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1、 6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 在在利利用用樣樣本本推推斷斷總總體體的的性性質(zhì)質(zhì)時(shí)時(shí)，往往往往不不能能直直接接利利用用樣樣本本，而而需需要要對(duì)對(duì)它它進(jìn)進(jìn)行行一一定定的的加加工工，這這樣樣才才能能有有效效地地利利用用其其中中的的信信息息，否否則則，樣樣本本只只是是呈呈現(xiàn)現(xiàn)為一堆為一堆“雜亂無(wú)章雜亂無(wú)章”的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)第第6章章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)【例例6.3】從從某某地地區(qū)區(qū)隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取50戶戶農(nóng)農(nóng)民民，調(diào)調(diào)查查其其人人均年收入情況，得到數(shù)據(jù)（單位均年收入情況，得到數(shù)據(jù)（單位:元）如下：元）如下：試試對(duì)對(duì)該該地地區(qū)區(qū)農(nóng)農(nóng)民民收收入入的的水水平平和和貧貧富富懸懸殊殊程程度度做做

2、個(gè)大致分析個(gè)大致分析9249248008009169167047048708701041040 08248246906905745744904909729729889881261266 66846847647649409404084088048046106108528526026027547547887889629627047047127128548548888887687688488488828821191192 28208208788786146148468467467468288287927928728726966966446449269268088081011010 072872874

3、2742850850864864738738 6.26.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布解解：顯顯然然，如如果果不不進(jìn)進(jìn)行行加加工工，面面對(duì)對(duì)這這一一大大堆堆大大小小參參差差不不齊齊的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，很很難難得得出出什什么么印印象象但但是是可可以以對(duì)對(duì)這這些些數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)稍稍事事加加工工，如如記記各各農(nóng)農(nóng)戶戶的的人人均均年年收收入入分別為分別為x1，x2，.，x50，計(jì)算得到，計(jì)算得到 這這樣樣，就就可可以以了了解解到到該該地地區(qū)區(qū)農(nóng)農(nóng)民民的的平平均均收收入入和和該該地地區(qū)區(qū)農(nóng)農(nóng)民民貧貧富富懸懸殊殊的的大大致致情情況況：農(nóng)農(nóng)民民的的年年人人均均平平均均收收入入大大約約為為809.52元元，標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)

4、差差約約為為155.85元元，貧富懸殊不算很大貧富懸殊不算很大 6.26.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 由由此此可可見(jiàn)見(jiàn)對(duì)對(duì)樣樣本本的的加加工工是是十十分分重重要要的的對(duì)對(duì)樣樣本本加工，主要就是構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量加工，主要就是構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量6.2.1 6.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量定定義義6.2 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為為來(lái)來(lái)自自總總體體X的的樣樣本本，稱稱不不含含未未知知參參數(shù)數(shù)的的樣樣本本的的函函數(shù)數(shù)g(X1，X2，Xn)為為統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量若若x1，x2，.，xn為為樣樣本本觀觀測(cè)測(cè)值值，則則稱稱g(x1，x2，.，xn)為為統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量g(X1，X2，Xn)的觀測(cè)值的觀測(cè)值.統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量是是處處理理、

5、分分析析數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的主主要要工工具具對(duì)對(duì)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的一一個(gè)個(gè)最最基基本本的的要要求求就就是是可可以以將將樣樣本本觀觀測(cè)測(cè)值值代代入進(jìn)行計(jì)算，因而不能含有任何未知的參數(shù)入進(jìn)行計(jì)算，因而不能含有任何未知的參數(shù) 6.26.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布【例例6.4】設(shè)設(shè)X1，X2，Xn是是來(lái)來(lái)自自總總體體X的的樣樣本本，XN(，2)，其中，其中 、2為未知參數(shù)，則為未知參數(shù)，則X1，min X1，X2，Xn 均為統(tǒng)計(jì)量，均為統(tǒng)計(jì)量，但諸如但諸如等均不是統(tǒng)計(jì)量，因它含有未知參數(shù)等均不是統(tǒng)計(jì)量，因它含有未知參數(shù) 或或 常用的統(tǒng)計(jì)量有如下幾種：常用的統(tǒng)計(jì)量有如下幾種：6.2.1 6.2.1 統(tǒng)計(jì)

6、量統(tǒng)計(jì)量1.有關(guān)一維總體的統(tǒng)計(jì)量有關(guān)一維總體的統(tǒng)計(jì)量 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為為總總體體X的的樣樣本本，x1，x2，.，xn為樣本觀測(cè)值，為樣本觀測(cè)值，(1)樣本均值樣本均值 常常用用來(lái)來(lái)作作為為總總體體期期望望（均均值值）的的估估計(jì)計(jì)量量，其其觀觀測(cè)測(cè)值為值為 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 (2)樣本方差樣本方差 (3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣樣本本方方差差和和樣樣本本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差刻刻畫(huà)畫(huà)了了樣樣本本數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的分分散散程度，常用來(lái)作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量程度，常用來(lái)作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量.觀測(cè)值分別為觀測(cè)值分別為 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 (4)樣本樣本k階原點(diǎn)矩（

