《專升本高等數學知識點匯總(總15頁).doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《專升本高等數學知識點匯總(總15頁).doc（15頁珍藏版）》請在匯文網上搜索。

1、專升本高等數學知識點匯總常用知識點：一、常見函數的定義域總結如下：（1）一般形式的定義域：xR（2） 分式形式的定義域：x0（3） 根式的形式定義域：x0（4） 對數形式的定義域：x0二、函數的性質1、函數的單調性當時，恒有，在所在的區(qū)間上是增加的。當時，恒有，在所在的區(qū)間上是減少的。2、 函數的奇偶性定義：設函數的定義區(qū)間關于坐標原點對稱（即若，則有）(1) 偶函數，恒有。(2) 奇函數，恒有。三、基本初等函數1、常數函數：，定義域是，圖形是一條平行于軸的直線。2、冪函數：， (是常數)。它的定義域隨著的不同而不同。圖形過原點。3、指數函數定義: ， (是常數且，).圖形過（0,1）點。4、

2、對數函數定義: ， (是常數且，)。圖形過（1,0）點。5、三角函數(1) 正弦函數: ， ， 。(2) 余弦函數: .， ， 。(3) 正切函數: .， ， .(4) 余切函數: .， ， .5、反三角函數(1) 反正弦函數: ，。(2) 反余弦函數: ，。 (3) 反正切函數: ，。(4) 反余切函數: ，。極限一、求極限的方法1、代入法 代入法主要是利用了“初等函數在某點的極限，等于該點的函數值。”因此遇到大部分簡單題目的時候，可以直接代入進行極限的求解。2、傳統(tǒng)求極限的方法（1）利用極限的四則運算法則求極限。（2）利用等價無窮小量代換求極限。（3）利用兩個重要極限求極限。（4）利用羅比

3、達法則就極限。二、函數極限的四則運算法則設， ，則（1）（2）. 推論（a)， (為常數)。（b）（3）， ().（4）設為多項式， 則（5）設均為多項式， 且， 則 三、等價無窮小常用的等價無窮小量代換有：當時，。對這些等價無窮小量的代換，應該更深一層地理解為：當時，其余類似。四、兩個重要極限重要極限I 。它可以用下面更直觀的結構式表示：重要極限II 。其結構可以表示為：八、洛必達(LHospital)法則“”型和“”型不定式，存在有（或）。一元函數微分學一、導數的定義設函數在點的某一鄰域內有定義，當自變量在處取得增量（點仍在該鄰域內）時，相應地函數取得增量。如果當時，函數的增量與自變量的增

4、量之比的極限= 注意兩個符號和在題目中可能換成其他的符號表示。二、求導公式1、基本初等函數的導數公式（1） (為常數) （2）（為任意常數）（3） 特殊情況 （4）， （5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）2、導數的四則運算公式（1） （2）（3）（為常數） （4）3、復合函數求導公式：設, ，且及都可導，則復合函數的導數為。三、導數的應用1、函數的單調性則在內嚴格單調增加。則在內嚴格單調減少。2、函數的極值的點函數的駐點。設為（1）若時，；時，則為的極大值點。（2）若時，；時，則為的極小值點。（3）如果在的兩側的符號相同，那么不是極值點。3、曲線的凹凸性，則曲線在內是

5、凹的。，則曲線在內是凸的。4、曲線的拐點（1）當在的左、右兩側異號時，點為曲線的拐點，此時.（2）當在的左、右兩側同號時，點不為曲線的拐點。5、函數的最大值與最小值極值和端點的函數值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式，求微分就是求導數。一元函數積分學一、不定積分1、定義，不定積分是求導的逆運算，最后的結果是函數+C的表達形式。公式可以用求導公式來記憶。2、不定積分的性質（1）或（2）或（3）。（4）（為常數且）。2、基本積分公式（要求熟練記憶）（1） （2）.（3）. （4） （5） （6）（7） （8）.（9）. （10）.（11）.3、第一類換元積分法對不定微分，將被積表達式湊

