)注:醫(yī)用高等數(shù)學(xué)210 xy2210 xy2醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)推論:左右極限不存在或左右極限存在不相等醫(yī)用高等數(shù)學(xué)練習(xí)練習(xí) 給定函數(shù)討論 時(shí)的極限是否存在.解解:利用定理 .因?yàn)轱@然所以存在.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 3 3數(shù)列的極限數(shù)列的極限 數(shù)列數(shù)列是按自然數(shù)順序依次排列的一串?dāng)?shù)：數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，其中 稱為第n項(xiàng)，也稱為數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)數(shù)列可簡(jiǎn)記為 以下

24、給出幾個(gè) 數(shù)列的例子：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)數(shù)列實(shí)際上就是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)：因此，考察當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)數(shù)列的變化趨勢(shì)，即數(shù)列的極 限時(shí)，可限時(shí)，可類比函數(shù)類比函數(shù) 當(dāng)自變量當(dāng)自變量 時(shí)的情形由時(shí)的情形由 此 當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)，若 無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，則稱當(dāng) 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)趨于無(wú)窮大時(shí)，以 為極限(或收斂收斂于A)，記為或 當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)，若不存在上述常數(shù)，則稱當(dāng) 趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列 極限不存在(或發(fā)散發(fā)散)。例如，對(duì)于上面4個(gè)數(shù)列，（1）、（2）的極限存在，和而（3）、（4）的極限不存在對(duì)于（3）可記為醫(yī)用高等數(shù)學(xué)4 4判別極限存在的法則判別極限存在的法則法則法則1（夾逼法則）若在同一極限過(guò)

25、程中，三個(gè)函數(shù) 及 之間有如下關(guān)系：且 則 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)法則法則2 2：（單調(diào)有界原理）：（單調(diào)有界原理）：?jiǎn)握{(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定有極限。單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定有極限。醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 第一章 一、一、極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 二、二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 第二節(jié)極限運(yùn)算法則醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、一、極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則分別為A和 B,即定理定理 1.1.若注意注意:在自變量的同一變化過(guò)程中極限醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、一、極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則分別為A和 B,即定理定理 1.1.若說(shuō)明說(shuō)明:

26、可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘,相加的情形.特別地特別地(k 為常數(shù))推論推論 1.(n 為正整數(shù))在自變量的同一變化過(guò)程中極限醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例1 1解解2、求極限方法舉例、求極限方法舉例醫(yī)用高等數(shù)學(xué)小結(jié)小結(jié):醫(yī)用高等數(shù)學(xué)解解例例2 2(消去零因子法消去零因子法)醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 例例3 求求解解:原式原式醫(yī)用高等數(shù)學(xué)解：原式解：原式又例又例:求求醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例4 4解解(無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)結(jié)論結(jié)論（a00，b00，m,n0).解：解：1）m=n,原式原式2）mn,原式原式3）mn，原式，原式=.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)定理定理 設(shè)函數(shù)y=f(u)及u=(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=

27、f(x),在x0某個(gè)去心鄰域,若且(x)l,則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在 xx0時(shí)的極限為二、二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則醫(yī)用高等數(shù)學(xué)說(shuō)明說(shuō)明:又稱變量代換法1.例例6.求求解解:令醫(yī)用高等數(shù)學(xué)推論推論1.練習(xí)練習(xí).求求解解:令 原式=醫(yī)用高等數(shù)學(xué)說(shuō)明說(shuō)明:又稱變量代換法1.3.冪指函數(shù)的極限運(yùn)算冪指函數(shù)的極限運(yùn)算證明證明:醫(yī)用高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)極限四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(要求分母不為 0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中

28、間變量醫(yī)用高等數(shù)學(xué)思考及練習(xí)思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答答:不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.問(wèn)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1.極限運(yùn)算法則(1)極限四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(要求分母不為 0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量醫(yī)用高等數(shù)學(xué)定理定理 設(shè)函數(shù)y=f(u)及u=(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=f(x),在x0某個(gè)去心鄰域,若且(x)l,則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在 xx0時(shí)的極限為二、二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則醫(yī)

29、用高等數(shù)學(xué)第二節(jié)兩個(gè)重要極限 第一章 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、一、兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限醫(yī)用高等數(shù)學(xué)極限 的直觀理解(1)方法:(圖像觀察法)作函數(shù) 圖像(右圖).從圖像中可見:在x=0的附近(左右兩側(cè)),曲線 幾乎重合,即當(dāng) 時(shí),sinx和x等價(jià),其比值為1,故x0y1-1醫(yī)用高等數(shù)學(xué)0yx醫(yī)用高等數(shù)學(xué)（1）分子、分母含有三角函數(shù)且在自變量指定的變化趨 勢(shì)下是“”型。（2）公式中的“”可以是趨向于零的代數(shù)式。（3）注意三角函數(shù)有關(guān)公式的應(yīng)用。說(shuō)明利用復(fù)合函數(shù)求極限的運(yùn)算法則此結(jié)論可推廣到此結(jié)論可推廣到醫(yī)用高等數(shù)學(xué)說(shuō)明利用復(fù)合函數(shù)求極限的運(yùn)算法則此結(jié)論可推廣到此結(jié)論可推廣到醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例2.求解解