7、簡(jiǎn)稱樣本階原點(diǎn)矩（簡(jiǎn)稱樣本k階矩）階矩），(k=1，2，)(5)樣本樣本k階中心矩階中心矩 ，(k=2，3，)顯然顯然Ak和和Bk的觀測(cè)值分別記為的觀測(cè)值分別記為 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量定定理理6.1 設(shè)設(shè)總總體體X的的期期望望E(X)=,方方差差D(X)=2，X1，X2，Xn為為總總體體X的的樣樣本本，S2分分別別為為樣樣本均值和樣本方差，則本均值和樣本方差，則 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量由辛欽大數(shù)定理和依概率收斂的性質(zhì)可以證明由辛欽大數(shù)定理和依概率收斂的性質(zhì)可以證明定定理理6.2 設(shè)設(shè)總總體體X的的k階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩E(X k)=k存存在在（k=1，2，m），X1，X2

8、，Xn為為總總體體X的的樣樣本，本，g(t1，t2，tm)是是m元連續(xù)函數(shù)，則元連續(xù)函數(shù)，則特別有特別有 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量2.有關(guān)二維總體的統(tǒng)計(jì)量有關(guān)二維總體的統(tǒng)計(jì)量 設(shè)設(shè)(X1，Y1)，(X2，Y2)，(Xn，Yn)為為二二維維總總體體(X，Y)的的樣樣本本，其其觀觀測(cè)測(cè)值值為為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則下列各量為統(tǒng)計(jì)量：，則下列各量為統(tǒng)計(jì)量：(1)樣本協(xié)方差樣本協(xié)方差 (2)樣本相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)其中其中SXY和和RXY常常分分別別用用來(lái)來(lái)作作為為總總體體X和和Y的的協(xié)協(xié)方方差差Cov(X，Y)與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù) XY的估計(jì)量的估計(jì)量 6.2.

9、16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量【實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)6.2】用用Excel對(duì)對(duì)例例6-3中中的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)計(jì)計(jì)算算統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)值樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)值 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：(1)函數(shù)函數(shù)AVERAGE的使用格式：的使用格式：AVERAGE(number1,number2,.)功能：計(jì)算給定樣本的算術(shù)平均值功能：計(jì)算給定樣本的算術(shù)平均值 (2)函數(shù)函數(shù)VAR的使用格式：的使用格式：VAR(number1,number2,.)功能：計(jì)算給定樣本的方差功能：計(jì)算給定樣本的方差 (3)函數(shù)函數(shù)STDEV的使用格式：的使用格式：STDEV(number1,number2

10、,.)功能：計(jì)算給定樣本的標(biāo)準(zhǔn)差功能：計(jì)算給定樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 實(shí)驗(yàn)方法一實(shí)驗(yàn)方法一：(1)輸入數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)量名，如圖輸入數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)量名，如圖6-7左所示左所示 (2)計(jì)算樣本均值，在單元格計(jì)算樣本均值，在單元格H2中輸入公式：中輸入公式：=AVERAGE(A2:E11)(3)計(jì)算樣本方差計(jì)算樣本方差s2，在單元格，在單元格H3中輸入公式：中輸入公式：=VAR(A2:E11)(4)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，在單元格，在單元格H4中輸入公式：中輸入公式：=STDEV(A2:E11)計(jì)算結(jié)果：、計(jì)算結(jié)果：、s2=24288.91、s=155.85，如圖如圖6-7

11、右所示右所示 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量圖圖6-7 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 實(shí)驗(yàn)方法二實(shí)驗(yàn)方法二：(1)輸入整理數(shù)據(jù)，如圖輸入整理數(shù)據(jù)，如圖6-8左所示左所示 (2)在在Excel主主菜菜單單中中選選擇擇“工工具具”“數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析”，打打開(kāi)開(kāi)“數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分析析”對(duì)對(duì)話話框框，在在“分分析析工工具具”列列表表中選擇中選擇“描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)”選項(xiàng)，單擊選項(xiàng)，單擊“確定確定”按鈕按鈕 (3)在在打打開(kāi)開(kāi)的的“描描述述統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)”對(duì)對(duì)話話框框中中，依依次次輸輸入入“輸輸入入?yún)^(qū)區(qū)域域”和和“輸輸出出區(qū)區(qū)域域”，選選中中“標(biāo)標(biāo)志志位位于于第第一一行行”復(fù)選框，如