6、成，這是關鍵的一步。常用的湊微分的公式有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14） 4、分部積分法二、定積分公式1、（牛頓萊布尼茨公式） 如果是連續(xù)函數在區(qū)間上的任意一個原函數，則有。2、ya o b x計算平面圖形的面積如果某平面圖形是由兩條連續(xù)曲線及兩條直線和所圍成的（其中是下面的曲線，是上面的曲線），則其面積可由下式求出：o a x x+dx b xy 3、計算旋轉體的體積設某立體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉一周所形成的旋轉體，如圖所示。則該旋轉體的體積可由下式求出：多元函數微分學1、 偏導數，對某個變量求導，把其他變量

7、看做常數。2、全微分公式：。3、復合函數的偏導數利用函數結構圖如果、在點處存在連續(xù)的偏導數 ， ，且在對應于的點處，函數存在連續(xù)的偏導數，則復合函數在點處存在對及的連續(xù)偏導數，且，。4、隱函數的導數對于方程所確定的隱函數，可以由下列公式求出對的導數：，2、隱函數的偏導數對于由方程所確定的隱函數，可用下列公式求偏導數：， ，5、二元函數的極值設函數在點的某鄰域內有一階和二階連續(xù)偏導數，且，又設，則：（1）當時，函數在點處取得極值，且當時有極大值，當時有極小值。（2）當時，函數在點處無極值。（3）當時，函數在點處是否有極值不能確定，要用其它方法另作討論。平面與直線1、平面方程（1）平面的點法式方程

8、：在空間直角坐標系中，過點，以為法向量的平面方程為 稱之為平面的點法式方程（2）平面的一般式方程 稱之為平面的一般式方程2、特殊的平面方程 表示過原點的平面方程 表示平行于軸的平面方程 表示過軸的平面方程 表示平行于坐標平面的平面方程3、兩個平面間的關系設有平面 平面和互相垂直的充分必要條件是：平面和平行的充分必要條件是：平面和重合的充分必要條件是：4、直線的方程（1）直線的標準式方程 過點且平行于向量的直線方程 稱之為直線的標準式方程（又稱點向式方程、對稱式方程）。常稱為所給直線的方向向量（2）直線的一般式方程稱之為直線的一般式方程5、兩直線間關系設直線，的方程為直線，平行的充分必要條件為；

9、直線，互相垂直的充分必要條件為6、直線與平面間的關系設直線與平面的方程為 直線與平面垂直的充分必要條件為： 直線與平面平行的充分必要條件為：直線落在平面上的充分必要條件為將初等函數展開成冪級數1、定理: 設在內具有任意階導數,且 ，則在內 稱上式為在點的泰勒級數?；蚍Q上式為將展開為的冪級數。2、幾個常用的標準展開式常微分方程1、一階微分方程（1）可分離變量的微分方程若一階微分方程通過變形后可寫成 或 則稱方程為可分離變量的微分方程.2、可分離變量微分方程的解方程必存在隱式通解。其中：,.即兩邊取積分。（2）一階線性微分方程1、定義：方程 稱為一階線性微分方程.(1) 非齊次方程；(2) 齊次方

10、程 .2、求解一階線性微分方程（1）先求齊次方程的通解：, 其中為任意常數。（2）將齊次通解的換成。即 （3）代入非齊次方程, 得 2、二階線性常系數微分方程（1）可降階的二階微分方程1、型的微分方程例3： 求方程的通解.分析：；.2、型的微分方程解法：(1) 令，方程化為 ；(2) 解此方程得通解 ；(3) 再解方程 得原方程的通解 .3、型的微分方程解法：(1) 令, 并視為的函數, 那么,(2) 代入原方程, 得 (3) 解此方程得通解 ；(4) 再解方程 得原方程的通解 .例4：求方程的通解.分析：(1) 令, 并視為的函數, 那么,(2) 代入原方程, 得 或 (3) 解上方程, 得 , ().(4) 再解方程 .(5) 于是原方程的通解為 , () （2）常系數線性微分方程（1）、二階常系數齊次線性方程的解。寫出特征方程并求解.下面記,為特征方程的兩個根.（1）時, 則齊次方程通解為：。（2）時, 則齊次方程通解為.（3）時,有,則齊次方程通解為（2）二階常系數非齊次方程解法方程的形式： 解法步驟：(1) 寫出方程的特征方程 ；(2) 求出特征方程的兩個根；(3) 原方程的通解如下表所示:特征方程的根方程的通解 (4) 再求出非齊次方程的一個特解 ；(5)那么原方程的通解為 。