第1課時(shí) 應(yīng)用舉例（一） 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．如圖，從氣球A測(cè)得正前方的兩個(gè)場(chǎng)館B，C的俯角分別為α，β，此時(shí)氣球的高度為h，則兩個(gè)場(chǎng)館B，C間的距離為(　　) A． B． C． D． 【答案】B　 【解析】過A作垂線AD交BC的延長(zhǎng)線于D，則在Rt△ADB中，∠ABD＝α，AB＝.又在△ACB中，∠ACB＝π－β，∠BAC＝β－α，由正弦定理，得BC＝，即兩個(gè)場(chǎng)館B，C間的距離為.故選B． 2．某工程中要將一長(zhǎng)為100 m傾斜角為75°的斜坡，改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(zhǎng)(　　) A．100 m　　 B．100 m C．50(＋) m　 D．200 m 【答案】A　 【解析】如圖，由條件知，AC＝100 m，∠B＝30°，∠ACD＝75°，∴∠BAC＝45°.由正弦定理得＝，∴BC＝＝100(m)． 3．已知A，B兩地的距離為10 km，B，C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為(　　) A．10 km　　　 B．10 km C．10 km　　　 D．10 km 【答案】A　 【解析】在△ABC中，AB＝10(km)，BC＝20(km)，∠ABC＝120°，則由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝100＋400－2×10×20cos 120°＝100＋400－2×10×20×＝700，∴AC＝10 km，即A，C兩地的距離為10 km. 4．如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10 m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是(單位：米)(　　) A．10　　 B．10　　 C．10　　 D．10 【答案】B　 【解析】設(shè)塔高為x米，根據(jù)題意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，從而有BC＝x.在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，由正弦定理得＝，BC＝＝10＝x，解得x＝10，所以塔AB的高是10米．故選B． 5．學(xué)校里有一棵樹，甲同學(xué)在A地測(cè)得樹尖的仰角為45°，乙同學(xué)在B地測(cè)得樹尖的仰角為30°，量得AB＝AC＝10 m，樹根部為C(A，B，C在同一水平面上)，則∠ACB＝________. 【答案】30°　 【解析】如圖，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10.∵∠DBC＝30°，∴BC＝10，cos ∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°. 6．(2019年廣西南寧期末)如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為α＝30°，沿傾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角γ＝60°，則山高PQ＝________米． 【答案】a　 【解析】在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，∠PBA＝135°，所以＝，則PA＝a.所以PQ＝PAsin α＝asin 30°＝a(米)． 7．如圖，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲檢測(cè)點(diǎn)，B，C到A的距離分別為20千米和50千米，某時(shí)刻B收到來自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒． (1)設(shè)A到P的距離為x千米，用x表示B，C到P的距離，并求出x的值； (2)求P到海防警戒線AC的距離． 【解析】(1)依題意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12. 在△PAB中，AB＝20，cos ∠PAB＝＝＝， 同理，在△PAC中，AC＝50，cos ∠PAC＝＝＝. ∵cos ∠PAB＝cos ∠PAC，∴＝，解得x＝31. (2)如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AC于交AC于點(diǎn)D． 由PA＝PC，可得AD＝AC＝25. 又PA＝31，∴PD＝＝＝4. 故P到海防警戒線AC的距離為4 千米． 【能力提升】 8．若甲船在B島的正南方A處，AB＝10 km，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，在甲船到達(dá)B之前，當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們的航行時(shí)間是(　　) A． min　　 B． h C．21.5 min　 D．2.15 h 【答案】A　 【解析】設(shè)航行時(shí)間為t，如圖，∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100. 當(dāng)t＝＝(h)，即 min時(shí)，CD2最?。? 9．(2019年浙江寧波期末)某大學(xué)的大門蔚為壯觀，有個(gè)學(xué)生想搞清楚門洞拱頂D到其正上方A點(diǎn)的距離，他站在地面C處，利用皮尺測(cè)得BC＝9米，利用測(cè)角儀器測(cè)得仰角∠ACB＝45°，測(cè)得視角∠ACD后通過計(jì)算得到sin∠ACD＝，則AD的高度為(　　) A．2米　 B．2.5米　　　　 C．3米　　　 D．4米 【答案】C　 【解析】設(shè)AD＝x，則BD＝9－x，CD＝，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，所以2[92＋(9－x)2]＝26x2.整理得2x2＋3x－27＝0，即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3(米)． 10．如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為(　　) A．20 海里　　 B．40 海里 C．20(1＋) 海里　 D．40海里 【答案】A　 【解析】連接AB．由題意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AD＝20.在Rt△BCD中，BD＝CD＝40.在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20.故選A． 11．(2019年陜西西安模擬)游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________． 【答案】　 【解析】設(shè)乙的速度為x m/s，則甲的速度為x m/s.因?yàn)锳B＝1 040，BC＝500，所以＝，解得AC＝1 260.在△ABC中，由余弦定理可知cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝. 12．如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處． (1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米？ (2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？ 【解析】(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1， ∴AB＝. 在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝. 在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°， ∴BC＝＝＝. 則船的航行速度為÷＝2(千米/時(shí))． (2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°， sin ∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin ∠ACB＝＝＝， sin ∠CDA＝sin(∠ACB－30°) ＝sin ∠ACB·cos 30°－cos ∠ACB·sin 30° ＝×－× ＝. 由正弦定理得＝. ∴AD＝＝＝. 故此時(shí)船距島A有 千米． - 7 -