12、圖復(fù)選框，如圖6-8中所示，單擊中所示，單擊“確定確定”按鈕按鈕 得到描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如圖得到描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如圖6-8右所示右所示 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 圖圖6-8 描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì) 6.2.16.2.1 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布6.2.2 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的分分布布稱稱為為抽抽樣樣分分布布為為了了研研究究抽抽樣樣分分布，先研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)中三種重要的分布布，先研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)中三種重要的分布 1.2分布分布 定定義義6.3 設(shè)設(shè)X1，X2，Xn為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，它它們們都都服服從從標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)N(0，1

13、)分分布布，則則稱稱隨隨機(jī)變量機(jī)變量服從服從自由度自由度為為n的的 2分布分布，記為，記為 2 2(n)此處自由度指此處自由度指 2中包含獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)中包含獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)可以證明，可以證明，2(n)的概率密度為的概率密度為其中其中()稱為伽馬函數(shù)，稱為伽馬函數(shù)，6.2.2 抽樣分布抽樣分布 2分布概率密度分布概率密度 圖圖6-9 2(n)分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線可可以以看看出出，隨隨著著n的的增增大大，的的圖圖形形趨趨于于“平平緩緩”，其圖形下區(qū)域的重心亦逐漸往右下移動(dòng)其圖形下區(qū)域的重心亦逐漸往右下移動(dòng) 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 2分布具有下面性質(zhì)：分布具有下面性質(zhì)：(1)(

14、可可加加性性)設(shè)設(shè) 是是兩兩個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，且且 (2)設(shè)設(shè) 證明證明 (1)由由 2分布的定義易得證明分布的定義易得證明 (2)因?yàn)橐驗(yàn)?存在相互獨(dú)立、同分布于存在相互獨(dú)立、同分布于N(0，1)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量X1，X2，Xn，使，使則則 6.2.2 抽樣分布抽樣分布由于由于Xi獨(dú)立，且注意到獨(dú)立，且注意到N(0，1)的四階矩為的四階矩為3，可得，可得 英英國(guó)國(guó)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)學(xué)家家費(fèi)費(fèi)歇歇（R.A.Fisher）曾曾證證明明，當(dāng)當(dāng)n較較大時(shí)，大時(shí)，近似服從近似服從 6.2.2 抽樣分布抽樣分布2.t分布分布定定義義6.4 設(shè)設(shè)X N(0，1)，Y 2(n)，X與與Y

15、獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量 服服從從自自由由度度為為的的t分分布布，又稱為學(xué)生氏分布又稱為學(xué)生氏分布(Student distribution)，記為記為T(mén) t(n)可以證明可以證明t(n)的概率密度為的概率密度為 圖圖6-10 t分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 圖圖6-10 t分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線 顯顯然然t分分布布的的概概率率密密度度是是x的的偶偶函函數(shù)數(shù)，圖圖6-10描描繪繪了了n=1，3，7時(shí)時(shí)t(n)的的概概率率密密度度曲曲線線作作為為比比較較，還還描繪了描繪了N(0，1)的概率密度曲線的概率密度曲線 6.2.2 抽樣分布抽

16、樣分布可看出，隨著可看出，隨著n的增大，的增大，t(n)的概率密度曲線與的概率密度曲線與N(0，1)的概率密度曲線越來(lái)的概率密度曲線越來(lái)越接近越接近可以證明可以證明t分布具有下面性質(zhì)：分布具有下面性質(zhì)：即即當(dāng)當(dāng)n趨趨向向無(wú)無(wú)窮窮時(shí)時(shí),t(n)近近似似于于標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布N(0,1)一一般般地地，若若n 30，就就可可認(rèn)認(rèn)為為t(n)基基本本與與N(0，1)相相差無(wú)幾了差無(wú)幾了 6.2.2 抽樣分布抽樣分布3.F分布分布定定義義6.5 設(shè)設(shè)X 2(n1)，Y 2(n2)，且且X與與Y獨(dú)獨(dú)立立，稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量 服服從從自自由由度度為為(n1，n2)的的F分分布布，記為記為FF(n1，n2)可以證明的概率密度函數(shù)為可以證明的概率密度函數(shù)為 6.2.2 抽樣分布抽樣分布 6.2.26.2.2 抽樣分布抽樣分布 圖圖6-11 F分布的概率密度曲線分布的概率密度曲線 由由F分布的定義分布的定義容易看出，容易看出，若若F F(n1，n2)，則，則1/F F(n2，n1)4.正態(tài)總體的抽樣分布定理正態(tài)總體的抽樣分布定理 在在數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)問(wèn)問(wèn)題題中中，正正態(tài)態(tài)分分布布占占據(jù)據(jù)著著十十分