30、:例例3.求解解:解解:原式=醫(yī)用高等數(shù)學(xué)說(shuō)明說(shuō)明（1）分子、分母含有三角函數(shù)且在自變量指定的變化趨 勢(shì)下是“”型。（2）公式中的“”可以是趨向于零的代數(shù)式。（3）注意三角函數(shù)有關(guān)公式的應(yīng)用。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、一、兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限醫(yī)用高等數(shù)學(xué)極限 的直觀解釋通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)理解.通過(guò)取一系列|x|趨于無(wú)窮大的數(shù)值,觀察 值的變化情況（取 ）.從上表中可見:即當(dāng) ,即有 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)yx0y=e1函數(shù)的圖像如下.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)利用變量替換和復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則說(shuō)明說(shuō)明:此極限也可寫為醫(yī)用高等數(shù)學(xué)（1）函數(shù)在自變量指定的變化趨勢(shì)下是“”型。（2）應(yīng)用公式解題時(shí)，注意將底數(shù)寫成1與一個(gè)無(wú)窮

31、小量 的代數(shù)和的形式，該無(wú)窮小量與指數(shù)互為倒數(shù)。（3）注意求極限過(guò)程中運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算法則。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例1.求解解:令則說(shuō)明說(shuō)明：若利用則 原式醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例2 求解解:則 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)例例3.求解一解一:解二解二醫(yī)用高等數(shù)學(xué)說(shuō)明說(shuō)明（1）函數(shù)在自變量指定的變化趨勢(shì)下是“”型。（2）應(yīng)用公式解題時(shí)，注意將底數(shù)寫成1與一個(gè)無(wú)窮小量 的代數(shù)和的形式，該無(wú)窮小量與指數(shù)互為倒數(shù)。（3）注意求極限過(guò)程中運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算法則。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)2.兩個(gè)重要極限或注注:代表相同的表達(dá)式 作業(yè)作業(yè) p29:12 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)練習(xí)練習(xí) 求求解：原式解：原式醫(yī)用高等數(shù)學(xué)其他幾個(gè)重要極限其他幾個(gè)重要極限:醫(yī)用高等數(shù)學(xué)

32、第一章 二、二、無(wú)窮大無(wú)窮大 三三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 一、一、無(wú)窮小無(wú)窮小 無(wú)窮小與無(wú)窮大醫(yī)用高等數(shù)學(xué)為一、一、無(wú)窮小無(wú)窮?。O限為（極限為0的量）的量）定義定義1.若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù) 為 時(shí)的無(wú)窮小;函數(shù) 時(shí)的無(wú)窮小;為時(shí)的無(wú)窮小量無(wú)窮小量(dimensionless)，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小 .醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、一、無(wú)窮小無(wú)窮?。O限為（極限為0的量）的量）定義定義1.若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小量無(wú)窮小量(dimensionless)，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小 .2：無(wú)窮小必須指明x的趨向；當(dāng)時(shí)就不是無(wú)窮小;為函數(shù) 時(shí)的無(wú)窮小;醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、一、無(wú)窮小無(wú)

33、窮?。O限為（極限為0的量）的量）定義定義1.若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)為時(shí)的無(wú)窮小量無(wú)窮小量(dimensionless)，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小 .注意注意:3:除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小!因?yàn)轱@然 C 只能是 0!3:無(wú)窮小不是很小的數(shù),除0外,所有的無(wú)窮小都是變量;醫(yī)用高等數(shù)學(xué)根據(jù)無(wú)窮小量的定義以及極限的定義和運(yùn)算法則，可以證明無(wú)窮小量有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 有限個(gè)（相同類型的）無(wú)窮小量的和、差、積以及常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。利用極限的四則運(yùn)算得到兩個(gè)無(wú)窮小的商仍為無(wú)窮小量嗎？醫(yī)用高等數(shù)學(xué)根據(jù)無(wú)窮小量的定義以及極限的定義和運(yùn)算法則，可以證明無(wú)窮小量有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 有限個(gè)（相同類型的）無(wú)窮小量的和、差、積以及常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。利用極限的四則運(yùn)算得到無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和和,積積仍為無(wú)窮小量嗎？醫(yī)用高等數(shù)學(xué)根據(jù)無(wú)窮小量的定義以及極限的定義和運(yùn)算法則，可以證明無(wú)窮